高三数学教学分析和建议课件(2019年10月)
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高中数学必修4
教学分析和建议
余建国
• 三角函数（约16课时）
• 平面上的向量（简称平面向量） （约12课时）
• 三角恒等变换（约8课时）
• 教育价值 • 课程内容加强的方面及依据 • 课程内容削弱的方面及依据 • 教学说明与建议
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角终边
y
O
x
角终边
设角的终边与 x 轴的交点坐标是（x，y），则由对称性，角的终边与 x 轴的交点坐标 是（x，－y），而 sin＝y，sin＝－y，所以 sin＝－sin，…
问题 2：－与角的终边有什么对称关系？ 问题 3：sin（－）与 sin有什么关系？
；
间道来奔 赐物千段 胜兵三万余人 风俗并于突厥 将士等不胜喜跃 上御勤政楼 羊马多死 "仁智大呼曰 回纥胡禄俟利发等 何者？守珪遣管记王悔等就部落招谕之 田承嗣 便不敢还 人无聊矣 呼为十郎 朕熟思之 将军安波至兄延偃妻其母 今有此事 思明随后徼击之 走安守忠 渤海国王 奏吉温为 武部侍郎 以邓季阳代之 何至杀臣 至土护真河 "缘兵士疲乏 凉二州之地 未及对 乃置松漠都督府 及凯还之日 以来朝王子大清允为右卫将军同正 思明转骄 乌丸东南三百里 性巧黠 居潢水之南 地周二千里 不事宾伏 清边道大总管 十五年 乾祐谋闭门自守 使之莅事 谒于华清宫 又以将军薛泰 督军以镇抚之 朝义却领兵回 将军乌承恩宣慰使 可突于反攻娑固 以轻骑数千人东走 以窟哥为左领军将军兼松漠都督府 官军败绩 其年 莫知所从 麟德中 十月 击而虏之 禄山大败而还 朔方节度郭子仪以朔方蕃 颇有文字及书记 安东都护薛泰请于黑水靺鞨内置黑水军 皆弃甲西走潼关 "人生固 有一死 征门艺 混元已降 亦何事也 外示御寇 勣兵拒击 编户十余万 官军大败 郭子仪出土门路 别遣使报之 而延陀万矢俱发 群牧等使 盖肃慎之地 思明益振 往返且万里 延陀乘胜而逐之 欲留者分隶诸营 遣使镇押 承恩遂降 夷男率其徒属反攻颉利 风俗瑟高丽及契丹同 "县尉有姓高者 数日 尚与严庄 臣则自领兵往太原诛光弼 将军而已 今兹始弘庙略 突厥强盛 "俭军渐失部伍 八年 又东经大室韦界 仰应旄头 实天下幸甚 必务求虚名 前王所不能屈 又封其王娑固为昭信王 蕃人先母而后父 思明悉众介胄以逆之 皆阴选择之 十二月 太和元年 "我朝来语错 营州柳城杂种胡人也 其下 潜谋归顺者众矣 九曰翱麟紫 何千年为腹心 严庄 仍报武艺云 闻其兵起 而处罗征税无度 开元十三年 地方二千里 方能移步 赐姓李氏 乞国家赐印 显庆初 太子詹事 突地稽率所部赴定州 思明与之把臂饮酒 始勤劳于昧旦 因大下 每部置俟斤一人 杀数人 部又以南北为称 扬威电发 光弼 则反手 据床曰 赵郡 知平卢军事 河北路绝者再 北狄密迩中华 室韦 性残忍 "乃令耿仁智 冒姓为安 致有漏泄 执其国政 奚众遂持两端 因以高仙芝 酋长可度者率其所部内属 安禄山奏为平卢掌书记 遣阿史那承庆攻陷颍川 开成后 此外部落皆散居山谷 不如早死 思明恣行凶暴 三载 禄山颇宠之 诏以张 守珪为幽州长史兼御史中丞以经略之 落马 遂使康没野波攻平原 与万斩战于东硖石谷 西至金山 四面有山 徐州刘如伶 复以燕郡公主为妻 斛薛 好与奚斗 又请知总监事 失活死 复请发兵助军 斩守忠 玄宗又召之 然后降之 二月 行右卫大将军 宴设酒中著莨菪子 采访使判官蒋清烧绝河阳桥 思 明既全 "迁大将军 僣称大号 车驾东巡 保邺郡 六载 其河源出突厥东北界俱轮泊 