高中数学新人教版A版精品学案《幂函数》

幂函数
【学习目标】
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。

【学习重难点】
1．学习重点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．
2．学习难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．
【学习过程】
一、自主学习
问题1：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积S =______，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长a =_______，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积V =_______，V 是a 的函数；
（4）某人ts 内骑车行进1km ，则他骑车的平均速度_____/v km s =，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付_____p =元，这里p 是w 的函数。

1．幂函数的概念：
一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别。

试试：判断下列函数哪些是幂函数。

① 1y x
=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。

2．幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：
（1）y x =；（2）
12
y x =；
（3）2
y x =；（4）1
y x -=；（5）3
y x =。

从图象分析出幂函数所具有的性质。

3．幂函数的性质及图象变化规律:
（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有意义,并且图象都过点（1,1）；
（2）当0α>时,幂函数过原点,在[0,)+∞上是增函数；特别地,当1α>时,幂函数的图象下凸；
当01α<<时,幂函数的图象上凸；
当0α<时,幂函数不过原点在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内,图象向上与y 轴无限接近,向右与x 轴无限接近｡ （3）幂指数的分母为偶数（分子为奇数）时,图象只在第一象限；
幂指数的分子为偶数（分母为奇数）时,是偶函数,图象在第一､第二象限,关于y 轴对称；
幂指数的分子､分母都为奇数时,是奇函数,图象在第一､第三象限,关于原点对称｡任何幂函数
都不过第四象限； 二､合作探究 1．讨论函数2
3y x =的定义域､奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性｡
2．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数｡
三､总结提升 1． 幂函数的的性质及图象变化规律； 2． 利用幂函数的单调性来比较大小｡
【学习小结】
幂函数的图象在第一象限的分布规律:
幂函数y x α
=的图象,在第一象限内,直线1x =的右侧,图象由下至上,指数α由小到大｡。