2022考研数学三模拟试卷一(详细解答)

2022年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）模拟试卷一
解
答
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
（1）答案：选（D）.
解
由()0
lim[1]0f x x e →-=，有0
lim ()0(0)x f x f →==，故
22()000ln(1)lim lim lim 1()(0)1()
f x x x x x x x f x f e f x x
→→→+===--，可得0()(0)
(0)lim 0
x f x f f x
→-'==.又因20lim 10()
x x f x →=>，由保号性知,在 (0)U
内，()0(0)f x f >=，从而()f x 在0x =处取极小值(0)0f =.选（D）.
（2）答案:选(D).解
由题设极限可知(0,0)0,(0,0)2,(0,0)1x y f f f ''===，且函数在(0,0)点可微.
(
)
2
2
221ln(1(1cos ,1))
sin sin 0
lim 1(1cos ,1)
lim x f x e x x
x
x x f x e e
+--→→+--=，
22
22
00ln(1(1cos ,1))(1cos ,1)
lim
lim
sin x x x x f x e f x e x x →→+----
=0x →=2
222001
(0,0)(0,0)2lim lim 112,x y x x f x f x x x
→→'⋅'⋅=+=+=所以原极限，故选(D).
（3）答案:选（B）.解
2242
220
04cos sin cos sin cos sin 111x x x x x x I J dx dx dx x x x π
π
ππ----==++++⎰
⎰⎰.对后一个积分，令2
x t π
=
-，得
0242
02244
cos sin sin cos sin cos (11()1()
22
x x t t x x dx dt dx x t x ππ
ππππ---=-=++-+-⎰
⎰⎰），故
42
2
1
1
(cos sin )[
]011()2
I J x x dx x
x π
π
-=
-->++-⎰
，
即I J >.故选（B）.
（4）答案:选(C).
解
原极限211
221lim
(
n n
n i j i j f n n n n →∞
===+⋅∑∑
，令2i
x n
=，当:1()i n n →→∞时，:02x →，令j
y n
=，当:12()j n n →→∞时，:02y →，所以区域为{(,)|02,02}D x y x y =≤≤≤≤，因此原极限2
2
()dx f x y dy =
+⎰
⎰.故选(C).
（5）答案：选（Ｄ）.解法1
因为2
2
0()(())()A bA cE A kE A k E k E b bk c ++=⇒-+=-+++，若矩阵A 对任何
实数k ，A kE -可逆，需20k bk c ≠++.欲对任何实数k ,20k bk c ≠++,即方程20k bk c =++无实数解,故,b c 需满足204b c <-.所以（Ｄ）正确.
解法2
A kE -可逆k ⇔不是A 的特征值20k bk c ⇔++=无实数解20.4⇔<-b c 故选（Ｄ）.
（6）答案：选（B）.解
由题设10,0A A x β==知有非零解，故()2r A ≤，又()()r AB r A <，从而()1r AB ≤；由
20,A β≠2β不是方程组0Ax =的解，即AB O ≠，故()1r AB ≥.综上得()1r AB =，故选（B ）.
（7）答案：选（B ）.解
由()r A m =知A 一定可以只经过一系列的初等列变换化为(),,m E O ①不正确；
由()r A m =知(,)r A b m =，则Ax b =有解，但无法判定是无穷多解还是有唯一解，故②不正确；
m 阶方阵B 满足BA O =⇒()()r B r A m +≤，且知()r A m =()0r B B O ⇒=⇔=，故③正
确；T
AA 为m 阶方阵，又()()T r A r A m ==，则知0T A x = 仅有零解，即对0,()()0T T T T T T x x AA x A x A x AA ∀≠=>⇒
为正定矩阵.④正确．选（B ）.
（8）答案：选（C ）.解
设A 表示6次射击恰好命中4次；B 表示4次射击恰好命中3次；
2313244262121()()()()
()23333()21()5()()33
C C P AB P B A P A C ==
=，故选（C ）.
（9）答案:选（C）.
解
22222222ˆˆˆ()()[()]E D E σ
σσσσσ-=-+-2222ˆˆ(),D E σσσ=+-2222
11ˆˆn n S E n n
σ
σσ--=⇒=,
()()2
2
42
2
42
2
2
11222ˆ()1n n n D D S n n n n σσσ---=
=
⋅=-故
222444
2
2222121ˆ()n n E n n n
σ
σσσσ---=+=222444
22222121ˆ()n n E n n n
σ
σσσσ---=+=故选（C）.
