《步步高 学案导学设计》 高中数学北师大版选修12【配套备课资源】第四章 1

⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
小结 复数a＋bi中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚 本 部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同
课
时 它的符号叫作复数的虚部．
栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请 举出例子；若不存在，请说明理由．
本
课 然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而
时
栏 可以确定两个独立参数．
目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
跟踪训练3 已知x2－x＋x－1 6＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
解 由复数相等的定义得
本
课 时 栏 目 开
x2－x＋x－1 6＝0. x2－2x－3＝0.
解得：x＝3，
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月18日星期六2021/9/182021/9/182021/9/18 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/182021/9/18September 18, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/182021/9/182021/9/182021/9/18
§1
本 小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x
课 时
轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实
栏 数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
问题2 下列命题是否正确？
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
§1
问题2 如何理解虚数单位i?
答 (1)i2＝－1.
本 (2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
课
时 栏
(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中
目 很多结论在复数集中不再成立．
开
关 (4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
时 栏
b，c，d∈R)．
目
开
关
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§1
例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－
y)i，求x与y.
本 课 时
解 由复数相等的充要条件得21x＝－y1－＝3.－y，
栏
目 开 关
解得x＝－32，
y＝4.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
小结 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，
本 －2，虚部为m2－3m＋2.
课
时 (1)由题意得m2－m－2＝0.
栏
目 开
解得m＝2或m＝－1.
关
(2)由题意得mm22－ －m3m－＋22<>00 ，
∴－ m>12<或m<m2<1 ，∴－1<m<1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，故m＝2.
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§1
小结 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对
本 且m2＋2m－3≠0，
课
时 栏
解得m＝0或m＝－2.
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
探究点二 两个复数相等
本 问题1 两个复数能否比较大小？
课
时 栏
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
问题2 两个复数相等的充要条件是什么？
本 课
答 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，
本
课 答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确
时
栏 定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．
目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
问题4 怎样定义复数z的模？它有什么意义？
本 答 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量 O→Z ＝(a，b)的
课 时
模，记作|z|或|a＋bi|.
关
(2)复数集
①定义： 复数的全体 组成的集合叫作复数集．
②表示：通常用大写字母 C 表示．
填一填·知识要点、记下疑难点
§1
2．复数的分类及包含关系
(1)分类：
实数b＝0
本 课
复数(a＋bi，a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0
时 栏
(2)集合表示：
目
开
关
3．两个复数相等：a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c且b＝d .
(1)实部为－ 2的虚数；
(2)虚部为－ 2的虚数；
本 课
(3)虚部为－ 2的纯虚数；
时 栏
(4)实部为－ 2的纯虚数．
目
开 解 (1)存在且有无数个，如－ 2＋i等；
关
(2)存在且不唯一，如1－ 2i等；
(3)存在且唯一，即－ 2i；
(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
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填一填·知识要点、记下疑难点
§1
4．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点
本
Z(a，b) ；
课
时 (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量 O→Z＝(a，b) ．
栏 目
5．复数的模：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z
开
关 的模叫作复数 z 的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝ a2＋b2 .
都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不
都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它
所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数， 故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真
命题，④是假命题．
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§1
问题3 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
本 小结 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚
课 时
部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
栏
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
跟踪训练2
实数m为何值时，复数z＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m
－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
§1
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
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§1
问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？
本 课
答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，复数通常用字
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
本 课
答 根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实
时 数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点
栏
目 (2,0)表示实数2，因此①③是真命题；
开 关
根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点
关
所以x＝3为所求．
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
探究点三 复数的几何意义
问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样
本 来表示呢？
课 时
答 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)
栏 目
一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可
开 关
以建立一一对应．
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时 栏
则a2＋( 3)2＝4.解得a＝±1.所以z＝±1＋ 3i.
目
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§1
1．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则
本
实数 a，b 的值分别是
课 时
A． 2，1
B． 2，5
栏 目
C．± 2，5
D．± 2，1
开 关
解析 令a－2＝2＋2 b＝3 ，
§1
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，
虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋12i；③ 2＋i；④π；⑤－ 3i；⑥0.
本 课
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；
时 栏 目
②的实部为－3，虚部为12，是虚数；
开 ③的实部为 2，虚部为1，是虚数；
关
④的实部为π，虚部为0，是实数；
⑤的实部为0，虚部为－ 3，是纯虚数；
本 课 时 栏 目 开 关
§1
学习要求
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些
本
基本概念.
课 时
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条
栏
件.
目
开 4．理解复数的几何表示．
关
学法指导
Hale Waihona Puke 可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，
栏 目
|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2可以表示点Z(a，b)到原点的距离．
开
关
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§1
例4 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对
应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分
别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 5:10:56 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
§1
例2
当实数m为何值时，复数z＝
m2＋m－6 m
＋(m2－2m)i为
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
本
解 (1)当mm2≠－02m＝0 ，即m＝2时，复数z是实数；
课 时 栏 目
(2)当mm2≠－02m≠0，
开
关 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当m2＋mm－6＝0 ， m2－2m≠0
认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数
对的对应关系．
填一填·知识要点、记下疑难点
§1
1．复数的有关概念
(1)复数
本
课 ①定义：形如 a＋bi 的数叫作复数，其中 a，b∈ R ，i 叫作
时
栏 虚数单位 ，a 叫作复数的 实部 ，b 叫作复数的 虚部 ．
目 开
②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi (a，b∈R)．
解 (1)要使z是实数，
本 课 时
m需满足m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12有意义即m－1≠0，
栏 目
解得m＝－3.
开 关
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，
且mmm－＋12有意义即m－1≠0，
解得m≠1且m≠－3.
研一研·问题探究、课堂更高效
§1
(3)要使z是纯虚数，m需满足mmm－＋12＝0，
(C)
∴a＝± 2，b＝5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§1
2．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为
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§1
探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么
本
课 怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
时
栏 答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，
目
开 方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
关
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本 应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平
课 时
面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判
栏 目
断复数实部、虚部的取值．
开
关
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§1
跟踪训练4 已知复数z的虚部为 3 ，在复平面内复数z对应
的向量的模为2，求复数z.
本 课
解
由已知，设z＝a＋ 3i(a∈R)．
时 栏
母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫复数的代数形
目 开
式，其中a、b分别叫作复数z的实部与虚部．
关
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§1
问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
本 课
答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫作虚
时 栏
数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数．
目
开
关
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