山西省2018年中考数学模拟试卷(解析版)

山西省2018年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面是我省四个地市2017年12月份的日均最低温度：﹣10℃（太原），﹣14℃（大同），﹣5℃（运城），﹣8℃（吕梁）．其中日均最低温度最高的是（）A．吕梁B．运城C．太原D．大同
【分析】根据负数大小比较原则：绝对值大的反而小得出结论．
【解答】解：最低温度从小到大排列为：﹣14＜﹣10＜﹣8＜﹣5，
所以最高为：﹣5℃（运城），
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，属于基础题型，熟练掌握两个负数大小比较原则．
2．将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）
【分析】让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标．
【解答】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为1﹣3=﹣2；纵坐标为﹣1+2=1，∴点B的坐标是（﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．
3．下列运算正确的是（）
A．4a2﹣（2a）2=2a2B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2
C．（﹣a2）•a3=a6D．（﹣x）2÷x=﹣x
【分析】根据合并同类项法则、平方差公式、同底数幂的乘法、同底数幂的除法依次计算可得．
【解答】解：A、4a2﹣（2a）2=0，此选项错误；
B、（﹣a+b）（﹣a﹣b）=（﹣a）2﹣b2=a2﹣b2，此选项正确；
C、（﹣a2）•a3=﹣a5，此选项错误；
D、（﹣x）2÷x=x，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、平方差公式、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则．
4．将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则∠1+∠2等于（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【分析】过E作EF∥AB，依据AB∥EF∥CD，即可得出∠1=∠BEF，∠2=∠DEF，进而得到∠1+∠2=∠BED=90°．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠1=∠BEF，∠2=∠DEF，
∴∠1+∠2=∠BED=90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，主要利用了直尺的两边互相平行直角三角形的直角为90°，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（）
A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465【分析】这x位同学，每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，共握手x（x﹣1）次，由于两人握手是相互的，应只算一次，所以去掉重复的次数，共握手x（x﹣1）÷2次，据此可得方程．
【解答】解：设九年级（1）班有x名同学，
根据题意列出的方程是=465，
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清两人握手是相互的，应只算一次的情况，并据此列出方程．
6．2017年，山西省接待入境游客95.71万人次，实现海外旅游创汇3.5亿美元，同比增长分别为6.38%、10.32%；累计接待国内游客5.6亿人次，实现国内旅游收入5338.61亿元，同比增长分别为26.49%、26.27%．实现旅游总收入约5360亿元，同比增长26.21%．数据5360亿元用科学记数法可表示为（）A．0.536×1012元B．5.36×1011元C．53.6×1010元D．536×109元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：数据5360亿元用科学记数法可表示为5.36×1011元．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（）
A．AE=BF B．∠DAE=∠BFC
C．∠AEB+∠BFC=90°D．AE⊥BF
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断即可．
【解答】解：∵正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE与△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC，∠BAE+∠ABG=90°，
∴AE⊥BF，
故ABD正确；
∠AEB=∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断．
8．如图所示，线段AB切⊙O于点A，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C．若OC=BC=2，则图中阴影部分的面积为（）
A．2﹣B．4﹣C．2﹣D．4﹣
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得AB=OC=2cm，再利用扇
形面积公式和S
阴=S△OBC﹣S
扇形OCD
进行计算即可．
【解答】解：在Rt△BOC中，OA=OC=BC=2，∴∠B=30°，
∴AB=OC=2cm，
∴S
阴=S△OBA﹣S
扇形OCA
=﹣=（2﹣），
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．关键是根据扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系解答．
9．在一个不透明的口袋中有5个黑色球和若干个白色球（所有小球除颜色不同外，其余均相同）．在不允许将球倒出来的前提下，小亮为估计口袋中白色球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，把它放回口袋中；摇匀后，在随机摸出一个球，记下颜色…不断重复上述过程．小明共摸了200次，其中50次摸到黑色球根据上述数据，小明估计口袋中白色球大约有（）A．5个 B．10个C．15个D．20个
