最新高一数学必修一函数选择填空难题突破练习(含解析)期末函数压轴题汇编

最新高一数学必修一函数选择填空难题突破练习
一．选择题（共16小题）
1．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个
零点，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
2．函数的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．偶函数f（x）和奇函数g（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（g（x））=1，g（f（x））=2的实根个数分别为m、n，则m+n=（）
A．16 B．14 C．12 D．10
4．已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）
=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）
A．[2，3） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]
5．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6） D．（2，+∞）
6．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣）B．（0，）C．（﹣∞，o）D．（0，+∞）
7．已知函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），若y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（）
A．﹣1 B．0 C．D．
8．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1
9．已知函数f（x）=﹣mx有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）
10．已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）
A．22018B．
C．2 D．0
11．已知函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）
A．（1，4） B．（1，4]C．（1，2） D．（1，2]
13．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n 叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．2026
14．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
15．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈N*），若对任意的x∈（0，t）（t＞0），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，那么k的取值集合是（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，] D．（﹣∞，]
二．填空题（共16小题）
17．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．
18．设关于x的方程x2﹣ax﹣2=0和x2﹣x﹣1﹣a=0得实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是．
19．已知函数f（x）=函数g（x）=x2，若函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数a的取值范围为．
20．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是．21．已知函数f（x）=则关于x的不等式f（f（x））≤3的解
集为．
22．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•f（x0）=1成立，则称x0为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是．
①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+，x∈（0，+∞）；④f（x）=e x；⑤f（x）=﹣2lnx．
23．设定义在R上的函数，g（x）=f（x）﹣a，则当
实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数为个．
24．函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是．
25．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=．
26．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．
27．已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，
则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．
28．对于函数y=f（x），如果f（x0）=x0，我们就称实数x0是函数f（x）的不动点．设函数f（x）=3+log2x，则函数f（x）的不动点一共有个．29．函数y=log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取
值范围是．
30．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=．31．函数f（x）=log cos（2x﹣）的单调递增区间为．
32．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是．
三．解答题（共8小题）
33．设函数f（x）=|2x﹣1|
（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．
34．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≤3；
（2）若函数g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
35．已知函数f（x）=
（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．
36．已知函数f（x）=log2（x+a）；
（1）当a=1时，若，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；
（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R 上恒成立，求实数t的取值范围．
37．已知函数f（x）=log2（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x﹣1）＞0成立，求x的取值范围；
（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的解析式，并写出g（x）在[﹣3，3]上的单调区间（不必证明）；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥g（﹣）在R上恒成立，求实数t的取值范围．
38．设a＞0，函数
（1）若a=1，求f（x）的反函数f﹣1（x）
（2）求函数y=f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）
（3）设g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围
39．已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．
40．已知函数，函数x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个
零点，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：
当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．
2．函数的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根据题意，对于函数，
其对应的方程为x﹣﹣2=0，
令t=，有t≥0，
则有t2﹣t﹣2=0，
解可得t=2或t=﹣1（舍），
即方程x﹣﹣2=0有一个根4，
则函数有1个零点；
故选：B．
