江苏省泰州市姜堰区2017-2018学年高一下学期期中考试(4月)数学-附参考答案

姜堰区 2017～2018 学年度第二学期期中调研测试试题
高 一 数 学(卷 I )
（考试时间：120 分钟 总分 160 分）
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸 相应的答题线上） (2,3)
N (4,9) ，
1．已知点 M ，则直线 M N 的斜率是．
2．正方体 3．直线 y 中，与棱 平行的棱有条.
AA AB C D A B C D 1 1 1 1 1
3x 4 在 轴上的截距为．
y
y 2x 3y 0 的圆心坐标为．
4．圆 x 2 2 (第 2 题)
:(a 1)x 2y 6 0 l : x a 5 y a 1 0 5．已知直线l 和直线 2 垂直，则实数a 的值为 1
2
.
3x 2
y 2 0 6 ． 直 线 l 的 方 程 为 ， 直 线 l 的 方 程 为
1
2
(第 7 题)
( 2m 1x ) m y 1 m
，若 ∥ 则实数 的值为
l l .
1
2
A BC D 2 2 A D 的中点,点 在C D F
上,若 EF / / 平面 A C B ,
7．如图,正方体 AB C D 则 EF ．
中, AB ,点 为 E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (y a) 4 所截得的弦长为
2 2
y 2 0 8．若直线 x 被圆 x
2 2
，
a
则实数 的值为．
, , 9．已知 , 是两条不重合的直线 m n
是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:
, m / / ,则
(1)若 m
, / /
(2)若 ,则 , , / / ,则 /
/
/ / n m n
(3)若 m / / m /
/ (4)若 m ， ，则
其中正确的命题是．(填上所有正确命题的序号)
3,5
x 1 y 1 4
的切线，则切线长为．
10．过点 P 引圆 2 2
0,6
B 1,5
，
11．已知圆C 经过点 A
，且圆心在直线l : x y 1 0
上，则圆C 的标准方
程为．
12．已知两圆相交于两点
(2,3)和(m,2)
，且两圆的圆心都在直线 x
y
n 0上，
n 则 m 的值是．
3
，
A C
1，
13．如图，直三棱柱 AB C A B C 中， AB 2 ， BC 1 1 1
FC AA
3 ， F 为线段 AA 上的一动点，则当 BF 1
最小时，
1
1
△ BF C 的面积为. 1
0,2
: x
a
y a 2a 外一点，若圆C 上存在一点Q ，使得
CP Q 60
，
14．已知点 P
为圆C 2
2
2 则正数 的取值范围是．
a
二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） (第 13 题) 15．(本小题满分 14 分)
已知 E , E
AB C D A B C D A D, A D
的中点．
分别为正方体 的棱 1 1 1 1 1
1 1 （1）求异面直线 A A 和 BC 所成的角的大小.
1
C E B
CEB （2）求证: .
1 1 1
16．(本小题满分 14 分)
ABC (0,5) (1,2) C(3,4)
．
已知 的顶点 A , B , 1 D B C （ ）若 为
的中点，求线段 A D 的长． 2 （ ）求
AB 边上的高所在的直线方程． 17．(本小题满分 14 分)
AB C D 四边形 AB C D 是正方形， O 是正方形的中心， PO 平面 ， E 是 PC 的中点． （1）求证： PA ∥平面 B D E ； PC （2）求证： B D ．
18．(本小题满分 16 分)
已知圆 ： 2 4 4 0 ．
x 2 y 2 x y C (2,0) （1）直线 过点 P ，被圆 截得的弦长为4 2 ，求直线 的方程； C l l 1 1 （2）直线 的的斜率为 1，且 被圆 截得弦 ，若以 为直径的圆过原点，求直线 的方程．
AB l
l l C AB 2 2 2 19．（本题满分 16 分）
在四棱锥 P －A B C D 中，∠A B C ＝∠A C D ＝90°，∠B A C ＝∠C A D ＝60°，P A ⊥平面 AB C D ，E 为 P D 的中点， ＝2 AB ＝2． （1）求证： P C AE ； （2）求证：CE ∥平面 PA ；
PAB
20．（本题满分 16 分）
:
(x 4) (y 1) 4 : 2 ,直线l mx
(3m 1)y 2 0 已知圆C 2 2 （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值； 4,5
（3）已知点M ，在直线 M C 上（C 为圆心），存在定点 N （异于点 M ），满足：对于圆 C 上任一
P M 点 P ，都有
为一常数，试求所有满足条件的点 N 的坐标及该常数．
P N
姜堰区 2017～2018 学年度第二学期期中调研测试试题
高 一 数 学(卷 I )
一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）
3
2 5.
