2024届浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学高三数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2024届浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学高三数学第一学期期末统考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．
7
3
斤 B ．
72
斤 C ．
52
斤 D ．3斤
3．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，
且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154
x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
4．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）
★
2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）
（2020★2018）的值为( ) A ．10112
B ．10102
C ．10092
D ．10082
5．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A ．16π
B ．
323π
C ．
6423
π
D ．
2053
π
7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥
C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
8．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：2
4y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．
1
4
B ．
15
C ．
13
D ．
18
10．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知椭圆2
2:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )
A ．3320x y --=
B ．3320x y -+=
C ．3340x y +-=
D ．3340x y ++=
12．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()
22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（ ） A ．max
3a c
-=
B ．max
3a c
+=
C ．min
3a c
-= D ．min
3a c
+=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______. 14．若12
x ≤
且0x ≠时，不等式2
2ax x a x --≥恒成立，则实数a 的取值范围为________． 15．设全集U =R ，{|31,}A x x x Z =-<≤∈，{
}
2
|20,B x x x x R =--≥∈，则U
A
B =______.
16．在ABC 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且sin cosC 3cos sin A A C =，则
b =_________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取n 名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：h ）的数据如下：
（1）根据表格中提供的数据，求a ，p ，n 的值并估算一周课外读书时间的中位数.
（2）如果读书时间按(]0,6，(]6,12，(]12,18分组，用分层抽样的方法从n 名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数；
②若从(]0,6，(]6,12中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 18．（12分）已知函数()2
11f x x a x =---，a R ∈.
（1）当4a =时，求函数()f x 的值域；
（2）[]00,2x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围.
19．（12分）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=
+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜5
64
. 20．（12分）已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；
（2）若不等式2
2()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.
21．（12分）已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取值范
围.
22．（10分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AB ⊥，6PA =，8AB =，10PD =，
N 为PC 的中点，F 为棱BC 上的一点.
（1）证明：面PAF ⊥面ABCD ；
（2）当F 为BC 中点时，求二面角A NF C --余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【题目详解】
如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m 平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面
α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因
为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题. 2、B 【解题分析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【题目详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差51241
51512
a a d --=
==---，217
2
a a d ∴=+=.
故选B 【题目点拨】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3、D 【解题分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【题目详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得2
22
66a a b
=--，解答222b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4、B 【解题分析】
根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【题目详解】 由（2n ）★
2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=
(1
22
n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=
2，6★2
12018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★3
12018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ，以此类推，
2020★2018()21010=⨯★201810101
1009
1122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=， 所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，
，以此类推，2018◆202020192=，
所以（2018◆2020）（2020★2018）1009
2019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，
故选：B.
【题目点拨】
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 5、C 【解题分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【题目详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题. 6、C 【解题分析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【题目详解】
如图为几何体的直观图，2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =所以体积为(3
4
642
223
V π=⨯=
. 故选：C 【题目点拨】
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 7、C 【解题分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【题目详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；
对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；
对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C . 【题目点拨】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题. 8、C 【解题分析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 9、D 【解题分析】
设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【题目详解】
解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由2
4x my m y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.
