2009—2010年度定远中学高三第三次月考数学试卷(文科)

2009—2010年度定远中学高三第三次月考
数学试卷（文科）
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分) 1、已知集合{|33,},{|1},M x x x Z N x x M N =-<<∈=<=则 （ ）
A ．{|31}x x -<<
B ．{|02}x x <<
C ．{3,2,1,0,1}---
D ．{2,1,0}--
2、要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π
=-的图象 （ ）
A ．向右平移6π个单位长度
B ．向左平移6
π
个单位长度 C ．向右平移
3π个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度 3、若命题P ：x ∈A ∪B ，则⌝P 是
( )
A ．x ∉A 且x ∉
B B ．x ∉A 或x ∉B
C ．x ∉A ∩
D ．x ∈A ∩B
4、已知函数()()b x a x f y ≤≤=，则集合(){())}(b x a x f y y x ≤≤=,∩()}{0,=x y x 中含有元素的个数为 ( ) A ．0
B ．1或0
C ．1
D ．1或2
5、ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[π
π-上是增函数，那么 （ ）
A ．2
3
0≤
<ω B ．20≤<ω C ．7
240≤<ω D ．2≥ω
6、函数()72-+=x x f x 的零点所在的区间是 （ ） A 、()1,0 B 、()2,1 C 、()3,2 D 、()4,3
7、函数)2(3cos 2cos )(π
π-≤≤-+-=x x x x f 有
（ ）
A ．最大值3，最小值2
B ．最大值5，最小值3
C ．最大值5，最小值2
D ．最大值3，最小值
8
15 8、()x f 是定义在区间[]c c ,-上的奇函数，其图象如图所示：令()()b x af x g +=，则
下
列
关
于
函
数
()
x g 的叙述正确的是
( )
A ．若0<a ，则函数()x g 的图象关于原点对称．
B ．若1-=a ，02<<-b ，则方程()0=x g 有大于2的实根．
C ．若0≠a ，2=b ，则方程()0=x g 有两个实根．
D ．若1≥a ，2<b ，则方程()0=x g 有三个实根． 9、曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为
（ ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
10、设函数()x f 在定义域内可导，()x f y =的图象如图1所示，则导函数()x f y '=的图像可能为
（ ）
11、已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范
围是（ ） A ．a ＝3
B ．a ≥3
C ．a ≤3
D ．0<a <3
12．设()()x g x f ,分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时
()()()()0>'+'x g x f x g x f ，且()03=-g ，则不等式()()0<x g x f 的解集是
（ ）
A ．(－3，0)∪(3，+∞)
B ．(－3，0)∪(0，3)
x
y
O
图1
x
y
O
A
x
y O
B
x
y O
C
y O
D
x
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13、已知图象连续不断的函数)(x f y =在区间（a ，b ）（1.0=-a b ）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a ，b ）等分的次数至少是 。

14、曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的
面积为a 则,6
1
= .
15、已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ
≤≤，则cos2θ的值是 ．
16、下面有5个命题：
①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k k Z π
αα=
∈． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．
④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6
π
得到3sin 2y x =的图象．
⑤函数sin()2
y x π
=-在[0,]π上是减函数． 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
三、解答题（共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）设a 、b ∈Z ，E ＝{(x ,y )|(x －a )2＋3b ≤6y }，点(2，1)∈E ，但(1，0)∉E ，(3，2)∉E 。

求a 、b 的值。

18、（本小题满分12分）设函数())(2sin cos 22R a a x x x f ∈++=． （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈6,0πx 时，()x f 的最大值为2，求a 的值，并求出()()R x x f y ∈=的
对称轴方程．
19、（本小题满分12分）已知θθπ,2)24tan(=+为锐角，求)3
cos(θπ
+的值。

