2023-2024学年江西省稳派大联考高三上学期12月统一调研测试数学试卷+答案解析

2023-2024学年江西省稳派大联考高三上学期12月统一调研测试数学
试卷❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{A x =∈N |12xy =，y ∈N }，2{|log (3)3}B x x =-<，则A B ⋂=()
A.{1,2,3,4,6}
B.{3,4,6}
C.{4,6,12}
D.{4,6}
2.已知复数sin z i θ=+
，则满足||z 的所有不相等的复数z 之和的虚部为(
)A.1
B.i
C.2
D.2i
3.已知直线210y +-=的一个方向向量为(1,)v m =
，则m 的值为(
)
A.
3
B.3
-
C.
2
D.2
4.从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则这3个数的乘积能被12整除的取法有()
A.7种
B.8种
C.9种
D.10种5.已知0a >且1a ≠，若函数()
()41x
x a f x x =-为偶函数，则a =(
)A.
1
2
B.
C.2
D.4
6.已知圆上两个不同的点(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，若直线AB 的斜率为1-，则tan 2
αβ
+=()A.1
- B.1
C.2
- D.2
7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则对*n N ∀∈，“1||n n a a +>”是“1(1)n n nS n S +>+”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.定义：设二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的附近有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有改变量x ∆时，相应的二元函数(,)z f x y =有改变量0000(,)(,)z f x x y f x y ∆=+∆-，如果0
lim x z
x
∆
→∆∆存在，那么称此极限为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数，记作00(,).x f x y 若(,)z f x y =在区域D 内每一个点(,)x y 对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x ，y 的二元函数，它就被称为二元函数(,)z f x y =对自
变量x 的偏导函数，记作(,).x f x y 已知22(,)F x y x y xy =+-，若(,)1F x y =，则(,)(,)x y F x y F x y +的取值范围为()A.(,2]
-∞ B.[2,2]
- C.(0,2]
D.[2,)
+∞二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C 的渐近线相同的是()
A.2
213
x y -= B.2
213y x -= C.2
213
y x -= D.22
126
x y -=10.已知12n
x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则二项式展开式中(
)
A.所有二项式系数和为128
B.所有项系数和为7-
C.不存在常数项
D.含3x -项的系数为84
-11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0,4πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()f x '是()f x 的导函数，若()()y f x f x =+'的
，且3
(0)(0)f f ω
⋅'=，则使函数()f x 在区间[0,]m 上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的m 的取值可以为(
)
A.12
B.
23
C.
34
D.
43
12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，其表面积与12条棱长之和均为24，E ，G 分别为棱1DD ，11A B 的中点，则下列说法正确的是()
A.该长方体的外接球表面积为12π
B.CG ⊥平面1C BE
C.若线段CG 与平面1C BE 交于点F ，则:3:4
CF GF =D.平面1C BE 将长方体1111ABCD A B C D -分成两部分，其中较小部分与较大部分的体积之比为7:17三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在坐标轴上，若点(1,2)P 在C 上且||2PF >，则C 的方程为__________.
14.已知圆O ：224x y +=，写出满足条件“圆O
上到直线0x m ++=的距离为1的点的个数是奇数”的一个m 的值为__________.
15.达⋅芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则异面直线CQ 与PF 所成角的余弦值为__________
.
16.已知函数()sin 22sin 1f x x x x =-++，[,]x ππ∈-的极值点从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则1
12
n n x x x x --=-__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)
某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将100名同学的竞赛成绩按[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成6
组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)用样本估计总体，求图中a 的值及此次知识竞赛成绩的80%分位数；
(2)现从竞赛成绩在[80,95)的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担
任主持人工作，求在至少1人来自分数段[90,95)的条件下，另外1人来自分数段[80,85)的概率．18.(本小题12分)
如图1，在直角ABC 中，90A ︒∠=，3AB =，4AC =，D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，将CDE 沿DE 进行翻折，连接AC ，BC 得到四棱锥(C ABED -如图2)，点F 为BC
的中点．
(1)当点A 与点C 首次重合时，求CDE 翻折旋转所得几何体的表面积；(2)当ACD 为正三角形时，求直线EF 与平面ACE 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n ∈N *
，条件①47a =；②11621a a =-；③525.S =请从这三个条件
中任选两个作为已知，解答下面的问题．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)记数列(1)4(21)n n n n a ⎧⎫
-⋅⎨⎬+⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：对任意p ，q ∈N
*
，都有 1.