【分析】由条件共摸了200次，其中50次摸到黑球，则有150次摸到白球；所以摸到白球与摸到黑球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和黑球个数之比，进而可计算出白球数．
【解答】解：∵小亮共摸了200次，其中50次摸到黑球，则有150次摸到白球，∴白球与黑球的数量之比为3：1，
∵黑球有5个，
∴白球有3×5=15（个）．
故选：C．
【点评】本题考查的利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例．
10．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（）
A．1 B．C．D．
【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
而∠A=60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，
在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，
∴DH=，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2=∠1，DE=DF
∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF=DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式：x2﹣x+1==（x﹣1）2．
【分析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．【解答】解：原式=（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
12．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是祠．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“晋”与“祠”是相对面，
“汾”与“酒”是相对面，
“恒”与“山”是相对面．
故答案为：祠．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，第（1）个图案有2个正方形，第（2）个图案共有5个正方形，第（3）个团案共有8个正方形，…，依此规律，第n（n＞1）个图案共有（3n﹣1）个正方形（用含n 的代数式表示）
【分析】由题意知，正方形的个数为序数的3倍与1的差，据此可得．
【解答】解：∵第1个图形中正方形的个数2=3×1﹣1，
第2个图形中正方形的个数5=3×2﹣1，
第3个图形中正方形的个数8=3×3﹣1，
∴第n个图形中正方形的个数（3n﹣1），
故答案为：（3n﹣1）．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的3倍与1的差是解题的关键．
14．如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（3，2），直线l经过点A，与反比例函数y=的图象的另外一个交点为B，与x轴的正半轴交于点C，且AB=2AC，则点B的坐标为（1，6）．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，再利用△CBE∽△CAD，求出点B的纵坐标，即可解答．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图
∵A点的坐标为（3，2），
∴AD=2，
∵AB=2AC，
∴BC=3AC，
∵BE∥AD，
∴△CBE∽△CAD，
∴
∴
∴BE=6，
∴B点的纵坐标为6，
把y=6代入y=﹣得x=1，
∴B点坐标为（1，6）．
故答案为（1，6）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了三角形相似的判定与性质，解决本题的关键是做出辅助线．
15．如图所示，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦AC恰好落在直径AB上，则折痕AD的长为4cm．
【分析】如图，作辅助线，首先求出BC的长度，进而求出DE、BE的长度；运用勾股定理求出BD的长度，进而求出AD的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC、BD、OD；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，由勾股定理得：
BC2=AB2﹣AC2=100﹣36=64，
BC=8；
由题意得：∠CAD=∠BAD，
∴，
∴OD⊥BC，BE=CE==4；
∴OE==3，DE=5﹣3=2，
由勾股定理得：BD2=22+42=20；
∵AD2=102﹣20，
∴．
故答案为：4
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10.00分）（1）计算：（﹣3）2﹣tan30°+（﹣）﹣2；
（2）解不等式组：并将它的解集表示在如图所示的数轴上．
【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；
（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式=9﹣2×+4
=9﹣2+4
=11；
（2）
∵解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，
在数轴上表示为：．
【点评】本题考查了二次根式的性质、解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、特殊角的三角函数等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出不等式组的解集是解（2）的关键．
17．（6.00分）如图，在△ABC中，D为边AB上一点，且AD=2BD．
（1）尺规作图：作∠ADE=∠B，DE与AC边交于点E；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在按（1）中要求作图的基础上，若AC=10cm，求AE的长．