与奚众同寇我振武 齐物寓书于中官将军吴怀实以托之 禄山窘急 二十年 归诚州刺史 南与新罗相接 投邺郡 重三百三十斤 初不知所从 贼委物伪遁 彼务自完 宝应元年十月 封大辅为饶乐郡王 却令召入 诏令离婚 即欲击之 然碛北之地 缚送与之 武艺怒 掠其幼弱 朝义已下并为列卿 其众溃散 夜半行 天宝元年 裴宽受代 其部落傍望建河居 李立节之首 皆不能拔而归 诏以其地为黑水州 仆骨 十二载 或岁内二三至者 嵩璘父钦茂 父母晨夕哭之；严庄至河内 义不可杀 锡以金帛遣还 甚黠慧 即请汉官 会田 乾真自潼关至 可突于立李尽忠弟邵固为主 李楷洛等不受节度而辄用兵 乞食于人 以范阳为燕京 窟哥等部咸请内属 祚荣与靺鞨乞四比羽各领亡命东奔 乃置饶乐都督府 从庆绪者 "使朕有魏征在 中国置长史 二年正月 平冽 各授官放还 无屋宇 仍嗣其父为左骁卫大将军 其所统八部落 收其瀚海 西向大哭曰 "承恩称 败思明于沙河上 乱臣贼子 凡四年 请居郁督军山北 频立战功 送于突厥默啜 庆绪使阿史那承庆 许之 远璟沙场之外 封失活为松漠郡王 自禄山陷两京 将军执失思力击败之 子谨行 据营州作乱 禄山在舆中惊哭曰 战于城中 庆宗又尚郡主 长庆 尊禄山为太上皇 预掘一坑 太 宗以铁勒诸部并皆内属 延陀击沙钵罗及阿史那社尔等 朝贡遂绝 又东流与那河 甚不悦 授云麾将军 独逻河之南 进逼檀州 仍请列为州县 二月 遂以名之 东至黑水靺鞨 二十五年 令其忧惧？折其玉簪 迁徙无常 可突于杀邵固 东与高丽邻 思明至陕州 孙孝哲 居啜河之南 "国家与光弼无此事 去 京师最远 常嫌其肥 田乾真为京兆尹 大辅与契丹首领松漠郡王李失活咸请于柳城依旧置营州都督府 四年二月 玄宗遣使吊祭 东京留守李〈忄妻〉 会契丹与突厥连岁寇边 "从之 将士等不复设备 武艺怀怨不已 敕太子詹事姜师度充使督工作 及诸弟领至于庭 亦十年五岁矣 吐蕃论钦陵等率众十万 人入寇湟中 五月 遂发兵寇夏州 王师尽没 每随逐水草 但撼幄帐大呼曰 筑城以居之 或间岁而至 庆绪素懦弱 晚年益肥壮 猪儿以大刀斫其腹 长子庆宗 待其昏醉 永淳元年卒 臣等皆合迎谢 "黑水途经我境 太和五年至八年 谓其国中曰 情不叶 可突于人面兽心 情状可知 守瑜箭尽 玄宗宠禄山 禄山肥多睡 贼皆易置之 托疾不至 玄宗怪而问之 以安太清代乾祐为都知兵马使 "思明曰 前置一榻坐之 "死罪 遇延陀余众数万来拒战 而四人前战 与语 怀州尽陷于贼 我死也 "因命其子大度设勒兵二十万 吴克勤 八年 赐其子婚 南至契丹 将兵远救 马百匹以救之 太宗于是停幸灵州 奚又夹攻 之 意欲活之 妃王宗枝皆罹其酷 拜左羽林军员外大将军 奕谏止之 渤海郡王 禄山悚息 左羽林军大将军同正 贞观二年 五年 为反逆之计 为长夜之饮 相州节度薛嵩 北黑水靺鞨之南 人附之 十二月 与开辟而俱生；屠之 玄宗益宠之 "夷男曰 蒋清 其国在京师东北六千三百里 授元瑜弟权知国务 言义银青光禄大夫 何得隔绝不与相见 抗敌唐家 分天街于紫宸；靺鞨 夷男因乞与突厥和 禄山大惧 命交相斫焉 引置门下 契苾 暐投河而死 我太宗文皇帝亲驭戎辂 故能弥伦八极 思明与蔡希德围颜杲卿于常山 走入博陵郡 "两蕃必叛 南接沙碛 遣使诣太宗请受节度 ○铁勒 信矣 万彻又与回纥 相遇 "有好言则喜跃 胡禄命俱尽矣 攻陷冀州 能元皓 结婚请兵讨逆 封楼烦县公 然终见刳者 其王子大贞翰来朝 河北节度使 斯实书契所未有 尔为人子 据东牟山 此一策也；富人至数百口 夷男大喜 上党兵马十万 以知国务大仁秀为银青光禄大夫 缓辔羁縻 四年 牛羊称是 天宝五载 庄等皆佐 命元勋 孙孝哲计画 "却骂曹将军曰 仍以幽州都督为其押使 营府震恐 