p q T T -<20.(本小题12分)
如图，在ABC 中，M 是边BC
上一点．
(1)若2244AC AB BM CM ====，求AM ；
(2)若775AB AM AC ==，记BAM α∠=，CAM β∠=，且
sin 7
sin 3
αβ=，求.BAM ∠21.(本小题12分)
已知椭圆C ：22
21(12
x y a a +
=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为椭圆上的一点满足12||||15PF PF =，22212122(||||)||52.PF PF F F +=+(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，过1F 作一条斜率不为零的直线与椭圆C 分别交于M ，N 两点，直
线AM ，BN 与y 轴的交点分别为(0,)m ，(0,)n ，求11.mAF nF B +
22.(本小题12分)
已知函数21()(2)4x x
f x x a e be =-+，()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为3.
4y x =+(1)求()f x 的解析式；
(2)证明：(0,)x ∀∈+∞，()2ln 3f x x >+恒成立．
答案和解析
1.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.先求解集合A ，B ，再利用交集的定义即可求解.【解答】
解：{|12,}{1,2,3,4,6,12}A x N xy y N =∈=∈=，2{|log (3)3}B x x =-<{|311}x x =<<，从而{4,6}A B ⋂=，故选.D 2.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查复数的模，复数的概念，属于基础题.
根据复数的模的运算以及三角函数的性质可得sin 1θ=±，即可得满足条件的复数，结合加法运算即可求解.【解答】
解：由||
z 得，2sin 12θ+，
从而2sin 1θ，则2sin 1θ=，因此sin 1.
θ=±满足||2z 的所有不相等的复数z 有11z i =+，21z i =-+，所以122z z i +=，其虚部为2.3.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查了直线方向向量与斜率之间的关系，属于基础题．根据直线方向向量与斜率之间的关系即可得出．【解答】
解： 直线
210y +-=的斜率为2
-
，(1,)v m =
是直线
210y +-=的一个方向向量，
12m ∴
=-，解得2
m =-故选.D 4.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查组合问题，属于基础题.
用所有情况减去不能被12整除的取法即可.【解答】
解：从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个共有3510C =种取法，
其中这3个数的乘积不能被12整除的取法有3种，分别为235⨯⨯，245⨯⨯，356⨯⨯，
所以这3个数的乘积能被12整除的取法有1037-=种.故选.A 5.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，属于基础题.利用()()0f x f x --=即可求解.【解答】
解：由题知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，因为()f x 为偶函数，所以()()0f x f x --=，
即
40(41)(41)(41)(14)x x x x x
x x x x a a a a x x x x ---⋅+=+=----，所以4x
x a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，又因为0a >且1a ≠，解得2a =，
故选.C 6.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查两点的斜率公式和三角恒等变换，属于中档题.
由斜率公式得
sin sin 1cos cos αβ
αβ
-=--，利用三角恒等变换公式即可求解.【解答】
解：因为直线AB 的斜率为1-，cos cos αβ≠，所以
sin sin 1.
cos cos αβ
αβ-=--从而
sin (
)sin ()22221cos ()cos ()
2222αβαβαβαβ
αβαβαβαβ+-+-+--=-+-+-+--，即
2cos
sin 2212sin sin
22
αβαβαβαβ+-=-+--，因此tan 12
αβ
+=，故选.
B 7.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查了充分、必要条件的判断，考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．设等差数列{}n a 的公差为d ，可得122
n S d d
n a n =+-，再根据充分、必要条件的定义以进行判断即可．【解答】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112
n n n S na d -=+
，
122
n S d d n a n =+-，由1||n n a a +>可得1n n a a +>，即0d >，从而
1012
n n S S d
n n +-=>+，即1(1)n n nS n S +>+；反之，由1(1)n n nS n S +>+可得
1012
n n S S d
n n +-=>+，则0d >，从而1n n a a +>，但1||n n a a +>不一定成立，
所以“1||n n a a +>”是“1(1)n n nS n S +>+”的充分不必要条件，故选.A 8.【答案】B
本题考查了导数的新定义问题，是中档题.
由(,)1F x y =，得22x y -+，由(,)(,)22x y F x y F x y x y y x x y +=-+-=+，可得结果.