3 6．2 7.
(1, )
1．32．33. 4 4． 2 25
4 3 y
2 8．0 或 49.（1） 10． 11． x 2 2 15
15 3 a 1 14．
12．-3
13.
2 二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 15.（本小题 14 分）
/ /AD 解答：（1）因为 B C ,所以 A A D 即为异面直线 AA 和 BC 所成的角 3 分
………
1 1
A A D 90
，所以两条异面直线所成的角为90o ……… 6 分
又因为 o 1
（2）法 1：因为 E
, E
分别为正方体 AB C D
A B C D
A D, A D
的棱
的中点．
1
1 1 1 1 1 1 / /DD EE / /DD C C / /EE CC EE 所以CC ,
,得到 ,且 ，
1
1
1
1
1
1
1
1
EC 四边形CC E E 为平行四边形，所以 E C
1 1
,………………… 9 分
1 1
B E 同理可证 BE ，…………………………………………………………11 分 1 1
B C BEC B E C BEC B E C
,
,即证.……………… 14 分
又因为 B C ,所以 1 1
1 1 1
1 1 1
法 2：因为 E
, E
分别为正方体 AB C D
A B C D
A D, A D
的棱
的中点．
1 1 1 1 1 1 1 / /DD EE / /DD C C / /EE C C EE 所 以 CC , , 得 到 ， 四 边 形 CC E E 为 平 行 四 边 形 ， 所 以
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
C E / /CE …………… 9 分
1 1
/
/B E 同理可证 BE ………………………………………………………11 分 1 1
BEC B E C 又因为 E C 与 EC 方向相同， E B 与 EB 方向相同，所以 .……… 14 分
1 1
1 1
1 1 1
16.（本小题 14 分）
解答：(1)D 为 B C 的中点，由中点坐标公式得到点 D 的坐标为（-1，-3）……… 2 分
A D (0 1) (5 3) 65 ………………………………………… 6 分
2 2 5 2 0 1
2 k
7
，………………………………………… 9 分
（ ） AB
1
k 1
，则k
AB
．………………………………………… 12 分 AB 边上的高斜率
k ， k
7
C 3,4 ．
AB 边上的高过点
1 4 x
3 ∴ AB 边上的高线所在的直线方程为 y ，
7
7y 25 0 整理得 x ．………………………………………… 14 分 17.（本小题 14 分）
解答：（1）连接 A C ， OE ，则 A C 经过正方形中心点O ，
/
/PA PA/ / 由O 是 A C 的中点， E 是 PC 的中点，得OE ，…………………………… 3 分 平面 B D E ；……………… 7 分 PA
平面 B D E ，所以
又OE 平面 B D E ， AB C D P O B D ，得
（2）由 P O 平面 ，………………………………………… 9 分 ，…………………………………………11 分 AC P O AC O 点， P O 平面 PA C ，
PC 又正方形对角线互相垂直，即B D PA C ，得 B D ．………………………………………… 14 分 所以 B D 平面 18.（本小题 16 分）
(x 1)
(y 2) 9 (1,2) 半径为 3，
解： 圆 C ： 2 2 ，圆心C (2,0)
（1）因直线l 过点 1
2
l ： x
1
①当直线斜率不存在时
此时l 被圆 截得的弦长为4 2
C 1
l x 2
∴ ： …… 3 分
1
②当直线斜率存在时
l
y k(x 2) kx y 2k 0
即
可设 方程为 1
4 2 l l 3 ( 2 ) 1
2
由 被圆 截得的弦长为4 2 ，则圆心 C 到 的距离为 C 2 1 1 k 2 2k 1 k 2
3
4
∴
1
解得 k
3
l y (x 2) 3x 4y 6 0 ∴ 方程为 即 4
1 l
x 2 3x 4y 6 0
或 由上可知 方程为： ……8 分
1
l
x
(x b ) 2x 4(x b ) 4 0 y x b （2）设直线 的方程为 2 ．
2
2x
(2b 2)x b 4b 4 0 即 设 即 2 2 （*）以 A B 为直径的圆过原点 O ，则 O A ⊥O B ． A(x , y ) B(x , y ) x x
y y
，
1 2
， ，则 ……10 分
1
