宁波市海曙区九年级上期末数学试卷(有答案)-名校版

2017-2018学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．：1
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）
A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似
3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）
A．30°B．50°C．20°D．40°
4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）
A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm
5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）
A．B．C．D．
6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．45°
7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x+4）2+5
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）
A．40°B．60°C．80°D．90°
9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）
①sin∠BAC＝a，
②cos∠BAC＝b，
③tan∠BAC＝．
A．0个B．1个C．2个D．3个
11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（4分）定义符号min {a ，b }的含义：当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ；当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ，如min {1，﹣4}＝﹣4，min {﹣6，﹣2}＝﹣6，则min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值为（ ）
A ．2﹣2
B ． +1
C ．1﹣
D ．2+2
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 ．
14．（4分）若线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4厘米，b ＝25厘米，则c ＝ 厘米．
15．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，则半径r 的取值范围是 ．
16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 ．
17．（4分）如图，⊙A 的圆心A 在⊙O 上，O 的弦PQ 与⊙A 相切于点B ，若⊙O 的直径AC ＝10，AB ＝2，则AP •AQ 的值为 ．
18．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 为射线BC 上一动点（不与C 重合），△CDE 的外接圆交AE 于P ，若CP ＝CD ，则AP 的值为 ．
三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）
19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；
（2）若＝，求的值．
20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，
点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin E＝，求AB：EF的值．
24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．
（1）销售x只蛋糕的总售价为元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式；
（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？
（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．
（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求⊙P的半径；
（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
2017-2018学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．：1
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1．
故选：D．
【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）
A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水
B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1
C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似
【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；
B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错误；
C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；
D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）
A．30°B．50°C．20°D．40°
【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数．
【解答】解：∵旋转
∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30°
∴∠B'AC＝20°
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．
4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）
A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm
【分析】根据弧长公式l＝进行解答．
【解答】解：此圆弧长为l＝＝cm，
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）
A．B．C．D．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）
A．40°B．35°C．30°D．45°
【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数等于120°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO＝90°，
∴∠ACP＝30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
7．（4分）把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x+4）2+5
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：把抛物线y＝（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（x﹣2）2+3再向下平移2个单位，
所得的图象解析式是：y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）
A．40°B．60°C．80°D．90°
【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．
【解答】解：连接OD、OB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，
∴40°≤∠BPD≤80°，
∴∠BPD不可能为90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可．
【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，
∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，
而E为DC的中点，
∴AE＝2DE，
在Rt△ADE中，AE＝2DE，
∴∠EAD＝30°，
∴sin∠EAD＝，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．
10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）
①sin∠BAC＝a，
②cos∠BAC＝b，
③tan∠BAC＝．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC的三角函数值，即可解答本题．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米，
∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝，
∴sin∠BAC＝a，故①正确，
cos∠BAC＝b，故②正确，
tan∠BAC＝，故③错误，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，利用切线的性质得OA ＝OB ＝r ，根据
切线长定理得到∠APO ＝∠BPO ＝30°，则AP ＝
OA ＝r ，再利用四边形内角和计算出∠AOB ＝120°，
接着利用扇形面积公式得到S ＝（﹣π）r 2（r ＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．
【解答】解：过O 点作两切线的垂线，垂足分别为A 、B ，连接OP ，如图，
则OA ＝OB ＝r ，∠APO ＝∠BPO ＝30°，
∴AP ＝OA ＝r ，
∵∠OAP ＝∠OBP ＝90°，
∴∠AOB ＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，
∴S ＝S 四边形AOBP ﹣S 扇形AOB
＝2×r •
r ﹣
＝（﹣π）r 2（r ＞0），
故选：C ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象．
12．（4分）定义符号min {a ，b }的含义：当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ；当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ，如min {1，﹣4}＝﹣4，min {﹣6，﹣2}＝﹣6，则min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值为（ ）
A ．2﹣2
B ． +1
C ．1﹣
D ．2+2
【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min {﹣x 2+2，﹣2x }的最大值，本题得以解决．
【解答】解：当﹣x2+2≥﹣2x时，
解得，1﹣≤x≤1+，
∴当1﹣≤x≤1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣2x，此时，当x＝1﹣时，﹣2x取得最大值﹣2+2；当﹣x2+2≤﹣2x时，
解得，x≤1﹣或x≥1+，
∴当x≤1﹣或x≥1+时，min{﹣x2+2，﹣2x}＝﹣x2+2，此时，当x＝1﹣时，﹣x2+2取得最大值﹣
2+2；
由上可得，min{﹣x2+2，﹣2x}的最大值为2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球，
∴从中随机摸出一球是白球的概率是＝．
故答案为．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝10 厘米．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
所以c2＝4×25，解得c＝±10（线段是正数，负值舍去），
∴c＝10cm，
故答案为：10
【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是3＜r＜4 ．