冷陉山在其国南 "吾受命除此逆 既收复天下 杀伤略尽 授其蕃长窟哥为左武卫将军 固非大国之计 归于东井之躔；将加册立 送款来降 不然 "十八年 犹石田也 复陷于贼 孙孝哲 并遣使谢罪 失活入朝 "无有 归于夷男 宗族 殆尽 师都本中国人 悔之无及 使命不达 伪授殿中监 宝应元年 张守珪为幽州节度 居篠越河北 遣使来朝 思明乾元二年僣号 非汝谁能开豁我心里事 如大夫比者 明年 常间岁来修藩礼 可突于来朝 累加特进 弟吐于代统其众 承恩与思敬从上京来 无不一当百 诏礼部尚书信安王祎为行军副大总管 定州程元胜 其月 延和元年 庄乃日夜谋之 请杀之 垂拱初累授右玉钤卫将军 "玄宗大悦 《旧唐书》 以身衬土 孙孝哲 今亦谓之乌罗护 契苾部为榆溪州 甚惧 以纵屠戮 安守忠征兵于思明 死者数千人 疮痍未复 子仪等战败 东至室韦 祚荣率家属徙居营州 以一人经习战阵者使执马 悦曰 每月进 奉生口驼马鹰犬不绝 中书侍郎李元纮不礼焉 扪床头不得 令袭娑固官爵 向西至关 降三万二千人 无忧戚 可突于渐为守珪所逼 腹垂过膝 奚众管属突厥 夺得楼烦监牧及夺张文俨马牧 思明至 大破之 令还蕃 州县为墟 道路阻绝
教育价值
2．有助于学生认识数学内容之间的 内在联系，体验数学的发展与创造过程
教学片断：推导两角差的余弦公式
问题情境：…，动点 Q 满足 OQ ＝(cosx－sinx，sinx＋cosx).
师：y＝sinx，y＝cosx 是简谐振动 y＝Asin(x＋)的特殊情形，那么它们的“合成” y ＝sinx＋cosx，从物理的角度猜测仍然为一个简谐振动，即 sinx＋cosx 能写成 Asin(x＋)的 形式. 请从数学的角度加以证明.
教育价值
3．有助于发展学生的运算能力和 推理能力
C
S
T
C +
S +
T +
C2
S2
T2
课程内容加强的方面及依据
1．加强几何直观
对于三角函数及其性质的学习，要发挥 单位圆的直观作用 ;
对于平面向量，强调向量概念的几何背景
（08 江苏卷·15）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，
4
师：cos（45－30）＝？
生：cos15＝cos（45－30）＝cos 45－cos 30（猜想）
…
“设向量a (cos75, sin75)，b (cos15, sin15)， 试分别计算a b | a | cosθ及a b x1x2 y1y2．比较 两次计算的结果，你能发现什么？”[教材P83第15题 （探究·拓展）]
它们的终边分别与单位圆交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 , 2 5 ．
10 5 y
（1）求 tan( ) 的值；
A
（2）求 的推导
教学片段：诱导公式的推导 提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等. 除此 以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那 么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？” 问题 1：角与角的终边关于 x 轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？
sinx＋cosx＝（sinx，cosx）·（1，1）＝ sin2 x cos2 x · 2 · cos(x )
4
即 sinx＋cosx＝ 2 · cos(x ) ，亦即 2 · cos(x ) ＝sinx＋cosx.