【解答】
解：由(,)1F x y =，得221x y xy +-=，所以222()31x y xy x y xy +-=+-=，从而22
3()131()4
x y xy x y +=+++，
即2()4x y +，解得22x y -+，当1x y ==-时，2x y +=-，当1x y ==时，2x y +=，
(,)(,)22[2,2]x y F x y F x y x y y x x y +=-+-=+∈-，
故选.B 9.【答案】BCD 【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．利用题目条件求出双曲线C 的渐近线方程，逐个选项进行判断即可.【解答】
解：因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，所以22
221b a =+，解得b a =，
所以双曲线C 的渐近线方程为.
y =
双曲线2213x y -=的渐近线方程为3
y x =±，故A 选项错误;
双曲线2213y x -=，22
13y x -=，22126
x y -=的渐近线方程均为y =，
故选.BCD 10.【答案】AC
本题考查二项式定理，属于基础题.
由第3项与第6项的二项式系数相等，得25
n n
C C =，解得7n =，再对选项逐个判断即可.【解答】
解：因为第3项与第6项的二项式系数相等，
则25n n
C C =，解得7n =，所以71
(
2)x x
-的展开式中所有二项式系数和为72128=，故选项A 正确;将1x =代入二项式中可得各项系数和为7(1)1-=-，故选项B 错误;
在71(
2)x x
-中，第1r +项为7171
()(2)r r r T C x x -+=⋅-r 7(2)r C =⋅-r 27r x -⋅，
取270r -=，即7
2
r N =∉，
所以不存在常数项，故选项C 正确;取273r -=-，即2r =，
所以2
23337
(2)84T C x x --=⋅-⋅=，所以含3x -项的系数为84，故选项D 错误，故选.AC 11.【答案】BC 【解析】【分析】
本题考查导数和三角函数的综合应用，属于一般题.利用导数运算和三角函数的性质求出()sin(2)6f x x π=+，由函数()f x 在区间[0,]m 上的值域为1
[,1]2
得不等式，解不等式即可.【解答】
解：由()f x 求导得()cos()f x x ωωϕ'=+，
所以()()sin()cos()sin()(y f x f x x x x ωϕωωϕωϕθ=+'=+++=++其中tan )θω=，
因为()()y f x f x =+'，
=，
又0ω>，所以 2.
ω=因为3(0)(0)f f ω⋅'=
，
所以2sin cos 2ϕϕ=，从而sin 22
ϕ=，又因为(0,)4πϕ∈，所以6
πϕ=，因此()sin(26
f x x π=+要使函数()f x 在区间[0,]m 上的值域为1[,1]2，则52266m πππ+，解得63
m ππ，故选.
BC 12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了球的表面积和棱锥的体积，线面垂直的判断，是中档题.
设AB a =，AD b =，AA 1c =，根据已知可求得长方体的外接球半径，根据球的表面积公式判断A ；建立
空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算得到10C B CG ⋅= 且10C E CG ⋅= ，即可判断B ；求得点C 到平面
1C BE 的距离，可得到CF ，即可判断C ；根据棱锥的体积公式可判定.
D 【解答】
解：设AB a =，AD b =，AA 1c =，
由题意知2()244()24,ab bc ca a b c ++=⎧⎨++=⎩即12,6,ab bc ca a b c ++=⎧⎨++=⎩
，
该长方体的外接球半径R ===
则外接球表面积为4π⨯212π=，故A 正确;因为2222221[()()()]02
a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-=，所以a b c ==，从而该长方体是棱长为2的正方体，
以A 为坐标原点，AD ，AB ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,1)E ，(0,1,2)G ，1(2,2,2).
C
对于B 选项，(2,1,2)CG =-- ，1(2,0,2)C B =-- ，1(0,2,1)C E =-- ，
则10C B CG ⋅= 且10C E CG ⋅= ，
又111C B C E C ⋂=，1C B ，1C E ⊂平面1C BE ，
所以CG ⊥平面1C BE ，故选项B 正确;
对于C 选项，由B 可知，平面1C BE 的一个法向量为(2,1,2)CG =-- ，
又(2,0,0)BC = ，所以点C 到平面1C BE 的距离为||43||
BC CG CF CG ⋅== ，又||3CG = ，所以53
GF =，:4:5CF GF =，故选项C 错误;对于D 选项，设平面1C BE 与棱DA 交于点H ，易知H 为DA 的中点，
棱台1EHD C BC -的体积为117(21)2323
⨯++⨯=，而长方体1111ABCD A B C D -的体积为8，则另一部分的体积为717833
-=，所以平面1C BE 将长方体1111ABCD A B C D -分成两部分，
其中较小部分与较大部分的体积之比为7:17，故选项D 正确，
故选.