20、（本小题满分12分）设函数22()21(,0)f x tx t x t t R t =++-∈> （I ）求()f x 的最小值()s t ；
（II ）若()2s t t m <-+对(0,2)t ∈时恒成立，求实数m 的取值范围.
21、（本小题满分12分）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元
(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
22、（本小题满分14分）已知()()3211
ln ,32f x x g x x x mx n ==+++，直线l 与函
数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0 （1）求直线l 的方程及()g x 的解析式；
（2）若()()()'h x f x g x =-（其中()'g x 是()g x 的导函数），求函数()h x 的值域.
文科参考答案
13、10 14、a=±1 15、7
25
-
16、①④ 17、∵点(2,1)∈E ，∴(2－a )2+3b ≤6 ① ∵点(1,0)∉E ，∴(1－a )2+3b >0
②
∵点(3,2)∉E ，∴(3－a )2+3b >12 ③
由①②得6－(2－a )2>－(1－a )2，解得a >－32；类似地由①③得a <－12。

∴－32<a <－12。

18、解：（1） 则()f x 的最小正周期， 3[,]()88x k k k Z ππ
ππ∈-
+∈为()f x 的单调递增区
间
（2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)1
4x π
+=．
所以
max ()121f x a a +=⇒=．
2()4
2
28k x k x k Z π
π
ππ
π+
=+
⇒=
+∈为()f x 的对称轴
19
．
θθπ
θπ
cot )2
tan()24(
2tan -=+=+ ，又
3
4)
2
4(tan 1)
24tan(2)24(2tan 2-=+-+=
+θπθ
πθπ ， ∴tan 43=θ。

θ 为锐角 ∴sin 5
4cos 53==θθ，
∴θπ
θπ
θπsin 3
sin
cos 3
cos
)3
cos(⋅-=+10
3
3453235421-=⋅-⋅=
． 20、解：（1）
23()()1(,0)f x t x t t t t R t =+-+-∈>
x t ∴=-时，()f t -取得最小值3()1f x t t =-+-，即3()1s t t t =-+-
（2）令3
()()(2)31h t s t t m t t m =--+=-+--由'
2
()330h t t =-+=，得1t =或1t =-（舍去）
()h t ∴在(0,2)内有最大值1m -，()2s t t m ∴<-+对(0,2)t ∈时恒成立等
2T π
πω=
=2()2cos sin 21cos 2sin 2)14
f x x x a x x a x a
π
=++=+++=+++
价于()0h t <恒成立。

21、解 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
v
S
,全程运输成本为y =a ·
v S +bv 2·v S =S (v a +bv )∴所求函数及其定义域为y =S (v
a
+bv ),v ∈(0,c ] (2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (v
a
+bv )≥2S ab ①
当且仅当
v
a
=bv ,即v =b a 时，①式中等号成立
若
b a ≤
c 则当v =b a 时，有y min ＝2S ab ；若b a >c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v
a +bv )－S (
c a +bc )=S ［(v a －c a )+(bv －bc )］=vc
S (c －v )(a －bcv )∵c －v ≥0,且c >bc 2, ∴a －bcv ≥a －bc 2>0
∴S (
v a +bv )≥S (c a +bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ＝S (c
a
+bc )； 综上可知，为使全程运输成本y 最小，当
b ab ≤
c 时，行驶速度应为v =b
ab
, 当b
ab
>c 时行驶速度应为v =c 22、（1）直线l 是函数()ln f x x =在点()1,0处的切线，故其斜率()'11k f ==， 所以直线l 的方程为 1.y x =-
又因为直线l 与()g x 的图象相切，所以()32
1132
g x x x mx n =
+++在点()1,0的导函数值为1. ()()1101
'116m g n g =-⎧=⎧⎪⎪
⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
所以()32111326g x x x x =+-+ （2）因为
()()()()2'ln 10h x f x g x x x x x =-=--+>
所以()()221(1)112'21x x x x h x x x x x
-+--=--==-
当102x <<
时，()'0h x >；当1
2
x >时，()'0h x < 因此，当12x =
时，()h x 取得最大值11
ln 224
h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以函数()h x 的值域是1,ln 24⎛
⎤
-∞- ⎥⎝
⎦
.。