1
2
2
1 2
x x (x b )(x b ) 0
1 2
1
2
∴
2
1
2
b 4b 4
2 x x b 1,x x 2
1 2 b
4b 4 b (b 1) b 0 b 3b 4 0 b 4 b 1 或 ……14 分
2 ∴ 2 2 即 ，∴ b 4 b 1
或 代入（*）方程，对应的△ ＞0． 将 l x y 4 0 x y 1 0 故直线 ： 或 ． ……16 分
2
19. （本小题 16 分）
解答：（1）在 Rt △ ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，
P C
F 中点 ，连 AF, EF ，
∴BC ＝ 3 ，AC ＝2．取 ∵PA ＝AC ＝2，∴PC ⊥ AF ． ……………………………………………4 分
∵PA ⊥平面 ABC D ，C D
平面 ABC D ，
∴PA ⊥C D ，又∠AC D ＝90°，即C D AC
， ∴C D
平面PA C ，∴C D PC ，
EF PC ∴ ．
………………………………………………………6 分
P C 平面AEF ∴ ．
AE ∴PC ⊥ ．…………………………………………………8 分 （2）证法一：取 A D 中点 M ，连 EM ，C M ．则
E M ∥PA ．∵E M
平面 PAB ，PA 平面 PAB ，
∴E M ∥平面 PAB ． ……………………………………………………10 分 在 Rt △AC D 中，∠CA D ＝60°，AC ＝A M ＝2， ∴∠AC M ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴M C ∥AB ． ∵M C
平面 PAB ，AB 平面 PAB ，
∴M C ∥平面 PAB ． …………………………………………………12 分 ∵E M ∩M C ＝M ，∴平面 E M C ∥平面 PAB ．…………………………………14 分 ∵EC
平面 E M C ，∴EC ∥平面 PAB ．………………………………………16 分
证法二：延长 D C 、AB ，设它们交于点 N ，连 PN ．
∵∠NA C ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥C D ，∴C 为 N D 的中点．…………………………10 分 ∵E 为 P D 中点，∴EC ∥PN …………………………………………………………12 分 ∵EC
平面 PAB ，PN 平面 PAB ，∴EC ∥平面 PAB ．
………………… 16 分
m 2x
3y 2 y 0
20．解：（Ⅰ）依题意得， 2x 3y 0 2 y 0 且
x 3, y 2
令 ，得 直线l 过定点 A 3,2 ……4 分
C 4,1
A C
l r
2
（Ⅱ）当 时，所截得弦长最短，由题知 ， 2 1
1 1 2m
k 1，得 k
1 ， 1 m 1 得
由 ……8 分
A C 3 4 k
1 3m 1 l A C
N 4,t
，假设存在定点
（Ⅲ）法一：由题知，直线M C
的方程为 4
满足题意，
x
P M P x , y
(x 4)
4 y 1
，且
P M | P N | ( 0) 则设
，
，得 2
2 2 2
2
P N
4 y 1 y
5 4 y 1 y t 2 2 2 2 2 2 2 [(2 2t) 8]y (3 t ) 28 0 整理得， 2
2 2 ……12 分
y
1, 3 (2 2t )
8 0 (3t )
28 0
2
且
2 2
上式对任意 恒成立，
4, 2
解得t 2
7t 10 0,说以t 2,t 5
综上可知，在直线M C
（舍去，与M 重合），
2
P M
N 4,2
2
为常数 ……16 分
上存在定点
，使得
P N M C N 4,
t 上的点
法二：设直线 P M
2
M C
M C
C
与圆 的交点
P 4,3
取直线 取直线 ，则 1
P N
1 t 3
1
P M
6
P 4,1
C
与圆 的交点
，则
2
P N 2
t 1
2
2 6
P M P N
，解得t 2或t 5 （舍去，与 重合），此时 M 2
令
t 3 t 1 4,2
若存在这样的定点 N 满足题意，则必为 N ，…12 分
4,2
下证：点 N
满足题意，
, y x 4 3 2y y 设圆上任意一点 P x ，则
2 2 x 4 y 5 | P M |2
| PN |2 2 2 3 2y y (y 5)2 8y 28 2
4 3 2y y (y 2)2 2y 7 4 y
2 2 2 2 x P M 2
P N
4,2
P M P N
综上可知，在直线M C 上存在定点 N
，使得 为常数2 …16 分。