ABD 13.【答案】212
x y =【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x 轴和y 轴两种情况作答，属于中档题．
对称轴分为是x 轴和y 轴两种情况，分别设出标准方程为22y px =(0)p >和22x py =(0)p >，然后将(1,2)，代入即可求出抛物线标准方程，检验即可．
【解答】
解：由题意知，抛物线的焦点F 在坐标轴的正半轴.
当抛物线的焦点F 在x 轴的正半轴时，设抛物线方程为22(0)y px p =>，
将点(1,2)P 代入解得2p =，且||122
p PF =+=，不符合题意;当抛物线的焦点F 在y 轴的正半轴时，设抛物线方程为22(0)x py p =>，
将点(1,2)P 代入解得14p =，且17||2228p PF =+=>，符合题意，此时抛物线方程为21.2x y =综上所述，C 的方程为21.2x y =故答案为：21.2x y =14.【答案】2(-或2或6-或6)
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．
根据点到直线的距离公式列方程，再解绝对值方程求得实数m 的值．
【解答】
解：设圆O 的圆心到直线0x m ++=的距离为d ，
由题意知，当圆心到直线的距离3d =，即||32
m =，6m =±时，
圆O 上到直线0x m ++=距离为1的点的个数为1;
当圆心到直线的距离1d =，即||12
m =，2m =±时，
圆O 上到直线0x m ++=距离为1的点的个数为3；
当圆心到直线的距离d 满足3d >时，
圆O 上到直线0x m ++=距离为1的点的个数为0，不符合题意；
当圆心到直线的距离d 满足13d <<时，
圆O 上到直线0x m ++=距离为1的点的个数为2，不符合题意；
当圆心到直线的距离d 满足01d <时，
圆O 上到直线0x m ++=距离为1的点的个数为4，不符合题意；
故m 的取值为2-或2或6-或6.
15.【答案】23【解析】【分析】
本题考查空间向量求线线角，属于基础题.
根据题意建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量即可求解.
【解答】
解：如图以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则1(0,0,0)A ，1(0,1,0)B ，(0,1,1)Q -，
(1,1,1)C --，(1,2,2)CQ =- ，11(0,1,0)PF A B == ，
设CQ 与PF 所成的角为θ，则cos |cos CQ θ=< ，22|.31441PF ->==++⨯ 16.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值和等差数列，两角和与差的余弦公式，是较难题.
由()0f x '=，解得15cos x -=15cos x +=，得出方程的根，求解即可.【解答】
解：2()2cos22cos 14cos 2cos 1f x x x x x '=-+=--，
由()0f x '=，解得15cos 4x -=15cos 4
x +=，由余弦函数的图象可知，在区间[,]ππ-上，15cos 4x -=
的两个实根为1x ，4x ，即1415cos cos 4
x x -==，且140x x +=，1;2x ππ-<<-
15cos 4
x =的两个实根为2x ，3x ，即2315cos cos 4
x x +==，且230x x +=，20.2x π-<
<232331cos()cos 22cos 14
x x x x --==-=
，434343cos()cos cos sin sin x x x x x x -=+=
显然320x x π<-<，430x x π<-<，
所以3243x x x x -=-，所以1x ，2x ，3x ，4x 成等差数列，故1411232
3.n n x x x x x x x x ---==--故答案为3.
17.【答案】解：(1)依题意得(0.010.0220.040.05)51a +⨯+++⨯=，解得0.06.
a =由(0.010.020.040.06)50.650.8+++⨯=<，
(0.010.020.040.060.05)50.90.8++++⨯=>，
所以知识竞赛成绩的80%分位数位于区间[90,95)，设为x ，则900.650.250.85
x -+⨯=，解得93x =，所以此次知识竞赛成绩的80%分位数为93.
(2)因为从竞赛成绩在[80,95)的学生中以分层抽样的方式抽取15人，其中竞赛成绩在分数段
[80,85),[85,90),[90,95)的人数分别为4，6，5，
至少有一人来自分数段[90,95)的情况共有21155
1060C C C +=种，选出的2人中1人来自分数段[90,95)，另外1人来自分数段[80,85)的情况有114520C C =种，
故选出2人且在至少1人来自分数段[90,95)的条件下，另外1人来自分数段[80,85)的概率为
201.603
=【解析】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率的概念与计算，属于中档题.
