三年高考(2015-2017)高考数学试题解析26概率理

专题26 概率
1。

【2017课标1，理】如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()
P A。

2.【2017山东，理8】从分别标有，， ，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
（A）
5
18(B)（C）
（D)
【答案】C
【解析】试题分析:标有，,⋅⋅⋅，的张卡片中,标奇数的有张,标偶数的有张,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
115425
989C C =⨯ ，选C.
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题。

江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法。

因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时,往往采取计数其对立事件.
3. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7：00,8：00，8:30发车，小明在7：50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ）
(A)1
3 （B ）错误! （C ）错误! （D ）错误! 【答案】B 【解析】
试题分析：如图所示，画出时间轴：
8:208:10
7:507:40
8:308:007:30
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落
在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率10101
402
P +=
=．故选B ． 考点：几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度"，常见的测度有：长度、面积、体积等. 4。

【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为（ ） A ．1 B 。

21
11
C 。

21
10
D. 215
【答案】B ．
【考点定位】排列组合,古典概率．
【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力,解答此题关键在于理解所取球恰好个白球个红球即是分步在白球和红球各取个球的组合，属于容易题． 5。

【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数
1
x ,2
x ，…，n
x ,1
y ，2
y ，…，n
y ，构成n 个数对()11,x y ，()22
,x y ，…，
(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方
法得到的圆周率π的近似值为
（A ）4n
m (B ）2n
m
(C ）4m
n
（D)2m
n
【答案】C 【解析】
试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为
22
4S R m S R n
π==圆正方形
，所以
4m
n
π=。

选C.
考点: 几何概型.
【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解．
6。

【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。

甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒。

重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A 。

乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B 。

乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C 。

乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】
考
点：概率统计分析。

【名师点睛】本题将小球与概率知识结合,创新味十足,是能力立意的好题。

如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率,此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律）,从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用。

7。

【2014高考陕西版理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（
）
1.
5
A 2.
5B 3
.
5C
4.
5D
【答案】C 【解析】
O
D
考点:古典概型及其概率计算公式.
【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属
于中档题．解题时要准确理解题意由“5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长”．利用排列组合有关知识,正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数．从而得到所求事件的概率
8。

【2015高考陕西，理11】设复数(1)
z x y i
=-+(,)
x y R
∈，若||1
z≤，则y x
≥的概率为( )
A ．31 42π+
B．
11
42π
-
C．
11
2π
-D．
11
2π
+
【答案】B
【解析】2222
(
1
)||(
1
)1
(
1
)1
z
x y
i z x yx y
=
-
+
⇒
=
-
+
≤
⇒
-
+
≤
如图可求得(1,1)
A,(1,0)
B，阴影面积等于2
111
111
4242
π
π⨯-⨯⨯=-
若||1
z≤，则y x≥的概率是2
1
11
42
142
π
ππ
-
=-
⨯，故选B．
【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．
9. 【2014新课标，理5】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0。

6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A。

0。

8 B. 0。

75 C. 0。

6 D. 0。

45
【答案】A
【解析】设A=“某一天的空气质量为优良"，B=“随后一天的空气质
量为优良”，则()0.6
(|)0.8
()0.75PA B PBA PA ⋂===,故选
A 。

【考点定位】条件概率。

【名师点睛】本题主要考查了条件概率公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于理解事件之间的关系，注意题目是求的一个条件概率。

10. 【2014课标Ⅰ,理5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A ．8
1 B ．8
3
C ．8
5
D ．87
【答案】D
【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4
216=种不同的结果,而周六、周日都有同学参加公益
活动有两类不同的情况:（1）一天一人，另一天三人，有12
42
8C A =种
不同的结果；(2）周六、日各2人，有24
6C =种不同的结果,故周六、
周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周
日都有同学参加公益活动的概率为147168
=
，选D ．
【考点定位】1、排列和组合;2、古典概型的概率计算公式．
【名师点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
11.【2015高考新课标1,理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
（A ）0.648 （B ）0。

432 （C)0.36 （D)0.312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22
3
3
0.60.40.6
C ⨯+=0.648,故选A 。

12。

【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ )
A ．134石
B ．169石
C ．338石
D ．1365石 【答案】B
【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石,选
B 。

【考点定位】用样本估计总体.
【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分"是我们统计中的用样本估计总体问题.
13. 【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1
p 为事
件“12
x y +≥
”的概率，2
p 为事件“1||2
x y -≤
"的概率，3
p 为事件“
12
x y ≤
"的概
率，则 ( ）
A ．123
p p p << B ．2
3
1
p p p << C ．312
p p p << D ．3
2
1
p p p <<
【答案】B
【解析】因为,[0,1]xy
∈，对事件“1
2
x y +≥
”,如图（1)阴影部分1
S ，
对事件“
1||2
x y -≤
”，如图（2)阴影部分2
S ，
对为事件“12
x y ≤
”，如图（3)阴影部分3
S ,
由图知,阴影部分的面积从下到大依次是1
3
2
S
S S <<，正方形的面积为111=⨯，
根据几何概型公式可得2
3
1
p p p <<。

（1) （2) （3) 【考点定位】几何概型。

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关,在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 14. 【2015湖南理2】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B 。

2718 C 。

3413 D.4772
附:若2
(,)X N μσ，则6.0)(=+≤<-σ
μσμX P ，9.0)22(=+≤<-σ
μσμX P
【答案】C.
【解析】
试题分析:根据正态分布的性质,34
.0)11(21
)10(≈<<-=<<x P x P ，故选
C 。