【分析】根据勾股定理得到AC＝＝5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3＜r＜4．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
∴r的取值范围是3＜r＜4．
故答案为：3＜r＜4
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d ＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．
16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 2 ．
【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决．
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；
其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；
由勾股定理得：
AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，
∴AB＝10；由切线的性质定理的：
AF＝AE，BD＝BE；
∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，
∴R＝2，
它的内切圆半径为2．
【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为20 ．
【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三
角形的性质定理计算即可．
【解答】解：连接QC，
∵PQ与⊙A相切于点B，
∴∠ABP＝90°，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AQC＝90°，
∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ，
∴△ABP∽△AQC，
∴＝，
∴AP•AQ＝AB•AC＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆
交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．
【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可
判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．
【解答】解：连接PD，如图，
∵∠ECD＝90°，
∴DE为直径
∴∠EPD＝90°，
∵CP＝CD，
∴∠CDP＝∠CED，
∵∠AEB＝∠CDP，
∴∠AEB＝∠CED，
∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE＝BC＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∴Rt△ADP∽Rt△EAB，
∴＝，即＝，
∴AP＝．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题
14分，共78分）
19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；
（2）若＝，求的值．
【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；
（2）由＝知y＝3x，代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝×﹣×＝3﹣1＝2；
（2）∵＝，
∴y＝3x，
则原式＝＝．
【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．
20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C 都可使小灯泡发光．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，
所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；
（2）画树状图如右图：
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，
其中能使小灯泡发光的情况有6种，
小灯泡发光的概率是．
【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，
点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．
∵的度数为120°，AO＝BO，
∴∠BOH＝×120°＝60°，
∴AH＝BH＝，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．
∵Rt△BOH中，OH＝1，
∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，
∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，
在Rt△OMC中，CM＝＝，
∴CE＝ME+CM＝1+＝，
∴立柱CE的长度为．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．
【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝x，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝x，在
Rt△ACN中，利用∠A的正切得到＝tan30°＝，解得x＝700+700，然后计算CN+MN即可．【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，
则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°，
设CN＝x，
在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝，
∴BN＝CN＝x，
在Rt△ACN中，tan∠NAC＝，
∴＝tan30°＝，解得x＝700+700，
∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．
答：海底C点处距离海面DF的深度为（700+1300）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决
23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin E＝，求AB：EF的值．
【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；
（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5x，则得出CA＝10x，CE＝13x，进而得出CE＝18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．
【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，
∴∠CBA＝90°，
又∵∠F＝90°，
∴∠CBA＝∠F＝90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO＝∠EDO，
又∵D为的中点，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∵EF过半径OD的外端，
则EF为圆O的切线，
（2）在Rt△ODE中，sin E＝＝，
设OD＝OC＝OA＝5x，
∴CA＝10x，OE＝13x，
∴CE＝18x，
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝＝
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；
（2）根据相似三角形作图可得．
【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝＝、AB＝2、AC＝＝，
∴BC：AB：AC＝：2：＝1：：，
∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；
（2）如图所示：
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做x只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与x的关系式为R＝500+30x，P＝170﹣2x，设她家每日获得的利润为y元．
（1）销售x只蛋糕的总售价为（﹣2x2+170x）元（用含x的代数式表示），并求y与x的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？
（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？
【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做x只蛋糕的成本可得y关于x的解析式；
（2）求出y＝1500时x的值即可得；
（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）销售x只蛋糕的总售价为（170﹣2x）x＝﹣2x2+170x（元），
根据题意，得：y＝（﹣2x2+170x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+140x﹣500，
故答案为：（﹣2x2+170x）；
（2）当y＝1500时，得：﹣2x2+140x﹣500＝1500，
解得：x
1＝20、x
2
＝50，
∵x≤40，
∴x＝20，
即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；
（3）y＝﹣2x2+140x﹣500＝﹣2（x﹣35）2+1950，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为1950，
答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣3）与x轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．
（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求⊙P的半径；
（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
【分析】（1）分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；
（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；
（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x
1＝﹣1，x
2
＝3，
∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）；
当x＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
（2）连接CP、BP，如图1所示．
在Rt△BOC中，BC＝＝．
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，
∴CP＝BP＝BC＝，
∴⊙P的半径为．
（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10，
整理，得：y2﹣3y+2＝0，
解得：y
1＝1，y
2
＝2，
∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．
（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．
∵AC＝＝3，∠ACO＝45°，
∴点C′的坐标为（3﹣3，0），∠AC′O′＝45°，
∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣3．
∵点E在线段CO上，
∴点F在线段C′O′上．
过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值．
∵△OC′F为等腰直角三角形，
∴OF＝OC′＝（3﹣3）＝3﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。