高三备考资料专题五 抛体运动模型概述

抛体运动模型

一、平抛运动

1、定义：

2、特点

（1）只受重力且初速度与重力垂直

（2）做平抛运动的物体机械能守恒

（3）在平抛运动的物体处于完全失重状态

3、性质：匀变速曲线运动

4、平抛运动的规律

（1）位移关系

水平位移：vt x = 竖直位移：22

1gt y = 合位移的大小s ＝x 2＋y 2，合位移的方向x

y α

tan 。 （2）速度关系：

水平速度v x ＝v 0，竖直速度v y ＝gt 。 合速度的大小v ＝v 2x ＋v 2y ，合速度的方向tan β＝

x y v v 。

（3）重要推论：

①速度偏角与位移偏角的关系为αβtan 2tan = ②平抛运动到任一位置A ，过A 点作其速度方向反向延长线交Ox 轴于C 点，有OC ＝x 2(如图所示)。

④做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下 ⑤在任意相等时间内，重力的冲量相等y G mv v v m v m t mg I =-=∆=∆=202 ⑥重力做功()

mgy mv v v m E W y k ==-=

∆=22022121 5、斜面上的平抛 【模型一】倾角为θ的斜面顶端，以水平速度0v 抛出一钢球，落

到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L 。

1、求运动时间 钢球下落高度：22

1sin gt L =θ①

①②得g

v t θtan 20=③（二级结论）只与0v 和θ有关。 2．求平抛末速度v 及位移大小L

设小球从A 到B 时间为g v t θtan 20=

③ 水平位移：t v x 0=④ 竖直位移：221gt y =

⑤ 速度220y v v v +=

⑦ 得θ2

0tan 41+=v v ⑧θθcos tan 220g v L =⑨ 【应用】2019全国三卷

在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v 和2

v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜 面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的

A ．2倍

B ．4倍

C ．6倍

D ．8倍 【解析】应用“二级结论”θ20tan 41+=v v 得

3．求最大距离-----从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大？最大距离是多少？ 从抛出开始计时，设经过1t 时间小球离斜面的距离达到最大，

当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，最

大距离为H 。

由图知θtan 011v gt v y ==，∴g

v t θtan 01=。 又θθ

tan cos x y H =+， 解得最大距离为：g v H 2tan sin 20θθ=。 【模型二】 如图以0v 的水平初速度抛出的物体，飞行一

段时间后， 垂直地撞在倾角为θ的斜面上。求物体的飞行时

间？

解：由图知，在撞击处： ①②得θ

tan 0g v t =③（二级结论）只与0v 和θ有关。

二、斜抛运动

1. 运动的分解

如果物体抛出时的速度v 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是零，在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g 。

但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是v x ＝v cos θ和v y ＝v sin θ。因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。

2. 物体的位置随时间变化的规律

如图，物体以初速度v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位

置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的

方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。 物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向

做匀速直线运动，速度v x ＝v cos θ，则物体位置的横坐标随时间变化的规律为x ＝v x t ＝vt cos θ； 物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体

的加速度a ＝g ，方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于v y ＝v sin θ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的

关系为 y ＝v y t －12 at 2＝vt sin θ－12 gt 2。

3. 运动轨迹

从以上两式中消去t ，可得

y ＝－22)

cos 2(x v g θ＋tan θ·x 。 根据数学知识我们知道，函数方程y ＝－ax 2＋bx ＋c 代表一条开口向下的抛物线。因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：

⑴ 数学知识告诉我们，对y ＝－ax 2＋bx ＋c ，当x ＝a

b 2时，y 有最大值y m ＝a b 42＋

c 。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当

x ＝g v v g θθθ2sin )cos 2(2tan 22

=⋅ 时，y 有最大值 y m ＝g v v g θθθ222

2sin )cos 2(4tan =⋅。 对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。 ⑵ 设斜抛运动轨迹方程中的y ＝0，则有

x 1=0， x 2＝g

v g v θθθ2sin 2cos sin 422=，

O v y

式中x 2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射

程有最大值 x m ＝g

v 2

2。 除了上面的研究方案外，我们还可以发现，炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。

请思考：运动员在投掷铅球、标枪时，应把投射角控制在什么角度为好？运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响？

你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？请试一试！

4. 受空气阻力时的运动轨迹

我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时，都没有考虑空气阻力的影响，即讨论的是理想抛体运动。

实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s 时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400～600m/s 时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。由于空气阻力的影响，物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形，升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。

斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计

算得到的值那么大，当然路线也不再是抛物线，而是所谓“弹道曲线”。理论计算表明，以610m/s 速

度射出的炮弹，在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ，炮弹将在空中划出一条高9.5km 的巨大

弧线，而实际炮弹在空气中只能飞行4km 左右，其

射程缩短10倍之多，如图所示（虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹）。

由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的，远程大炮的发射角一般在50°～70°范围内变化。这是因为如此发射的炮弹，可达到离地40～50km 的高度。在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130～160km 的距离。如果炮弹仍以45°倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10km 的射程了。

5. 速度随时间变化的规律

我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t 后，物体水平方向的速度v xt ＝v cos θ， 竖直方向的速度v yt ＝v sin θ－gt 。 根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小v ＝22222)sin (cos gt v v v v yt xt -+=+θθ，

速度的方向可用图中的θ表示，

tan θ＝θ

θcos sin v gt v v v xt yt -=。 4km 9.5km 38km