（10）答案：选（A ）.
解
由0{0}1{1}2{2}
EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅=2{1}2(1)2(1)
P X θθ==+-=-得{1}2(1)P X θθ==-,故2
{0}.
P X θ==22244()[2(1)](1)4(1)L θθθθθθθ=⋅--=-，ln ()ln 44ln 4ln(1)L θθθ=++-ln ()44
01d L d θθθθ
=-=-解得1
ˆ2
θ
=，故选（A ）.二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．请将答案写在答题纸指定位置上．
(11)答案：填20212-．解
21cos 2121
()(12)cos (12)cos 2cos 2222
x x f x x x x x x x ++=+=+⋅=++,()(cos 2)=2cos(2)2n n n x x π
+
,于是(2022)2021(0)2f =-．(12)答案：填()2211
2ln 44
f x x x e =--．
解
设
1
()x f e dx A =⎰
，由题设，有1
20
()2()x x x f e xe f e dx =-⎰.两边积分，得
1
20
2x A xe dx A =-⎰,则
11221
222120
000111112[][][1]22
224
x
x x x A xe dx xe e dx e e e =
=-=-=+⎰⎰.故
()2211
2ln 44
f x x x e =--.
（13）答案：填
32sin 4
4
(cos ,sin )d f r r rdr πθ
π
θθθ⎰⎰
.
(14)答案：填2k <.解
由于x →+∞时，33
3
11
3(1)x x x e e
e e e x +-=- ，原积分与331111k
k
x dx dx x x +∞+∞-⋅=⎰⎰的敛
散性相同，312k k ⇒->⇒<.
（15）答案：填2-..解
由合同矩阵所对应的二次型具有相同的规范形，于是B 的正、负惯性指数均为1，
()112r B =+=.则2(1)(2)01B a a a =--+=⇒=或2a =-.
若1a =，则()1r B =不合题意；若2a =-，由0B E B λ-=⇒的特征值为0,3,3-，此时B 的正、负惯性指数均为12a ⇒=-.
（16）答案：填
2
3e .
解
由题意，()1
1
(1)10,f ae a b e
--'=-+=故得0b =又0
0()1,
x f x dx axe dx a +∞
+∞
-===⎰
⎰20
()2x EX x f x dx x e dx +∞
+∞
-=⋅==⎰⎰.22
3{}{2}.x P X EX P X xe dx e
+∞-≥=≥==
⎰
三、解答题:17～22小题，共70分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)解
由题意,点P 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-,令0Y =,解得
()
()
f x u x f x =-
'.2000()()lim lim[1]1lim ()()
→→→=-=-''x x x f x u f x x f x x xf x x
其中
2000()()()(0)1
lim
lim lim (0),
222
→→→'''-''===x x x f x f x f x f f x x x 0()lim (0)x f x f x →'''=,故01lim .2
→=x u x 2
2002
2(0)(0)(0)()
()2!lim lim (0)()(0)(0)()
2!
x x f f f u u o u f u f f x f f x x o x →→'''+++='''+++2
220022(0)()
1
2lim lim().(0)4()
2→→''+===''+x x f u o u u f x x o x （18）解
由对称性可知，区域D 关于x
3y
为奇函数，所以
30D
=.
再由对称性可知，1
2321202
2D I d πθ==⎰⎰
⎰22320
12(sin cos sin cos )4d π
θθθθθ
=⋅-⎰332220011sin (cos (1cos ))23d π
πθθθθ⎡⎤=--⎢⎥
⎣⎦
⎰112421
2335310
⎡⎤⎛⎫=
--⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
或
1
232120
22D I d rdr
π
θ==⎰⎰
⎰22
452220
0011111
2(1cos )sin cos sin sin sin .4225
10
ππ
πθθθθθθθ
=⋅-==⋅=
⎰⎰d d （19）解
(Ⅰ)因为00a =，11a =，设1k a ≤，则1112
133
k k k a a a +-=
+≤，
由归纳法可知1n a ≤.又因为1!!n n n a x x n n ≤，且级数01!n n x n ∞=∑的收敛域为(),-∞+∞，由比较判别法知，0!
n n n a x n ∞
=∑的收敛域也为(),-∞+∞.