又由24x my y x
=⎧⎨=⎩，得2
40y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，
∵||3||BD OA =，
∴)()
()
2
2
4212(191616m
y y m m +-=+，
又∵()()2
2
212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18
m =. 故选：D 【题目点拨】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 10、C 【解题分析】
由复数除法求出z ，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得 【题目详解】 解析：
()()()1111111222i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，1122
z i ∴=--， 对应点为11
(,)2
2
--，在第三象限． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数的几何意义．掌握复数除法法则是解题关键． 11、C 【解题分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【题目详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=， 相减得到：()()()()1212121203
x x x x y y y y -++
+-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 即
22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：4
3
y x =-+. 故选：C . 【题目点拨】
本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12、A 【解题分析】
设θ为a 、b 的夹角，根据题意求得3
π
θ=
，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，()
1,3b OB ==，
(),c OC x y ==，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -和a c +转化为圆上的点到定点距
离，利用数形结合思想可得出结果. 【题目详解】
由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=，则1cos =
2θ，0θπ≤≤，3
πθ∴=， 建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，()
1,3b OB ==，(),c OC x y ==，
由()
22c a b c ⋅+-=，可得()()
,42,2322x y x y ⋅-=， 即2242322x x y -+-=，
化简得点C 的轨迹方程为()2
2
33124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭
，则()
2
22a c x y -=-+，
则a c -转化为圆()2
2
33124x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，2
2
max 333712a c ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
∴-，2
2min
3373
1222a c
⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝-⎭
， ()
2
22a c x y +=
++，
a c +转化为圆()2
2
33124x y ⎛-+-= ⎝⎭
上的点与点()2,0-的距离， 22max
333222393a c
⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+，2
2
m 333922233im a c ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭
+ .
故选：A.
【题目点拨】
本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、[0,1]
【解题分析】
根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-2221PO OM PO =-=-，只需求出PO 的取值范围即可得解.
【题目详解】
由题可得：0OM ON +=，1,PO ⎡∈⎣
()()()()
PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 222[0,11]PO OM PO =-=-∈
故答案为：[0,1]
【题目点拨】
此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.
14、(][),22,-∞-+∞ 【解题分析】
将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对a 的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出a 的取值范围. 【题目详解】 因为22ax x a x --≥，所以()()2222ax x a x --≥，所以()()22
22ax x a x --≥， 所以()()22
220ax x a x ax x a x -----+≥，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩或22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩， 当0a =时，2x x ≥对12
x ≤且0x ≠不成立，
当0a >时，取12x =，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≤⎨+-≤⎩
， 所以130
42130421104211042
a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫⋅--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≥； 当0a <时，取12x =-，22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩显然不满足，所以22300ax x a ax x a ⎧--≥⎨+-≥⎩
， 所以130
42130421104211042
a a a a a a a a ⎧⎛⎫⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭
⎪⎪⎛⎫⋅--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪⋅--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a ≤-， 综上可得a 的取值范围是：(]
[),22,-∞-+∞. 故答案为：(]
[),22,-∞-+∞. 【题目点拨】
本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.
15、{0,1}
【解题分析】
先求出集合A ，B ，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【题目详解】
解：{2,1,0,1}A =--，{|1B x x =≤-或2}x ≥；
∴{|12}U x x B =-<<；
∴{0,1}U A B ⋂=．
故答案为：{0,1}．
【题目点拨】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
16、4
【解题分析】
∵sin cos 3cos sin A C A C = ∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222
322a b c b c a a c ab bc
+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =- ∵222a c b -=
∴24b b =
∵0b ≠
∴4b =
故答案为4
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）200n =，50a =，0.23p =，中位数13.2h ；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；②
1021 【解题分析】
（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得42000.02
n =
=，得到50a =，0.23p =，再结合中位数的计算方法，即可求解.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数；
②由①知，设(]0,6内被抽取的学生分别为,x y ，(]6,12内被抽取的学生分别为,,,,a b c d e ，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【题目详解】 （1）由题意，可得42000.02n =
=，所以0.2520050a =⨯=，460.23200
p ==. 设一周课外读书时间的中位数为x 小时， 则0.170.23(14)0.1250.5x ++-⨯=，解得13.2x =，
即一周课外读书时间的中位数约为13.2小时.
（2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为
110
， 又因为(]0,6，(]6,12，(]12,18的频数分别为20，50，130， 所以从(]0,6，(]6,12，(]12,18三层中抽取的人数分别为2，5，13.
②由①知，在(]0,6，(]6,12两层中共抽取7人，设(]0,6内被抽取的学生分别为,x y ，(]6,12内被抽取的学生分别为,,,,a b c d e ，
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为xy ，xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，
yc ，yd ，ye ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共有21种，
其中2人不在同一层的情况为xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye ，共有10种.