15.
【2015陕西理11】设复数(1)z
x y i =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）
A ．
3142π
+ B ．
1142π
- C ．
112π
-
D ．112π+
【答案】B
【解析】2222
(1)||
(1)1(1)1z x y i z x yx y =-+⇒=-+≤⇒-+≤
如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ，阴影面积等于2
1111114
242ππ⨯-⨯⨯=-
若||1z ≤，则y x ≥的概率是21
11
42142πππ
-
=-⨯，故选B ．
【考点定位】1、复数的模；2、几何概型．
16.【2017江苏,7】 记函数2
()
6f x x x =+-D .在区间[4,5]
-上随
机取一个数，则x D ∈的概率是 ▲ 。

【答案】
【解析】由2
60x x +-≥,即2
60x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率
计算公式得x D ∈的概率是
3(2)5
5(4)9--=
--。

【考点】几何概型概率
【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等
时，应考虑使用几何概型求解．
(2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
17。

【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上
分别标有1，2，3，4,5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】
56
【解析】点数小于10的基本事件共有30种,所以所求概率为305.366=
考点：古典概型概率
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题。

江苏对古典概型概率考查,注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
18。

【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 。

【答案】
【解析】
试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），(正反),（反正),（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值
为0,1,2，其中111
(0),(1),(2),
424P P P ξξξ======
在
1次试验中成功的概率为
113
(1)424P ξ≥=+=
， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为
12
313(1)448PX C ==⨯⨯=,239(2)()416P X ===，
393
128162E X =⨯+⨯=
考点:离散型随机变量的均值
19。

【2014江苏，理4】从1，2,3，6这四个数中一次随机地取2个数,则所取两个数的乘积为6的概率为 .
【答案】
【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2
个数共有246C =种取法,其中乘积
为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163
P =
=．
【考点定位】古典概型概率
【名师点晴】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有:(1）列举法; （2）列表法；（3)利用树状图列举．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接
求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式()
()1P A P A =-，即运用
逆向思维（正难则反)，特别是“至多",“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
20. 【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________。

【答案】
【解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种,所以其概率为
21。

【2015高考广东,理13】已知随机变量X 服从二项分布
()
,B n p ，若()30E X =,()20D X =,则p = .
【答案】．
【解析】依题可得()30E Xn p ==且()()120D X n p p =-=，解得
13
p =
，故应填
入．
【考点定位】二项分布的均值和方差应用．
【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题,解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和
方差公式()EX n p =，()()1D Xn p p =-并运用其解答实际问题．
22。

【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4。

8，5。

1,5.4，5。

5,则该组数据的方差是________________。

【答案】0。

1 【解析】
试题分析：这组数据的平均数为1(4.74.85.15.45.5)5.1
5++++=，
222222
1(4.75.1)(4.85.1)(5.15.1)(5.45.1)(5.55.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：
0.1，
考点：方差
【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题。

认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题,直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力。

23. 【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直
线y =kx 与圆2
2
(5)9x y 相交”发生的概率为 。

【答案】
【解析】
试题分析：直线y =kx 与圆2
2
(5)9
x y 相交，需要满足圆心到直线的
距离小于半径，即
2
|5k|d 3
1k =
<+，解得
33
k 44
-
<<，而[1,1]
k
，所以所求概
率P =3
3224
=。

考点：1.直线与圆的位置关系；2。

几何概型.
24。

【2014年。

浙江卷.理12】随机变量的取值为0，1，2，若
()1
05P ξ==
，()1E ξ=，则()D ξ=________。

答案:
解析:设1ξ=时的概率为p ，则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯--= ⎪⎝⎭，解得35p =，
故()()()()
222131
20111215555D ξ
=-⨯+-⨯+-⨯=
考点:方差。

【名师点睛】本题主要考查相互独立事件的概率公式的应用，解决问题的关键是根据所给条件求解对应事件的概率，然后求方差即可；求相互独立事件同时发生的概率的方法：（1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算
25。

【2014上海，理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示）.
【答案】1
15
【解析】任意选择3天共有3
10
120
C =种方法,其中3天是连续3天的选
法有8种，故所求概率为
8112015P =
=
．
【考点】古典概型．
【名师点睛】求解排列应用题的主要方法
后局部
定序问
题
除法处
理
对于定序问题,可先不考虑顺序限制，排列
后，再除以定序元素的全排列
间接法正难则反，等价转化的方法
26
表示小白玩游戏的得分。

若()ξE=4。

2，则小白得5分的概率至少为。

【答案】0.2
【解析】设＝1，2，3,4，5的概率分别为12345
,,,,
P P P P P，则由题意有12345
23454
.
2
P
P
P
P
P
++++=,123451
P P P P P
++++=
，对于1234
234
P P P P
+++,当4P越大时，其值越大，又41
P<,因此1234
234
P P P P
+++4
≤5
(1)
P
-，所以55
4
(1)54
.2
P P
-+≥,解得5
0.2
P≥．
27。

【2014福建，理14】如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______。

1
e
e
y=lnx
y=e x
O1x
y
【答案】
2
28。

【2015高考福建，理13】如图,点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐
标为()2,4 ,函数()2
f x x = ，若在矩形A B C D 内随机取一点，则此点取自
阴影部分的概率等于
．
【答案】5
12
【解析】由已知得阴影部分面积为22
1754433x d x -=-=⎰．所以此点取自阴
影部分的概率等于5
5
3412
=．
【考点定位】几何概型．
【名师点睛】本题考查几何概型,当实验结果由等可能的无限多个结果组成时,利用古典概型求概率显然是不可能的,可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值(两个变量)、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求,属于中档题．
29。

【2014辽宁理14】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别
在抛物线2
y x =-和2
y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 。

【答案】
【解析】
试题分析：有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形ABCD
中，则质点落在阴影区域的概率12 -1
2
212
3
2
x dx
P
-
==
⎰。

考点:1。

几何概型;2。

定积分。