(1)由(0.010.0220.040.05)51a +⨯+++⨯=求得a ，再求80%分位数；
(2)由分层抽样求得在分数段[80,85),[85,90),[90,95)的人数，再由组合数及古典概型进行求解.18.【答案】解：(1)由题意，在ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，DE 是ABC 的中位线，当点A 与点C 首次重合时，CDE 翻折旋转所得的几何体是以2为半径，
32
为高的半个圆锥，所以CDE 翻折旋转所得几何体的表面积为：
211()22S DC EC DC AC DE ππ=
⋅⋅+⋅+
⋅2113(22)4222
ππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯932π=+
；(2)因为,DE AD DE CD ⊥⊥，AD CD D ⋂=，,AD CD ⊂平面ACD ，
所以DE ⊥平面ACD ，
易得//DE AB ，
所以AB ⊥平面ACD ，
当ACD 为正三角形时，以AC 的中点O 为原点，OC ，OD ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,0,0)A -，(1,0,0)C
，3)2E ，3(0,0,)2F ，则(2,0,0)AC =
，3()2CE =- ，设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z = ，
则20302
n AC x n CE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令2z =，平面ACE
的一个法向量为(0,2)n = ，
又因为(0,EF = ，
设直线EF 与平面ACE 所成的角为α，
则
||
sin
||||
EF n
EF n
α
⋅
==
，
故直线EF与平面ACE
所成角的正弦值为
7
【解析】本题考查简单组合体(柱、锥、台)的表面积，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题. (1)由CDE
翻折旋转所得的几何体是以2为半径，
3
2为高的半个圆锥，由此即可求出结果；
(2)以AC的中点O为原点，OC，OD，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求平面ACE 的法向量n
，利用
||
sin
||||
EF n
EF n
α
⋅
=
，即可求出结果.
19.【答案】解：(1)在等差数列{}n a中，设首项为1a，公差为d，
若选条件①②有1
11
37,
102(5)1,
a d
a d a d
+=
⎧
⎨
+=+-
⎩
即1
1
37,
1
a d
a
+=
⎧
⎨
=
⎩
解得1
1,
2,
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
则数列{}n a的通项公式为2 1.
n
a n
=-
若选条件①③有
1
1
37,
54
525,
2
a d
a d
+=
⎧
⎪
⎨⨯
+=
⎪⎩
即1
1
37,
25
a d
a d
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得1
1,
2,
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
则数列{}n a的通项公式为2 1.
n
a n
=-
若选条件②③有
11
1
102(5)1,
54
525,
2
a d a d
a d
+=+-
⎧
⎪
⎨⨯
+=
⎪⎩
即1
1
1,
25
a
a d
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得1
1,
2,
a
d
=
⎧
⎨
=
⎩
则数列{}n a的通项公式为2 1.
n
a n
=-
(2)证明：由(1)可知21
n
a n
=-，则(1)411
(1)(
(21)(21)2121
n
n
n
n n n n
-⋅
=-+
+⋅--+
，
所以
1111111(1)(1)(1)
(1()(( 1.
3355779212121
n n n
n
T
n n n
---
=-+++-++++++=-
-++
解法一：当n为偶数时，
11
21
n
T
n
=-
+
为单调递减数列，2
4
1
5
n
T T
-<=-，
当n为奇数时，
11
21
n
T
n
-
=-
+
为单调递增数列，1
41
3n
T T
-=<-，
故n T的最大值与最小值分别为
4
5-与
4.
3-
又
448
()1
5315
---=<，所以对任意p，*
q N
∈，都有 1.
p q
T T-<
解法二：当p ，*
q N ∈时，(1)(1)1121212121p q p q T T p q p q ---=-+++++，而11111212122
p q +<+=++，所以对任意p ，*q N ∈，都有 1.
p q T T -<【解析】本题考查等差数列的通项公式，前n 项和，裂项相消求和，数列的单调性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.
(1)分别选则①②，①③，②③条件时，直接利用基本量法即可求出数列的通项公式;
(2)利用裂项相消求和，得(1)121
n n T n -=-+，方法一：分n 为奇数和偶数时，利用数列的单调性即可证明.方法二：利用放缩法证明即可.
