高三备考资料专题五 抛体运动模型概述

抛体运动模型一、平抛运动1、定义：2、特点（1）只受重力且初速度与重力垂直（2）做平抛运动的物体机械能守恒（3）在平抛运动的物体处于完全失重状态3、性质：匀变速曲线运动4、平抛运动的规律（1）位移关系水平位移：vt x = 竖直位移：221gt y = 合位移的大小s ＝x 2＋y 2，合位移的方向xy αtan 。

（2）速度关系：水平速度v x ＝v 0，竖直速度v y ＝gt 。

合速度的大小v ＝v 2x ＋v 2y ，合速度的方向tan β＝x y v v 。

（3）重要推论：①速度偏角与位移偏角的关系为αβtan 2tan = ②平抛运动到任一位置A ，过A 点作其速度方向反向延长线交Ox 轴于C 点，有OC ＝x 2(如图所示)。

④做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下 ⑤在任意相等时间内，重力的冲量相等y G mv v v m v m t mg I =-=∆=∆=202 ⑥重力做功()mgy mv v v m E W y k ==-=∆=22022121 5、斜面上的平抛 【模型一】倾角为θ的斜面顶端，以水平速度0v 抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L 。

1、求运动时间 钢球下落高度：221sin gt L =θ①①②得gv t θtan 20=③（二级结论）只与0v 和θ有关。

2．求平抛末速度v 及位移大小L设小球从A 到B 时间为g v t θtan 20=③ 水平位移：t v x 0=④ 竖直位移：221gt y =⑤ 速度220y v v v +=⑦ 得θ20tan 41+=v v ⑧θθcos tan 220g v L =⑨ 【应用】2019全国三卷在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v 和2v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜 面上。

甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍 【解析】应用“二级结论”θ20tan 41+=v v 得3．求最大距离-----从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大？最大距离是多少？ 从抛出开始计时，设经过1t 时间小球离斜面的距离达到最大，当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，最大距离为H 。

由图知θtan 011v gt v y ==，∴gv t θtan 01=。

又θθtan cos x y H =+， 解得最大距离为：g v H 2tan sin 20θθ=。

【模型二】 如图以0v 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后， 垂直地撞在倾角为θ的斜面上。

求物体的飞行时间？解：由图知，在撞击处： ①②得θtan 0g v t =③（二级结论）只与0v 和θ有关。

二、斜抛运动1. 运动的分解如果物体抛出时的速度v 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是零，在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g 。

但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是v x ＝v cos θ和v y ＝v sin θ。

因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。

2. 物体的位置随时间变化的规律如图，物体以初速度v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。

物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向做匀速直线运动，速度v x ＝v cos θ，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为x ＝v x t ＝vt cos θ； 物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体的加速度a ＝g ，方向竖直向下。

注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于v y ＝v sin θ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的关系为 y ＝v y t －12 at 2＝vt sin θ－12 gt 2。

3. 运动轨迹从以上两式中消去t ，可得y ＝－22)cos 2(x v g θ＋tan θ·x 。

根据数学知识我们知道，函数方程y ＝－ax 2＋bx ＋c 代表一条开口向下的抛物线。

因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。

我们可作以下讨论：⑴ 数学知识告诉我们，对y ＝－ax 2＋bx ＋c ，当x ＝ab 2时，y 有最大值y m ＝a b 42＋c 。

所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当x ＝g v v g θθθ2sin )cos 2(2tan 22=⋅ 时，y 有最大值 y m ＝g v v g θθθ2222sin )cos 2(4tan =⋅。

对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。

⑵ 设斜抛运动轨迹方程中的y ＝0，则有x 1=0， x 2＝gv g v θθθ2sin 2cos sin 422=，O v y式中x 2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。

由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射程有最大值 x m ＝gv 22。

除了上面的研究方案外，我们还可以发现，炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。

这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。

请思考：运动员在投掷铅球、标枪时，应把投射角控制在什么角度为好？运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响？你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？请试一试！4. 受空气阻力时的运动轨迹我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时，都没有考虑空气阻力的影响，即讨论的是理想抛体运动。

实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s 时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400～600m/s 时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。

由于空气阻力的影响，物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形，升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。

斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不再是抛物线，而是所谓“弹道曲线”。

理论计算表明，以610m/s 速度射出的炮弹，在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ，炮弹将在空中划出一条高9.5km 的巨大弧线，而实际炮弹在空气中只能飞行4km 左右，其射程缩短10倍之多，如图所示（虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹）。

由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的，远程大炮的发射角一般在50°～70°范围内变化。

这是因为如此发射的炮弹，可达到离地40～50km 的高度。

在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130～160km 的距离。

如果炮弹仍以45°倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10km 的射程了。

5. 速度随时间变化的规律我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t 后，物体水平方向的速度v xt ＝v cos θ， 竖直方向的速度v yt ＝v sin θ－gt 。

根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v ＝22222)sin (cos gt v v v v yt xt -+=+θθ，速度的方向可用图中的θ表示，tan θ＝θθcos sin v gt v v v xt yt -=。

4km 9.5km 38km例、观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。

一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v 0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。

提示用抛体运动的知识，求出任一发光质点经过一段时间后的位置坐标间的关系。

解析设某一发光质点的抛出速度为v 0，与水平方向夹角为θ，将v 0沿水平方向（x 轴）和竖直方向（y 轴，向上为正方向）正交分解。

由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为x ＝v 0 cos θ ·t ， y ＝v 0 sin θ ·t －12 gt 2。

联立以上两式，消去θ即得x 2＋(y ＋12 gt 2)2＝ (v 0t )2，这是一个以C （0，－12 gt 2）为圆心、以v 0t 为半径的圆的方程式。

可见，只要初速度v 0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。

感悟本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v 0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，“礼花”就不会形成球面形状了）。