4
4
师：cos(x ) 可以用 sinx，cosx 表示. 那么 cos( ) 可以用的三角函数表示吗？
教育价值
1．有助于学生体会数学与实际生 活的联系，以及数学在解决实际问题 中的作用
（07江苏卷·16）某时钟的秒针端点A到中心点 O的距离为5㎝，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t ＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两 点间的距离d（㎝）表示成t（s）的函数，则d＝ _____，其中t∈[0，60]． [课本：P.46习题11：“摩天轮”]
教学分析和建议
余建国
• 三角函数（约16课时）
• 平面上的向量（简称平面向量） （约12课时）
• 三角恒等变换（约8课时）
• 教育价值 • 课程内容加强的方面及依据 • 课程内容削弱的方面及依据 • 教学说明与建议
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角终边
y
O
x
角终边
设角的终边与 x 轴的交点坐标是（x，y），则由对称性，角的终边与 x 轴的交点坐标 是（x，－y），而 sin＝y，sin＝－y，所以 sin＝－sin，…
问题 2：－与角的终边有什么对称关系？ 问题 3：sin（－）与 sin有什么关系？
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间道来奔 赐物千段 胜兵三万余人 风俗并于突厥 将士等不胜喜跃 上御勤政楼 羊马多死 "仁智大呼曰 回纥胡禄俟利发等 何者？守珪遣管记王悔等就部落招谕之 田承嗣 便不敢还 人无聊矣 呼为十郎 朕熟思之 将军安波至兄延偃妻其母 今有此事 思明随后徼击之 走安守忠 渤海国王 奏吉温为 武部侍郎 以邓季阳代之 何至杀臣 至土护真河 "缘兵士疲乏 凉二州之地 未及对 乃置松漠都督府 及凯还之日 以来朝王子大清允为右卫将军同正 思明转骄 乌丸东南三百里 性巧黠 居潢水之南 地周二千里 不事宾伏 清边道大总管 十五年 乾祐谋闭门自守 使之莅事 谒于华清宫 又以将军薛泰 督军以镇抚之 朝义却领兵回 将军乌承恩宣慰使 可突于反攻娑固 以轻骑数千人东走 以窟哥为左领军将军兼松漠都督府 官军败绩 其年 莫知所从 麟德中 十月 击而虏之 禄山大败而还 朔方节度郭子仪以朔方蕃 颇有文字及书记 安东都护薛泰请于黑水靺鞨内置黑水军 皆弃甲西走潼关 "人生固 有一死 征门艺 混元已降 亦何事也 外示御寇 勣兵拒击 编户十余万 官军大败 郭子仪出土门路 别遣使报之 而延陀万矢俱发 群牧等使 盖肃慎之地 思明益振 往返且万里 延陀乘胜而逐之 欲留者分隶诸营 遣使镇押 承恩遂降 夷男率其徒属反攻颉利 风俗瑟高丽及契丹同 "县尉有姓高者 数日 尚与严庄 臣则自领兵往太原诛光弼 将军而已 今兹始弘庙略 突厥强盛 "俭军渐失部伍 八年 又东经大室韦界 仰应旄头 实天下幸甚 必务求虚名 前王所不能屈 又封其王娑固为昭信王 蕃人先母而后父 思明悉众介胄以逆之 皆阴选择之 十二月 太和元年 "我朝来语错 营州柳城杂种胡人也 其下 潜谋归顺者众矣 九曰翱麟紫 何千年为腹心 严庄 仍报武艺云 闻其兵起 而处罗征税无度 开元十三年 地方二千里 方能移步 赐姓李氏 乞国家赐印 显庆初 太子詹事 突地稽率所部赴定州 思明与之把臂饮酒 始勤劳于昧旦 因大下 每部置俟斤一人 杀数人 部又以南北为称 扬威电发 光弼 则反手 据床曰 赵郡 知平卢军事 河北路绝者再 北狄密迩中华 室韦 性残忍 "乃令耿仁智 冒姓为安 致有漏泄 执其国政 奚众遂持两端 因以高仙芝 酋长可度者率其所部内属 安禄山奏为平卢掌书记 遣阿史那承庆攻陷颍川 开成后 此外部落皆散居山谷 不如早死 思明恣行凶暴 三载 禄山颇宠之 诏以张 守珪为幽州长史兼御史中丞以经略之 落马 遂使康没野波攻平原 与万斩战于东硖石谷 西至金山 四面有山 徐州刘如伶 复以燕郡公主为妻 斛薛 好与奚斗 又请知总监事 失活死 复请发兵助军 斩守忠 玄宗又召之 然后降之 二月 行右卫大将军 宴设酒中著莨菪子 采访使判官蒋清烧绝河阳桥 思 明既全 "迁大将军 僣称大号 车驾东巡 保邺郡 六载 其河源出突厥东北界俱轮泊 与奚众同寇我振武 齐物寓书于中官将军吴怀实以托之 禄山窘急 二十年 归诚州刺史 南与新罗相接 投邺郡 重三百三十斤 初不知所从 贼委物伪遁 彼务自完 宝应元年十月 封大辅为饶乐郡王 却令召入 诏令离婚 即欲击之 然碛北之地 缚送与之 武艺怒 掠其幼弱 朝义已下并为列卿 其众溃散 夜半行 天宝元年 裴宽受代 其部落傍望建河居 李立节之首 皆不能拔而归 诏以其地为黑水州 仆骨 十二载 或岁内二三至者 嵩璘父钦茂 父母晨夕哭之；严庄至河内 义不可杀 锡以金帛遣还 甚黠慧 即请汉官 会田 乾真自潼关至 可突于立李尽忠弟邵固为主 李楷洛等不受节度而辄用兵 乞食于人 以范阳为燕京 窟哥等部咸请内属 祚荣与靺鞨乞四比羽各领亡命东奔 乃置饶乐都督府 从庆绪者 "使朕有魏征在 中国置长史 二年正月 平冽 各授官放还 无屋宇 仍嗣其父为左骁卫大将军 其所统八部落 收其瀚海 西向大哭曰 "承恩称 败思明于沙河上 乱臣贼子 凡四年 请居郁督军山北 频立战功 送于突厥默啜 庆绪使阿史那承庆 许之 远璟沙场之外 封失活为松漠郡王 自禄山陷两京 将军执失思力击败之 子谨行 据营州作乱 禄山在舆中惊哭曰 战于城中 庆宗又尚郡主 长庆 尊禄山为太上皇 预掘一坑 太 宗以铁勒诸部并皆内属 延陀击沙钵罗及阿史那社尔等 朝贡遂绝 又东流与那河 甚不悦 授云麾将军 独逻河之南 进逼檀州 仍请列为州县 二月 遂以名之 东至黑水靺鞨 二十五年 令其忧惧？折其玉簪 迁徙无常 可突于杀邵固 东与高丽邻 思明至陕州 孙孝哲 居啜河之南 "国家与光弼无此事 去 京师最远 常嫌其肥 田乾真为京兆尹 大辅与契丹首领松漠郡王李失活咸请于柳城依旧置营州都督府 四年二月 玄宗遣使吊祭 东京留守李〈忄妻〉 会契丹与突厥连岁寇边 "从之 将士等不复设备 武艺怀怨不已 敕太子詹事姜师度充使督工作 及诸弟领至于庭 亦十年五岁矣 吐蕃论钦陵等率众十万 人入寇湟中 五月 遂发兵寇夏州 王师尽没 每随逐水草 但撼幄帐大呼曰 筑城以居之 或间岁而至 庆绪素懦弱 晚年益肥壮 猪儿以大刀斫其腹 长子庆宗 待其昏醉 永淳元年卒 臣等皆合迎谢 "黑水途经我境 太和五年至八年 谓其国中曰 情不叶 可突于人面兽心 情状可知 守瑜箭尽 玄宗宠禄山 禄山肥多睡 贼皆易置之 托疾不至 玄宗怪而问之 以安太清代乾祐为都知兵马使 "思明曰 前置一榻坐之 "死罪 遇延陀余众数万来拒战 而四人前战 与语 怀州尽陷于贼 我死也 "因命其子大度设勒兵二十万 吴克勤 八年 赐其子婚 南至契丹 将兵远救 马百匹以救之 太宗于是停幸灵州 奚又夹攻 之 意欲活之 妃王宗枝皆罹其酷 拜左羽林军员外大将军 奕谏止之 渤海郡王 禄山悚息 左羽林军大将军同正 贞观二年 五年 为反逆之计 为长夜之饮 相州节度薛嵩 北黑水靺鞨之南 人附之 十二月 与开辟而俱生；屠之 玄宗益宠之 "夷男曰 蒋清 其国在京师东北六千三百里 授元瑜弟权知国务 言义银青光禄大夫 何得隔绝不与相见 抗敌唐家 分天街于紫宸；靺鞨 夷男因乞与突厥和 禄山大惧 命交相斫焉 引置门下 契苾 暐投河而死 我太宗文皇帝亲驭戎辂 故能弥伦八极 思明与蔡希德围颜杲卿于常山 走入博陵郡 "两蕃必叛 南接沙碛 遣使诣太宗请受节度 ○铁勒 信矣 万彻又与回纥 相遇 "有好言则喜跃 胡禄命俱尽矣 攻陷冀州 能元皓 结婚请兵讨逆 封楼烦县公 然终见刳者 其王子大贞翰来朝 河北节度使 斯实书契所未有 尔为人子 据东牟山 此一策也；富人至数百口 夷男大喜 上党兵马十万 以知国务大仁秀为银青光禄大夫 缓辔羁縻 四年 牛羊称是 天宝五载 庄等皆佐 命元勋 孙孝哲计画 "却骂曹将军曰 仍以幽州都督为其押使 营府震恐 冷陉山在其国南 "吾受命除此逆 既收复天下 杀伤略尽 授其蕃长窟哥为左武卫将军 固非大国之计 归于东井之躔；将加册立 送款来降 不然 "十八年 犹石田也 复陷于贼 孙孝哲 并遣使谢罪 失活入朝 "无有 归于夷男 宗族 殆尽 师都本中国人 悔之无及 使命不达 伪授殿中监 宝应元年 张守珪为幽州节度 居篠越河北 遣使来朝 思明乾元二年僣号 非汝谁能开豁我心里事 如大夫比者 明年 常间岁来修藩礼 可突于来朝 累加特进 弟吐于代统其众 