设事件M 为“这2人不在同一层”， 由古典概型的概率计算公式，可得概率为10()21P M =
. 【题目点拨】
本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
18、（1）[)9,-+∞；（2）3,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解题分析】
（1）将4a =代入函数()y f x =的解析式，将函数()y f x =的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域；
（2）由参变量分离法得出2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解，分[]0,1x ∈和(]1,2x ∈讨论，求得函数2111
x y x x -=-++的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【题目详解】
（1）当4a =时，()22
243,141145,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1x ≥时，()()[)2
211,f x x =--∈-+∞；
当1x <时，()()[)2299,f x x =+-∈-+∞.
∴函数()y f x =的值域为[)9,-+∞；
（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2111x a x a x ---≥+， 即2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则0a ≤； 当(]1,2x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭
， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(]1,2上单调递增，当(]1,2x ∈时，1130,24x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则34
a ≤. 综上，实数a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【题目点拨】
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
19、（1）2;n a n =（2）见解析
【解题分析】
（1）因为数列
的前项和满足：，
所以当
时，， 即
解得
或， 因为数列
都是正项， 所以
， 因为
， 所以
， 解得
或， 因为数列
都是正项， 所以
， 当
时，有， 所以，
解得
， 当时，，符合
所以数列的通项公式，; （2）因为， 所以
， 所以数列的前项和为：
， 当
时， 有
， 所以， 所以对于任意，数列的前项和. 20、（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞
【解题分析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时
成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.
【题目详解】
（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43
x >-，无解； ②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1;
③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2.
综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x <<
（2）由题意知2
2()m x x f x ++在R 上恒成立，
所以()2min 2()x m x x f x ++
令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-
又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x =
又1[2,1]-∈-
所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值.
所以()2min 2()
132x x f x ++=-+= 所以2m ≤，
即实数m 的取值范围为(,2]-∞
【题目点拨】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.
21、(),8-∞
【解题分析】
试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解.
试题解析：
存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为
， 由柯西不等式：()()2321143121464x x x x +-≤+++-=，
所以()()36148f x g x x x +=+-，当且仅当10x =时取“=”，
故常数a 的取值范围是(),8-∞．
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.
22、（1）证明见解析；（2）561【解题分析】
（1）要证明面PAF ⊥面ABCD ，只需证明PA ⊥面ABCD 即可；
（2）以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，分别计算出面ANF 法向量1n ，面PBC 的法
向量2n ，再利用公式计算即可.
【题目详解】
证明：（1）因为底面ABCD 为正方形，所以8AD AB ==
又因为6PA =，10PD =，满足222PA AD PD +=，
所以PA AD ⊥
又PA AB ⊥，AD ⊂面ABCD ，AB 面ABCD ，
AB AD A ⋂=，
所以PA ⊥面ABCD .
又因为PA ⊂面PAF ，所以，面PAF ⊥面ABCD .
（2）由（1）知AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系如图所示，
则()0,0,0A ，()0,0,6P ，()8,0,0B ,()8,8,0C ，()0,8,0D 则()4,4,3N ，()8,4,0F .
所以()8,4,0AF =，()4,4,3AN =，()0,8,0BC =，()8,8,6PC =-，
设面ANF 法向量为()1111,,n x y z =，则由11
00n AF n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111118404430x y x y z +=⎧⎨++=⎩， 令11z =得134x =，132y =-，即133,,142n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
； 同理，设面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，
则由22
00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222886080x y z y +-=⎧⎨=⎩， 令24z =得23x =，20y =，即()23,0,4n =， 所以12122212222330145614cos ,3313442n n n n n n ⨯++⨯⋅<>===⎛⎫⎛⎫+-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设二面角A NF C --的大小为θ，则
12cos cos ,n n θ=-<>=
所以二面角A NF C --余弦值为61-
. 【题目点拨】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.。