很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。

三 经典例题1．如图1所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上的b 点．若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( ) 图1A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解析：如右图所示，作c 点在竖直方向的投影点c ′，则以2v 抛出的小球应落在c ′点(如果没有斜面)，所以碰上斜面的话，就应在b 与c 之间．答案：A2．如图2所示，A 、B 为两个挨得很近的小球，并列放于光滑斜面上，斜面足够长，在释放B 球的同时，将A 球以某一速度v 0水平抛出，当A 球落于斜面上的P 点时，B 球的位置位于( ) 图2xyA ．P 点以下B ．P 点以上C ．P 点D ．由于v 0未知，故无法确定解析：设A 球落到P 点的时间为t A ，AP 的竖直位移为y ；B 球滑到P 点的时间为t B ， BP 的竖直位移也为y ，则：t A ＝ 2y g ，t B ＝ 2y g sin 2θ＝1sin θ2y g ＞t A(θ为斜面倾 角)．故B 项正确．答案：B3．如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) 图3A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ解析：物体的竖直分速度与水平分速度之比为tan φ＝gt v 0，物体的竖直分位移与水平 分位移之比为tan θ＝0.5gt 2v 0t，故tan φ＝2tan θ，D 正确． 答案：D4．如图4所示，小朋友在玩一种运动中投掷的游戏，目的是在运动中将手中的球投进离地面高H ＝3 m 的吊环．他在车上和车一起以v 车＝2 m/s 的速度向吊环运动，小朋友抛球时手离地面h ＝1.2 m ，当他在离吊环的水平距离为x ＝2 m 时将球相对于自己竖直上抛，球刚好进入吊环，他将球竖直向上抛出的速度v 0是(g 取图410 m/s 2)( )A ．1.8 m/sB ．3.2 m/sC ．6.8 m/sD ．3.6 m/s解析：球相对于人竖直上抛后，在水平方向以速度v 车做匀速运动，球到吊环的时间 t ＝x v 车＝1 s ．要使球在t ＝1 s 时刚好进入吊环，竖直方向必有：H －h ＝v 0t －12gt 2，解 得：v 0＝6.8 m/s ，故C 正确．答案：C5．在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力．如图5所示的描绘下落速度的水平分量大小v x 、竖直分量大小v y 与时间t 的图象中，可能正确的是( )图5解析：跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变，方向竖直向下，还受到空气阻力， 其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小．在水平方向上，运动 员受到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速 度逐渐减小的减速运动．在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做 加速度减小的加速运动，后做匀速运动．由以上分析结合v －t 图象的性质可知只有 B 选项正确．答案：B二、双项选择题(本题共5小题，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有两个选项 正确，全部选对的得7分，只选一个且正确的得2分，有选错或不答的得0分)6．在2009年第十一届全运会上一位运动员进行射击比赛时，子弹水平射出后击中目 标．当子弹在飞行过程中速度平行于抛出点与目标的连线时，大小为v ，不考虑空气 阻力，已知连线与水平面的夹角为θ，则子弹( )A ．初速度v 0＝v cos θB ．飞行时间t ＝2v tan θgC ．飞行的水平距离x ＝v 2sin2θgD ．飞行的竖直距离y ＝2v 2tan 2θg解析：如图所示，初速度v 0＝v cos θ，A 正确；tan θ＝12gt 2v 0t ，则t ＝2v sin θg，所以B 错 误；飞行的水平距离x ＝v 2sin2θg ，C 正确；飞行的竖直距离y ＝2v 2sin 2θg，D 错误． 答案：AC7．以速度v 0水平抛出一小球后，不计空气阻力，某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是( )A ．此时小球的竖直分速度大小大于水平分速度大小B ．此时小球速度的方向与位移的方向相同C ．此时小球速度的方向与水平方向成45度角D ．从抛出到此时小球运动的时间为2v 0g解析：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动：x ＝v 0t ①；竖直方向的自由落体：y ＝12gt 2②；v y ＝gt ③；tan α＝y x ④；tan θ＝v y v 0⑤.联立得：tan θ＝2tan α；t ＝2v 0g.所以v y ＝2v 0，故B 、C 错误，A 、D 正确．答案：AD8．如图6所示，从倾角为θ的斜面上的M 点水平抛出一个小球，小球的初速度为v 0，最后小球落在斜面上的N 点，则(重力加速度为g )( )A ．可求M 、N 之间的距离B ．不能求出小球落到N 点时速度的大小和方向图6C ．可求小球到达N 点时的动能D ．可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大解析：设小球从抛出到落到N 点经历时间为t ，则有tan θ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0，t ＝2v 0tan θg， 因此可求出d MN ＝v 0t cos θ＝2v 02tan θg cos θ，v N ＝(gt )2＋v 02，方向(与水平方向的夹角)：tan α ＝gt v 0，故A 正确、B 错误．但因小球的质量未知，因此小球在N 点时的动能不能求 出，C 错误．当小球的速度方向与斜面平行时，小球垂直于斜面方向的速度为零， 此时小球与斜面间的距离最大，D 正确．答案：AD9．如图7所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a 、c 两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a 、b 、图7c 到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图7 所示，小球a 、b 、c 到达该水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′.下列关于时间的关 系正确的是( )A ．t 1＞t 3＞t 2B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′C. t 1′＞t 2′＞t 3′D ．t 1＜t 1′、t 2＜t 2′、t 3＜t 3′解析：设三小球在高为h 的同一高度处．由静止释放三小球时对a ：h sin30°＝12g sin30°·t 12，则t 12＝8h g. 对b ：h ＝12gt 22，则t 22＝2h g. 对c ：h sin45°＝12g sin45°·t 32，则t 32＝4h g. 所以t 1＞t 3＞t 2.当平抛三小球时：小球b 做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况；小球a 、c 在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t 1＝t 1′、t 2＝ t 2′、t 3＝t 3′.故选A 、B.答案：AB10．从某一高度以相同速度相隔1 s 先后水平抛出甲、乙两个小球，不计空气阻力，在乙球抛出后两球在空气中运动的过程中，下述说法正确的是( )A ．两球水平方向的距离越来越大B ．两球竖直高度差越来越大C ．两球水平方向的速度差越来越大D ．两球每秒内的速度变化量相同，与其质重无关解析：水平方向上两小球距离Δx ＝v 0(t 1－t 2)＝v 0，Δv x ＝0恒定；竖直方向上两小球距离Δy ＝12gt 12－12gt 22＝12g (t 2＋1)2－12gt 22＝gt 2＋12g 变大，Δv y ＝gt 1－gt 2＝g (t 2＋1)－gt 2 ＝g 恒定，每秒速度变化量即加速度(重力加速度)大小和方向均相同，与质量无关， 故B 、D 正确．答案：BD。