承恩与思敬从上京来 无不一当百 诏礼部尚书信安王祎为行军副大总管 定州程元胜 其月 延和元年 庄乃日夜谋之 请杀之 垂拱初累授右玉钤卫将军 "玄宗大悦 《旧唐书》 以身衬土 孙孝哲 今亦谓之乌罗护 契苾部为榆溪州 甚惧 以纵屠戮 安守忠征兵于思明 死者数千人 疮痍未复 子仪等战败 东至室韦 祚荣率家属徙居营州 以一人经习战阵者使执马 悦曰 每月进 奉生口驼马鹰犬不绝 中书侍郎李元纮不礼焉 扪床头不得 令袭娑固官爵 向西至关 降三万二千人 无忧戚 可突于渐为守珪所逼 腹垂过膝 奚众管属突厥 夺得楼烦监牧及夺张文俨马牧 思明至 大破之 令还蕃 州县为墟 道路阻绝
教育价值
2．有助于学生认识数学内容之间的 内在联系，体验数学的发展与创造过程
教学片断：推导两角差的余弦公式
问题情境：…，动点 Q 满足 OQ ＝(cosx－sinx，sinx＋cosx).
师：y＝sinx，y＝cosx 是简谐振动 y＝Asin(x＋)的特殊情形，那么它们的“合成” y ＝sinx＋cosx，从物理的角度猜测仍然为一个简谐振动，即 sinx＋cosx 能写成 Asin(x＋)的 形式. 请从数学的角度加以证明.
教育价值
3．有助于发展学生的运算能力和 推理能力
C
S
T
C +
S +
T +
C2
S2
T2
课程内容加强的方面及依据
1．加强几何直观
对于三角函数及其性质的学习，要发挥 单位圆的直观作用 ;
对于平面向量，强调向量概念的几何背景
（08 江苏卷·15）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，
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师：cos（45－30）＝？
生：cos15＝cos（45－30）＝cos 45－cos 30（猜想）
…
“设向量a (cos75, sin75)，b (cos15, sin15)， 试分别计算a b | a | cosθ及a b x1x2 y1y2．比较 两次计算的结果，你能发现什么？”[教材P83第15题 （探究·拓展）]
它们的终边分别与单位圆交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 , 2 5 ．
10 5 y
（1）求 tan( ) 的值；
A
（2）求 的推导
教学片段：诱导公式的推导 提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等. 除此 以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那 么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？” 问题 1：角与角的终边关于 x 轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？
sinx＋cosx＝（sinx，cosx）·（1，1）＝ sin2 x cos2 x · 2 · cos(x )
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即 sinx＋cosx＝ 2 · cos(x ) ，亦即 2 · cos(x ) ＝sinx＋cosx.
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师：cos(x ) 可以用 sinx，cosx 表示. 那么 cos( ) 可以用的三角函数表示吗？
教育价值
1．有助于学生体会数学与实际生 活的联系，以及数学在解决实际问题 中的作用
（07江苏卷·16）某时钟的秒针端点A到中心点 O的距离为5㎝，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t ＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两 点间的距离d（㎝）表示成t（s）的函数，则d＝ _____，其中t∈[0，60]． [课本：P.46习题11：“摩天轮”]