3．偶函数f（x）和奇函数g（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（g（x））=1，g（f（x））=2的实根个数分别为m、n，则m+n=（）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：若方程f（g（x））=1则g（x）=﹣1或g（x）=1，此时方程有2个解，m=6；
若g（f（x））=2则f（x）=﹣a，或f（x）=1，
此时方程有4个解；
即m=6，n=4，
∴m+n=10，
故选：D．
4．已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）
=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）
A．[2，3） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]
【解答】解：由题可知函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，
等价于两函数y=f（x）与y=b图象的交点个数不唯一．
因为m（x）=﹣x2+ax的图象是开口向下、对称轴的抛物线，
n（x）=2ax﹣4的图象是恒过（0，﹣4）的直线，
注意到m（1）=a﹣1、n（1）=2a﹣4，
所以分a≤0、0＜a≤2、a＞2三种情况讨论：
又因为y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，
y=n（x）在（0，+∞）上单调递减（当a=0时为常数函数），
所以y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，
所以始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；
②当0＜a≤2时，y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，
由于y=n（x）在（0，+∞）上单调递增，且n（1）≤0，
所以始终存在正实数b使得在（﹣∞，+∞）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；
③当a＞2时，y=m（x）在（﹣∞，1）上单调递增，y=n（x）在（1，+∞）上单调递增，
欲使始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一，
则必有m（1）＞n（1），即a﹣1＞2a﹣4，解得：a＜3．
综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3）．
故选：C．
5．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6） D．（2，+∞）
【解答】解：设t=2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，
∴函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，
∴，∴m＞6，
故选：B．
6．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣）B．（0，）C．（﹣∞，o）D．（0，+∞）
【解答】解：函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，
当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna，函数在（﹣∞，﹣lna）递减，在（ln ，+∞）递增，
所以f（x）的最小值为f（﹣lna）=1+lna﹣2a=1+lna﹣2a，
令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=﹣2，a∈（0，），g（a）递增，a∈（，+∞）递减，
g（a）max=g（）=﹣ln2＜0
∴f（x）的最小值为f（﹣lna）＜0恒成立，函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点；
综上实数a的取值范围是：（0，+∞），
故选：D．
7．已知函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），若y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（）
A．﹣1 B．0 C．D．
【解答】解：∵函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），
∴g（x+4）=﹣g（x+2）=g（x），
∴函数y=g（x）的周期为4，
∴g（﹣2017）=g（﹣1）=f（﹣1），
∵y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，
∴f（﹣1）=f（1）=0，
∴g（﹣2017）=0，
故选：B．
8．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1
【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．
方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线
是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，
解之得：x0=1，y0=1，．
故选：B．
9．已知函数f（x）=﹣mx有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）
【解答】解：函数f（x）=﹣mx有两个零点，也就是方程﹣mx=0有两个不等实数根，
即函数y=的图象与y=mx的图象有两个不同交点，
由y=，得y′=（x＞0），
∴当x∈（0，e）时，y′＞0，当x∈（e，+∞）时，y′＜0．
∴y=在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，
作出函数y=与y=mx的图形如图：
设过原点的直线与y=相切于（），
则，则切线方程为．
把O（0，0）代入，可得，解得．
∴切点坐标为（，）．
则原点与切点连线的斜率为k=．
则函数f（x）=﹣mx有两个零点的实数m的取值范围是（0，）．
故选：A．
10．已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）
A．22018B．
C．2 D．0
【解答】解：因为是奇函数，所以的最大值与最小值互为相反数，从而得m+n=0，所以f（m+n）=f（0）=0．
故选：D．
11．已知函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
当x＞0时，f（x）=，
则函数f（x）的图象如下图所示：
由图可得：f（x）与y=2的图象有4个交点，
即函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为4，
故选：B．
12．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）
A．（1，4） B．（1，4]C．（1，2） D．（1，2]
【解答】解：由题意可得g（x）=x2﹣2ax的对称轴为x=a
①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则
∴1＜a＜2
②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g （x）＞0在[4，5]恒成立
则此时a不存在
综上可得，1＜a＜2
故选：C．
13．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n
叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．2026
【解答】解：a1•a2•…•a n=…×==log2（n+2）=k，则2k=n+2．
n=2时，k=1；…；n=1022时，k=10；
若k=11，则n=2048﹣2=2026＞2018，不满足题意．
在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和=22﹣2+23﹣2+…+210﹣2
=﹣18=2026．
故选：D．
14．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，
∴y=f（x）与y=ax在区间（0，e2）上有三个交点；
由函数y=f（x）与y=ax的图象可知，
k1==；
f（x）=lnx，（x＞1），f′（x）=，
设切点坐标为（t，lnt），
则=，
解得：t=e．
∴k2=．
则直线y=ax的斜率a∈（，）．
故选：D．
15．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈N*），若对任意的x∈（0，t）（t＞0），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，那么k的取值集合是（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