(Ⅱ)0()!
n n n a s x x n ∞
==∑
，所以1
110()(1)!!n n n n n n a a s x x x n n ∞∞
-+=='==-∑∑，2
220().
(2)!!
n n n n n n a a s x x x n n ∞
∞
-+==''==-∑∑因为2112
33
n n n a a a ++=
+，故2110000211
2()2()()!3!3!!3
3n n n n n n n n n n n n n a a a a a s x x x x x s x s x n n n n ∞
∞∞∞
+++====+⎛⎫'''===+=+ ⎪⋅⎝⎭∑∑∑∑，
因此和函数满足的微分方程为
12
()()()033
s x s x s x '''--=.
(Ⅲ)设特征方程为2
12033r r -
-=，则方程的根分别为122
1,3
r r ==-，故二阶微分方程的通解为2
3
12()x x
s x c e c e
-=+，代入01(0)0,(0)1s a s a '====，可得135c =
，23
5
c =-，从而2
333()55
x x s x e e
-=-.(20)解
(I)(,)P x y 点的切线方程为()(,0)y
Y y y X x T x y '-=-⇒-
'
.由22222
2(()y y xy
PT OT y x y y y x y '=⇒+=-⇒=''-，即2
2
1()y x y y x '=
-.令y u x
=,则有
2222
21211(1)du u u u u x du dx dx u u u x +-+⋅=⇒=-+⎰⎰22
221ln
ln ln 11u u x C Cx x y y u u C
⇒=+⇒=⇒+=++.把(1,1)代入得1
2
C =
，故曲线方程为222x y y +=.
（II）2
2
1
1
1
1
(1(1V dx dx
ππ--=-⎰
⎰12
1
4=πππ-==⎰⎰（21）解（Ⅰ）由于(2)0A E x -=
的基础解系中含3个线性无关的解向量，则12λ=至少是
A 的3重特征值，再由4
1
()i i tr A λ==∑得A 的另一个特征值为24λ=-；则A 有4个线性无关的特
征向量，故A 可对角化，即A 可相似于一个对角阵.
（Ⅱ）由于12λ=是A 的3重特征值，故有
21232431323441
42
43(2)102222,22r A E r a a a a a a a a a -==-⎛⎫ ⎪- ⎪
⎪- ⎪-⎝⎭
进而解得2131412434424323320,2,2a a a a a a a a a =========-，于是
2222002202020220A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
.注意到1234(,,,)T T f x x x x x Ax x Bx ==，其中21111022=12022
1220T A A B -⎛⎫
⎪-+ ⎪=
⎪- ⎪-⎝⎭，B
的特征值为123,42,1λλλ===-±当122a =时，则1234(,,,)f x x x x
在正交变换下的标准形为
2222
1234
22(1(1f y y y y =++-++--.（22）解
(Ⅰ){1,}=1,arctan }44
Y P U V P X ππ
≤≤
≤≤1
40
0211==2r d e rdr e
π
θπ--⎰⎰
．(Ⅱ)记(,)U V 的分布函数为,(,)U V F u v ，则,(,){,}U V F u v P U u V v =≤≤．①当0u <或0v <时，,(,)0U V F u v =；②当0,02
u v π
≥≤≤
时，,(,){,}=,arctan
}U V Y F u v P U u V v P u v X
=≤≤≤
2
2==
(1(1))v u
r u v
d e rdr u e θπ
π
---+⎰⎰
；
③当0,2
u v π
≥≥
时，,(,){,}=,arctan
}2
U V Y F u v P U u V v P u X π=≤≤≤≤20
2==1(1)u
r
u d e rdr u e πθπ
---+⎰⎰
进而得
2,,2(,),0,0,(,)20,
.u
U V U V F u v ue u v f u v u v
ππ-⎧∂≥≤≤⎪=
=⎨∂∂⎪⎩其它(Ⅲ)U 和V 的边缘密度分别为
20,2,0,
,0,()(,)0,,0,u
u U U V ue u ue dv u f u f u v dv ππ--+∞-∞
⎧⎧≥≥⎪===⎨⎨
⎩⎪⎩
⎰⎰
其它其它+0,22,0,,0,()(,)22
0,0,
,u
V U V ue du v v f v f u v du ππππ∞-+∞-∞
⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪
===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰
其它其它由于,(,)()()U V U V f u v f u f v =，所以U 和V 相互独立．。