20.【答案】解：(1)由2244AC AB BM CM ====，得4AC =，2AB BM ==，1CM =，
因为cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，所以222222
022AM BM AB AM CM AC AM BM AM CM
+-+-+=⋅⋅，即2244116042AM AM AM AM
+-+-+=
，解得AM =(2)因为ABM ACM ABC S S S += ，所以sin sin sin().AC AB AM
αβαβ++=又775AB AM AC ==，所以sin sin sin()755
αβαβ++=，进一步有5sin 7sin 7sin cos 7cos sin αβαβαβ+=+，①又因为sin 7sin 3
αβ=，即7sin 3sin βα=，②②代入①得87cos 3cos βα=+，③
由②③并结合22sin cos 1ββ+=，解得1cos 2
α=，所以.3BAM πα∠==【解析】本题考查正余弦定理解三角形以及三角形的面积公式，属于中档题.
(1)根据题意可得cos cos 0BMA CMA ∠+∠=，利用余弦定理的推论即可求解；
(2)根据三角形面积公式以及条件可得sin sin sin()755
αβαβ++=，结合三角函数基本公式化简即可求解.21.【答案】解：(1)设1||PF u =，2||PF v =，
则22215,2(12)26,2,uv u v a u v a =⎧⎪+=-+⎨⎪+=⎩
解得216a =，
所以椭圆C 的标准方程为22
1.1612
x y +=(2)设直线MN 的方程为2x ty =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，与椭圆方程22
11612
x y +=联立并化简得22(34)12360t y ty +--=，则1221234t y y t +=+，1223634
y y t -=+，从而12123().
ty y y y =-+直线AM 的方程为11(4)4y y x x =++，令0x =，得1144y m x =+，同理2244
y n x -=-，由11(2,0)(6,0)(26,0)mAF nF B m n m n +=+=+ ，而12122112211212128248(4)24(4)8(6)24(2)2644(4)(4)(4)(4)y y y x y x y ty y ty m n x x x x x x ---+--++=
+==+-+-+-1212121212121648()16[3()]48()0(4)(4)(4)(4)
ty y y y y y y y x x x x --+-⨯-+-+===+-+-，所以11(0,0)mAF nF B += ，
即11||0.
mAF nF B += 【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线方程以及韦达定理的应用，属于中档题．
(1)根据题意结合椭圆的定义列方程组求出2a ，即可得到椭圆C 的方程；
(2)设直线MN 的方程为2x ty =-，11(,)M x y 、22(,)N x y ，利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理以及向量的坐标运算即可求解．
22.【答案】解：(1)因为函数()f x 的图象在(0,(0))f 处的切线方程为34y x =+
，所以3(0)4f =
，(0)1f '=，即3(0)44
a f
b =-+=，①又21()()2x x a f x x e be -'=+
+，所以1(0)12a f b -'=+=，②由①②解得1a =，1b =，所以21()(21).4
x x f x x e e =-+(2)设21()()2ln 3(21)2ln 34x x F x f x x x e e x =--=
-+--，
221()(2)()x x x x F x xe e xe e x x
'=+-=+-，又当0x >时，20x xe +>，令()0F x '=，即10x e x
-
=，设1()x g x e x =-，易知()g x 在(0,)+∞上单调递增，
又121(220,(1)102
g e g e =-=<=->，所以存在唯一的01(,1)2x ∈，使得0()0g x =，即0()0.
F x '=且当0(0,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减;
当0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，
从而()F x 的最小值为0().
F x 由0()0F x '=得，0010x e
x -=，即001x e x =，00ln .x x =-所以0020001()(21)2ln 34
x x F x x e e x =-+--000220000
211132323442x x x x x x x -=++-=-++-，令213()2342h t t t t =-
++-，1(,1).2t ∈3323
13431()2222t t h t t t t -+'=-+=，令3()431t t t ϕ=-+，2()123t t ϕ'=-，显然当1(,1)2t ∈时，()0t ϕ'>，所以()t ϕ在1(,1)2上单调递增，从而1()()02t ϕϕ>=，即()0h t '>，所以()h t 在1(,1)2上单调递增，从而1()()02h t h >=，即0()0F x >，因此()0F x >，
故(0,)x ∀∈+∞，()2ln 3f x x >+恒成立.
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性以及导数中的恒成立问题，属于较难题.
(1)由题意可得3(0)4
f =，(0)1f '=，即可得出a ，b ，从而得出()f x 的解析式;(2)设21()()2ln 3(21)2ln 34x x F x f x x x e e x =--=
-+--，利用导数得出当0x >时，()0F x >，即可得证.。