【解答】解：令k=1，令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣x，（x＞0），
则h′（x）=﹣1=﹣，
∵x≥0，
∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，有h（x）＜h（0）=0，
∴x＞0时，f（x）＜x；
故当k＞1时，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），
令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），
则有M′（x）=k﹣﹣2x=，
故当x∈（0，）时，M′（x）＞0，
M（x）在[0，）上单调递增，
故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），
则有G′（x）=﹣k=，
当k≤0时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴G（x）＞G（0）=0，
故对任意正实数x0均满足题意．
当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得x==﹣1＞0，
取x0=﹣1，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．故存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．
此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，
令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），
则有N′（x）=﹣k﹣2x=，
故当x∈（0，）时，N′（x）＞0，
N（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）
=0，
即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，
则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），
令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有H′（x）=1﹣﹣2x=，
当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，
故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．
综上，k=1，
故选：A．
16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，] D．（﹣∞，]
【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，
即，
∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，
设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，
且两根都大于0；
∴，
解得：0＜t＜，
∴满足条件t的范围是（0，），
故选：A．
二．填空题（共16小题）
17．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．
【解答】解：∵当x＞0时，==2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
18．设关于x的方程x2﹣ax﹣2=0和x2﹣x﹣1﹣a=0得实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是（﹣1，1）．
【解答】解：由x2﹣ax﹣2=0，得，由x2﹣x﹣1﹣a=0，得a=x2﹣x﹣1．
在同一个坐标系中画出和y=x2﹣x﹣1的图象如图：
由，化简得x3﹣2x2﹣x+2=0，此方程显然有根x=2，
∴x3﹣2x2﹣x+2=（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x=﹣1或x=1或x=2，
当x=2，或x=﹣1时，y=1；当x=1时，y=﹣1，
由题意可知，﹣1＜a＜1．
∴a的取值范围是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
19．已知函数f（x）=函数g（x）=x2，若函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数a的取值范围为（5，] ．
【解答】解：当x＞0时，y=2x与g（x）=x2有两个交点（2，4），（4，16）．要使函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，
只需：x≤0时，y=a|x+|﹣与g（x）=x2有两个交点即可（如图）．
过点（﹣，﹣）作g（x）=x2（x＜0）的切线，设切点为（m，m2）
切线方程为y﹣m2=2m（x﹣m），把点（﹣，﹣）代入上式得m=﹣，∴切线斜率为2m=5．
，解得a，
∴实数a的取值范围为（5，]．
故答案为（5，]．
20．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1
＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是[，）．
【解答】解：分别画出y=|x﹣1|与y=（）x﹣1的图象，如图所示
所以x1+x2=2，1﹣x1=x2﹣1=（），得x2=（）+1，得
则（x1+x2）x2f（x3）=2（（）+1）•（），
令t═（），x3∈（2，3]，得t∈[，），
又y=2（t+1）t=2t2+2t，则y的取值范围为[，）．
故答案为：[，）．
21．已知函数f（x）=则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，2] ．
【解答】解：不等式f（f（x））≤3，令f（t）≤3，若t≤0，则2﹣t﹣1≤3，2﹣t≤4，解得﹣2≤t≤0；
若t＞0，则﹣t2+t≤3，t2﹣t+3≥0，解得t＞0，∴t≥﹣2，
即原不等式等价于或，解得x≤2．
故答案为：（﹣∞，2]．
22．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•f（x0）=1成立，则称x0为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是①②④．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+，x∈（0，+∞）；④f（x）=e x；⑤f（x）=﹣2lnx．
【解答】解：①由x=1得：，
则①具有“反比点”．
②设h（x）=xsinx﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，，
∴h（x）=xsinx﹣1=0⇒xsinx=1在上有解，所以②具有“反比点”．
③由∉（0，+∞），所以③不具有“反比点”；
④若xe x=1令g（x）=xe x﹣1，g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣1＞0④具有“反比点”
⑤若在（0，+∞）上有解，
令h（x）=xlnx⇒h'（x）=lnx+1=0⇒x=e﹣1，
可得h（x）在x=e﹣1有最小值﹣e﹣1，而，所以⑤不具有“反比点”，故答案为：①②④
23．设定义在R上的函数，g（x）=f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数为3个．
【解答】解：定义在R上的函数，函数的图象如图：g（x）=f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数，
就是y=f（x）与y=a图象的交点个数，
由图象可知，零点个数为3个．
故答案为：3．
24．函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是（﹣，1）．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1，
令f′（x）=0得x=﹣或x=1，
∴当x＜﹣或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=﹣时，f（x）取得极大值f（﹣）=+k，当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=k﹣1．
∵f（x）的图象与x轴刚好有三个交点，
∴，解得：﹣＜k＜1．
故答案为：（﹣，1）．
25．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=0．
【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），
∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．
∴k+α=0．
故答案为：0．
26．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．
【解答】解：A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，
有结论＜lg（）成立．
类比上式可得：若点A（x1，），B（x2，）是y=g（x）上两点，而线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，
有结论：．
故答案为：．
27．已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．
【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg （）|=|lg（b+2）|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）﹣1=2（b+2）+﹣1＞1．
从而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+]|=lg[2（b+2）+]≥3lg2，
当且仅当b=0，a=﹣时取等号．
∴a+b=．
故答案为﹣．
28．对于函数y=f（x），如果f（x0）=x0，我们就称实数x0是函数f（x）的不动点．设函数f（x）=3+log2x，则函数f（x）的不动点一共有2个．
【解答】解：由题意得：3+log2x=x，
即log2x=x﹣3，
画出函数y=log2x和y=x﹣3的图象，如图示：
，
结合图象，函数有2个交点，
即函数f（x）的不动点一共有2个，
故答案为：2．
29．函数y=log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣8，﹣6] ．
【解答】解：∵函数在[﹣1，+∞）上是减函数，
∴，解得﹣8＜a≤﹣6，
故实数a的取值范围是（﹣8，﹣6]，
故答案为（﹣8，﹣6]．
30．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=．
【解答】解：∵正数a，b满足2﹣log2a=3﹣log3b=log6，
∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）
设∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）=x
则a=2x+2，b=3x+3，a+b=6x，
∴+====
故答案为：
31．函数f（x）=log cos（2x﹣）的单调递增区间为（kπ+，kπ+）
（k∈Z）．
【解答】解：∵对于函数g（x）=cos（2x﹣）的单调减区间为2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，
即kπ+≤x≤kπ+，而cos（2x﹣）＞0，
故函数g（x）的单调减区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z），
根据复合函数的同增异减的原则，
得：f（x）在（kπ+，kπ+）（k∈Z）递增，
故答案为：（kπ+，kπ+）（k∈Z）．
32．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是（﹣2，﹣2）．
【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，y=﹣2，
故y=a x+2﹣3的图象恒过定点（﹣2，﹣2），
故答案为：（﹣2，﹣2）
三．解答题（共8小题）
33．设函数f（x）=|2x﹣1|
（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）
（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．
【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]．
（2）f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，
由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．
从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．
故f（a2）+f（b2）的最小值为2．
34．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≤3；
（2）若函数g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当x≤﹣时，不等式f（x）≤3可化为：
﹣（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，
解得x≥﹣1，即﹣1≤x≤﹣；
当﹣＜x＜1时，不等式f（x）≤3可化为
（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，
解得x≤1，即﹣＜x＜1；
当x≥1时，不等式f（x）≤3可化为
（2x+1）+（x﹣1）≤3，
解得x≤1，即x=1；
综上可得：不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，1]；
（2）若g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，
则g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|﹣2x+2019|≥|（2x﹣2018﹣a）+（﹣2x+2019）|=|1﹣a|=|a﹣1|，
f（x）=，
则当x=﹣时，函数f（x）取最小值为，
若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，
则|a﹣1|≤，
解得﹣≤a≤；
∴实数a的取值范围是[﹣，]．
35．已知函数f（x）=
（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．
【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为R，f′（x）=
①当m+1=1，即m=0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R递增，
②当1＜m+1＜3即0＜m＜2
x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（1，m+1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0时，
x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（m+1，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
综上所述，①m=0时，f（x）在R递增，
②0＜m＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）递增，在（1，m+1）递减，
③﹣2＜m＜0时，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）递增，在（m+1，1）递减；
（Ⅱ）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，m+1）递减，
令g（x）=x，
①当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，
所以函数f（x）图象在g（x）图象上方；
②当x∈[1，m+1]时，函数f（x）单调递减，
所以其最小值为f（m+1）=，g（x）最大值为m+1，
所以下面判断f（m+1）与m+1的大小，
即判断e x与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，
令m（x）=e x﹣（1+x）x，m′（x）=e x﹣2x﹣1，
令h（x）=m′（x），则h′（x）=e x﹣2，
因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=e x﹣2＞0，m′（x）单调递增；
所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，
故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=e x0﹣2x0﹣1=0，
所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，）单调递增
所以m（x）≥m（x0）=e x0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，
所以x0∈（1，]时，m（x0）=﹣+x0+1＞0，