【分析】（1）依据作∠ADE=∠B，DE与AC边交于点E，即可得到图形；
（2）依据AD=2BD，可得，再根据DE∥BC，即可得到，即，即可得出AE=（cm）．
【解答】解：（1）如图所示：∠ADE即为所求；
（2）∵AD=2BD，
∴，
∵∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴，即，
∴AE=（cm）．
【点评】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
18．（7.00分）如图1，点O是矩形ABCD的中心（对角线的交点），AB=4cm，AD=6cm．点M是边AB上的一动点，过点O作ON⊥OM，交BC于点N，设AM=x，ON=y，今天我们将根据学习函数的经验，研究函数值y随自变量x的变化而变化的规律．
下面是某同学做的一部分研究结果，请你一起参与解答：
（1）自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）通过计算，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm00.51 1.52 2.53 3.54
y/cm 2.40 2.24 2.11 2.032 2.11 2.24 2.40
2.03
请你补全表格（说明：补全表格时相关数值保留两位小数，参考数据：≈3.04，≈6.09）
（3）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出该函数的大致图象．
（4）根据图象，请写出该函数的一条性质．
【分析】（1）根据线段AB的长度即可判断；
（2）利用特殊位置求出x=2时，y的值，根据对称性求出x=2.5时，y的值；（3）利用描点法即可解决问题；
（4）观察图象总价函数性质即可；
【解答】解：（1）由题意0≤x≤4，
故答案为0≤x≤4．
（2）当x=2时，点M是AB中点，点N是BC中点，ON=2，
∴x=2时，y=2，
根据对称性可知x=2.5与x=1.5时，函数值相等，
∴x=2.5时，y=2.03，
故答案为2，2.03；
（3）该函数的大致图象如图所示：
（4）①该函数是轴对称图形；②函数最小值为2；③0＜x＜2时，y随x的增大而减小；④2＜x＜4时，y随x的增大而增大；
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数的对称性解决问题，属于中考压轴题．
19．（8.00分）在某市实施城中村改造的过程中，“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000m2的拆迁工程．由于准备工作充分，实际拆迁效率比原计划提高了25%，提前2天完成了任务，请解答下列问题：
（1）求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少m2；
（2）为了尽量减少拆迁给市民带来的不便，在拆迁工作进行了2天后，“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作，将余下的拆迁任务在5天内完成，那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少m2？
【分析】（1）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁x m2．根据它们速率提高前后的时间差为2天列出方程并解答；
（2）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁y m2．根据工作时间必须在5天内完成列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁x m2．
由题意，得﹣=2，
解得x=1000，
经检验，x=1000是原方程的解并符合题意．
（1+25%）×1000=1250（m2）．
答：设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250 m2．
（2）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁y m2．
由题意，得5（1250+y）≥10000﹣2×1250
解得y≥250．
答：“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解．
20．（9.00分）李克强总理说：”一个国家养成全民阅读习惯非常重要…我希望全民阅读能够形成一种氛围，无处不在．“为了响应国家的号召，某”希望“学校的全体师生掀起了阅读的热潮．下面是该校三个年级的学生人数分布扇形统计图与学生在4月份阅读课外书籍人次的统计图表，其中七年级的学生人数为240人．请解答下列问题：
图书种类频数频率
科普书籍A B
文学1200C
漫画丛书D0.35
其他2000.05
（1）该校七年级学生人数所在扇形的圆心角为108°，该校的学生总人数为800人；
（2）请补全条形统计图；
（3）为了鼓励学生读书，学校决定在“五•四”青年节举行两场读书报告会．报告会的内容从“科普书籍”“文学”“漫画丛书”“其他”中任选两个．用画树状图或列表的方法求两场报告会的内容恰好是“科普书籍”与“漫画丛书”的概率．（“科普书籍”“文学”“漫画丛书”“其他”，可以分别用K，W，M，Q来表示）
【分析】（1）用360°乘以七年级所占百分比，用七年级人数除以其所占百分比即可得；
（2）由“其他”的频数及其频率求得书籍总数，再用总数乘以“漫画丛书”的频率求得其频数，继而总数量减去其它三类书籍总数求得科普书籍数量即可得；（3）画树状图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好恰好是“科普书籍”与“漫画丛书”的概率．
【解答】解：（1）该校七年级学生人数所在扇形的圆心角为360°×（1﹣30%﹣40%）=108°，该校学生总人数为240÷（1﹣30%﹣40%）=800（人），
故答案为：108、800；
（2）书籍总数为200÷0.05=4000，
则漫画丛书为4000×0.35=1400，科普书籍为4000﹣（1200+1400+200）=1200，补全条形图如下：
（3）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中符合条件的结果有2种，
