几种特殊类型积分因子的求法

1.1
:
(y)
解: 变形为
1 J
(x, y) - P 2(x)q 1(y)
(x -1)(y -1)
运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程
方小，数学与计算机科学学院
摘 要：针对满足某些条件的微分方程，着重研究如何直接地、有效地求出其积 分
因子的方法,从而方便快捷地求出其通解•
引言：方程取形式M(x,y)dx • N(x,y)dy =0时的求解问题教材中主要介绍了五 种类型
的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，
其他类型均可借助积
分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方 程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性
•
一.几种特殊类型结构的微分方程 M(x,y)dx ，N(x,y)dy = 0的积分因子 的求法
1 •常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程 可分离变量方程
= f (x) ( y)很容易求得积分因子为■-
dx
求(xy - x)dx (xy x - y -1)dy = 0 的积分因子
x(y -1)dx (x -1)(y 1)dy = 0
积分因子为
方程两边乘以上积分因子得:
dy = 0 x-1
y -1
两边积分得原方程的通解为
x y ln(x T)( y T)2 二 C
1 .
2 线性微分方程
—
g(x)
「g(x ),
设f(x ,y )及三连续'试证方程d y _f(x ,y g o 为线性微分方程它有仅依赖于x 的积分因子• 证明：设方程dy - f (x, y)dx =0是线性微分方程.即存在g(x), h(x)使得
f(x, y)二 yg(x) h(x)
这样
M 二-f (x, y)二-yg(x) -h(x), N = 1, .:M :
N
.:y
；x
N
所以，方程具有积分因子
C-g(x)dx
.二
=e
这即证明了方程有仅依赖于x 的积分因子.
例2 :解方程:(ycosx-ysinx)dx (ysinx xc°sx)dy = 0
解： • .M = ycosx - xsinx, N = ysinx xcosx
:
N ：:M
=
y
于是积分因子为
ydy y
u =e 二e
•••通解为
e y (xcosx ysinx-sinx)=C
” _
_n
-(n -J p(x)dx)
1.3 伯努利微分方程方程的积分因子是'
=
y e
证明: 设伯努利方程为
改写为
dy _ p(x)ydx _ q(x) y n dx 二 0,
乘以y
』得
y 』dy - p(x)y 1』dx _q(x)dx = 0
1 _n 1 _o
d(y )一(1 一 n)p(x)y dx —(1 - n)q(x)dx = 0,
再乘以
_(1』)p(x)dx
e
41』)p(x)dx
e
(1 - n)q(x)dx 二 0,
_(1_n) p(x)dx
」 dx ] = 0.
少=p( x) y q( x)y n
dx p( )y q( )y 5式0,1)
1
1
-(1-n) fp(x)dx [d(y )-(1 - n)p(x)y dx]-e
1 _n _(1 _n [ p ( s) dx
d[y e
]—d[ .(1 - n)q(x)e
这是全微分方程，因此所求积分因子是
■
— 」n_]p(x)dx)
y e
例 求3 • y 二(cosx —sinx) y 2的积分因子及通解 dx
解：积分因子
/
、
.n
p
(x )dx
/ 菽
(x, y) = y e
y e
原方程两边同乘以 y °e ，并化为对称式为
y 2e"dy y °e*dx = (cosx -sin x)e»dx
凑微分为：
d( —e^y J) = d(e 亠 sin x)
两边同时求积分得：
e^si nx e "^y = C
1.4齐次微分方程M(x,y)dx • N(x,y)dy =0当xM • yN = 0时有积分因子
(・N) x
xM N - MN
ex
-xN
(xM yN)2
由于方程是齐次的，我们不妨设 M(x, y)和N(x, y)是m 次齐次函数，则有
.:M
:
x
;:M
*x
匕cN 冰
* y = m • M 与—*x — * y = m * N ex cy
由上
:M :N :N :M yN
yM
xM
xN
cy
cy
ex
ex
从而得到
：
因此方程 M (x, y)dx N (x, y)dy =0当xM ■ yN = 0时有积分因子
-1
xM yN
xM yN
证明由于
切(x,y) = ^<jN(x,yr^^
xM +yN xM +yN
则有
.:M
N
N
(xM yN) - M (x N y )
；：(」M) _ ：：y jy ；:y
訶一 (xM yN)2
M
N
yN MN - yM * —
dy
cy
-
(xM +yN)2
J
同理，
例(y 2「3x 2)dy 2x y d x 0
y
y 2 -0 1 y 3
-0 1 N(y)P(x)
解此为齐次方程，故有积分因子
J =1 (Px Qy) =1 (2x 2y y 3 _3x 2y) =1 (y 3 _x 2y)
乘以积分因子，原方程化为
■
2
2
2
2
』 3
2
[2x (y -x )]dx [(y -3x ) (y -xy)]dy = O
这是一个全微分方程，它的通解为
x 2x dx 0 2 2 0
y - x