即e x＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，
所以函数f（x）的图象总在直线y=x上方．
36．已知函数f（x）=log2（x+a）；
（1）当a=1时，若，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；
（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R 上恒成立，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式可化为0＜log2（2﹣2x）﹣log2（x+1）＜，∴1＜＜，且2﹣2x＞0，且x+1＞0，
得3﹣2＜x＜．
（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，
当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x﹣2∈[0，1]，
g（x）=﹣g（x+2）=g（﹣x﹣2）=log2（﹣x﹣1），
此时g（x）∈[0，1]，x=﹣2g（x）﹣1，
h（x）=﹣2x﹣1（x∈[0，1]）．
当x∈（﹣2，﹣1]时，﹣x﹣2∈[﹣1，0），x+2∈（0，1]，
g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3），
此时，g（x）∈[﹣1，0），x=2﹣g（x）﹣3，
h（x）=2﹣x﹣3．（x∈[﹣1，0））．
∴h（x）=．
（3）∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，
∴记u=）=﹣+，
∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，
∴g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R
上恒成立，
当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣+）=（﹣，），
∴（﹣，）∈[﹣，]，解得t∈[﹣1，20]．
当t+1＜0时，u∈（﹣+，﹣）=（，﹣），
由g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在
R上恒成立，
得（，﹣）∈[﹣，]，
解得t∈[﹣4，﹣1）．
综上所述，实数t的取值范围是[﹣4，20]．
37．已知函数f（x）=log2（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x﹣1）＞0成立，求x的取值范围；
（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，
g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的解析式，并写出g（x）在[﹣3，3]上的单调区间（不必证明）；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥g（﹣）
在R上恒成立，求实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=log2（x+1）．
∴f（x﹣1）=log2x，
∴f（x）+f（x﹣1）=log2（x+1）+log2x=log2[x（x+1）]，
若f（x）+f（x﹣1）＞0，则，
解得：x∈（，+∞），
即x的取值范围为（，+∞）；
（Ⅱ）∵函数g（x）是定义在R上奇函数，
故g（0）=0，
又∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x）=log2（x+a）．
故a=1，
当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，
∴g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3）．
当x∈[﹣3，﹣2]时，x+2∈[﹣1，0]，﹣（x+2）∈[0，1]，
∴g（x）=﹣g（x+2）=g[﹣（x+2）]=log2[﹣（x+2）+1]=log2（﹣x﹣1）．
故g（x）=，
g（x）在[﹣3，﹣1]和[1，3]上递减，在[﹣1，1]上递增；
（III）记u==﹣+，
当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣+）=（﹣，），
由g（）≥g（﹣）在R上恒成立可得：（﹣，）∈[.]，解得：t∈[﹣1，20]．
当t+1＜0时，u∈（﹣+，﹣）=（，﹣），
由g（）≥g（﹣）在R上恒成立可得：（，﹣）∈[.]，
解得：t∈[﹣4，﹣1）．
综上所述实数t的取值范围为[﹣4，20]．
38．设a＞0，函数
（1）若a=1，求f（x）的反函数f﹣1（x）
（2）求函数y=f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）
（3）设g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，
∴1+2x=，
即2x=﹣1=，则0＜y＜1，
∴x=log2（）；
故f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（），x∈（0，1）
（2）∵y=f（x）•f（﹣x）=•=，
设y=2x+2﹣x，易知，函数y=2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
则当x=0时，y=2x+2﹣x有最小值，最小值为2，
∴当x=0时，y=f（x）•f（﹣x）有最大值，
∴y max==；
（3）g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=﹣，令t=a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．
∴h（t）=，
当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以
∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）=﹣，
∴恒成立，∴0
当时，，令=
不恒成立，舍去
综上，a的取值范围是（0，]．
39．已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．【解答】解：（I）∵f（0）=log a1=0．
因为f（x）是奇函数，
所以：f（﹣x）=﹣f（x）⇒f（﹣x）+f（x）=0
∴log a+log a=0；
∴log a=0⇒=1，
即∴1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．
所以m=1或m=﹣1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log a；
设
设﹣1＜x1＜x2＜1，则
∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0
∴t1＞t2．
当a＞1时，log a t1＞log a t2，
即f（x1）＞f（x2）．
∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．
当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．
∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（III）由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0
得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），
∵函数f（x）是奇函数
∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b）
，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函数
∴
∴
∴b的取值范围是
40．已知函数，函数x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，
值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴，
令u=mx2+2x+m，则，
当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则，
解得m＞1，
综上所述，m＞1 …（4分）
（2）=，x ∈[﹣1，1]，
令，则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当时，时，；
当时，t=a时，；
当a＞2时，t=2时，h（a）=y min=7﹣4a．
综上所述，…（10分）
（3），
假设存在，由题意，知
解得，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）。