2 2 2
In y -In(y -x ) In y = C 其中C 为常数
2、具有特殊结构的一阶微分方程 M (x, y)dx • N(x, y)dy = 0的积分因子的求法 2.1 方程 M (x)N(y)dx P(x)Q(y) =0有积分因子：
显然,直接验证可得
= 1
旷 N(y)P(x)
为上式的积分因子.
.
f (x)dx • ■ (y)dy
若(：：P).(：y) -(：Q) (：：X )二 Qf (x) -P “y)」「I
-
是方程的积分因子
解：因为(：：P).(：：y) -(9) (；:x)
2
=6y x (2x 6y ) =(x 6y 2) 2(3y x)
2 2
1 2 2
一
(x
6xy)(-—)-(3y xy)(——)
x
y
1 = Q(-—)-P()
x y
故有积分因子
dx
1 2
xy
于是原
u[f(u
)-g
L )]dx g(」)d —0
(1)
(3 x 1 y)dx -(x y 1 2) 6)dy 二 0 (3 x)dx-6dy [(1 y) dx -(x y 2)dy] = 0
这是一个全微分方程，积分得出通解为
3ln x - 6y x y = C
或 3yln x - 6y 2 x =cy
2.2 设函数f(u),g(u)连续、可微且, 则方程yf(xy)dx - xg(xy)dy =0有积分因子:
xy[f (xy)-g(xy)]
证明:令沁二」,则原方程可化为
，但对于一个较复杂的方程，往往不容易直接求得它的积分因
(xy[ f (xy) -g(xy)]
子•
(1)
式两边同乘以fT 齐得
显然(2)为恰当方程，故(1)有积分因子 」[f(」)_g(」)]”因而原方程有积分因子
dx
g(J
du = 0
1 2x
故有积分因子
■' - 1 2 2 2 2
{xy[(x 2y 2
1) -(x 2y 2 一1)]}
1
乘上 —得
2xy
^xy 2dx 丄 dx -x 2ydy 2 2x 2
2（xy 2dx x 2ydy ） 2（空-包）=0
x y
二.针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解
但是如果把它的左端分成几组，比如分成两组：
（M 1dx N 1dy ） （M 2dx N 2dy ） =0
（3）
后,可分别求得各组的积分因子 叫和^,也就是如果有J 1/l 2使
SM 1 叫 N j dy 二
J
2M 2 」2N 2dy 二 d 」2
于是借助于7,常可求得Mdx • NdY =0的积分因子.为了说明这一点，先注意 下一事实•
如果「是Mdx • NdY =0的一个积分因子，且 ％」Ndy 二d ，,
则」^1）也是Mdx • NdY =0的积分因子.此处 C 1）是，的任一连续函数. 事实上」3） Mdx "_ （」）Ndy 二（」）（」Mdx 订：Ndy ）二（Jd 」 其中①表示©的一个原函数•
据此知,对于任意的函数 V ）及7（\）、2：：
（」2）都分别是⑶的第一组和第 二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择：：
使
亠=U 1 C\）「f ）则卩就既是（3）的第一组也是第二组的积分因子.因而也就
是Mdx • NdY =0的积分因子.
3
y 2 x
例:解方程：( 3x )dx - (1 )dy =0
x y
解:原方程改写为
3
(上dx dy) (3x2—)dy = 0
x y
显然
丄i 二x,鋼=xy,丄2 二y,丄2 二x‘ y
为使x \xy)二y (x3y),只须取丫")二"2,「(")= J
于是求得原方程的一个积分因子：
」二x (xy)二y (x3y)二x3y2
而以之乘方程的两端，便得
2 2 ^52、，，32 6
x y 3x y )dx (x y x y)dy = 0
于是
/ \3 z 3 2
P(x, y) = 0 (x2y3 +3x5y2)dx= —+ —(取c = 0) •••通解为
(xy)3 . (x3y)2
结论1 :
设u(x, y)是方程M (x, y)dx N(x,y)dy =0的积分因子，从而求得可微方程U(x,y)使dU =亠(Mdx • Ndy) /(x,y)=曲(U )时」i(x,y)也是方程的积分因子,
其中：(t)是t的可微函数.
结论2:
设u (x, y) , U2(x, y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy = 0的两个积分因子，且 F =常
-2
数，则匚1二C (任意常数)是方程的通解•
^2
结论3:
假设当方程M(x,y)dx ・N(x,y)dy=O为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解
可表示为xM (x, y)dx ■ yN(x, y)dy =c (c为任意常数).
参考文献(顶格、宋体、小四号加粗)：
[1] 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报(哲社版)，1995,24( 1): 161-164.
(参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，
序号应连续。

参考文献一律采用文后著录，所列参考文献撰写格式为：序号顶格，宋体，
五号，单倍行距。

请注意标点符号。

)
例x2y3dx (x3y2 -x)y 4dy = 0
解原方程化为y(x2y2 1)dx x(x2y2 T)dy = 0
因为(x2y21) -(x2y2 -1) =2 = 0,。