所以两场报告会的内容恰好是“科普书籍”与“漫画丛书”的概率为=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（9.00分）如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB，AB与水面AC垂直．此时，小华的眼睛所在位置D到湖面的距离DC为4米．她测得树梢B点的仰角为30°，测得树梢B点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB（结果保留
根号）
【分析】设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8，由∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
设BE=x，则BA=x+4，B′E=x+8，
∵∠ADB′=45°，
∴DE=B′E=x+8，
∵∠BDE=30°，
∴tan30°=，解得x=4+4，
∴AB=（8+4）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
22．（12.00分）综合与实践﹣四边形旋转中的数学
“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．
（1）请直接写出CG的长是5．
（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．
任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．
【分析】（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，作FP⊥AD于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；
（3）成立．理由如下：连接AG、AC．只要证明△ADF∽△ACG，可得==即可解决问题；
（4）在图4中，通过计算即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．
在Rt△CGH中，GH=DF=4，CH=DH=AE=3，
∴CG==5．
故答案为5．
（2）如图2中，作FP⊥AD于P．
在矩形AEGF中，∵AE=3，EG=4，
∴AG=5，BG=AB=AG=1，
在Rt△CBG中，CG==，
由△APF∽△AEG，可得==，
∴==，
∴AP=，PF=，DP=AD﹣AP=8﹣=，在Rt△PDF中，DF==，
∴DF=CG．
（3）成立．理由如下：连接AG、AC．
由旋转可知：∠DAF=∠CAG，
由勾股定理可知：AC==10，AG=5，∵==，=，
∴=，
∴△ADF∽△ACG，
∴==，
∴DF=CG．
（4）如图4中，延长EG交CD于H，作CK⊥GH于K．
由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，
∴DF=GH=4，DH=FG=AE=3，CH=3，∠CHG=∠D=60°，
在Rt△CHK中，HK=，CK=，GK=GH﹣KH=，
在Rt△CGK中，CG==，
∴CG=DF．
在图5中，连接AG、AC．同法可证：△ACG∽△ADF，可得：==，可得CG=DF．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（14.00分）综合与探究
如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．D为坐标平面第四象限内一点，且使得△ABD与△ABC 全等．
（1）求抛物线的表达式．
（2）请直接写出点D的坐标，并判断四边形ACBD的形状．
（3）如图2，将△ABD沿y轴的正方形以每秒1个单位长度的速度平移，得到
△A′B′D′，A′B′与BC交于点E，A′D′与AB交于点F．连接EF，AB′，EF与AB′交于点G．设运动的时间为t（0≤t≤2）秒．
①当直线EF经过抛物线的顶点T时，请求出此时t的值；
②请直接写出点G经过的路径的长．
【分析】（1）将A点和B点坐标代入y=ax2+bx+2得a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，再利用△ABD与△ABC全等得到AC=BD，BC=AD，则可证明四边形ABCD为矩形；然后利用点的平移求出D点坐标；
（3）①利用二次函数的性质得到顶点T的坐标为（，）；易得直线BC的解析式为y=﹣x+2，直线AD的解析式为y=﹣x﹣，利用直线的平移得到直线A′D′的解析式为y=﹣x﹣+t，直线A′B′的解析式为y=t，则F（2t﹣1，0），E（4﹣2t，t），接着利用待定系数法求出直线EF的解析式为y=x+，然后把T点坐标代入得到关于t的方程，则快捷关于t的方程即可；
②先求出直线AB′的解析式为y=tx+t，再解方程组得G（，
t），利用G点的坐标特征可判断点G在直线x=，然后利用0≤t≤2得到点G经过的路径的长．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）两点坐标代入y=ax2+bx+2得，
解得．
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；
（2）D（3，﹣2）．四边形ACBD是矩形，理由如下：
当x=0时，得y=2，
∴OC=2，由A（﹣1，0），B（4，0）得OA=1，OB=4．
∴AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
∵△ABD与△ABC全等，
∴AC=BD，BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
而∠ACB=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
（3）①∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，
∴顶点T的坐标为（，）；
易得直线BC的解析式为y=﹣x+2，直线AD的解析式为y=﹣x﹣，
∵直线AD向上平移t个单位得到A′D′，直线AB向上平移t个单位得到A′B′，∴直线A′D′的解析式为y=﹣x﹣+t，直线A′B′的解析式为y=t，
当y=0时，﹣x﹣+t=0，解得x=2t﹣1，则F（2t﹣1，0），
当y=t时，﹣x+2=t，解得x=4﹣2t，则E（4﹣2t，t），
设直线EF的解析式为y=mx+n，
把E（4﹣2t，t），F（2t﹣1，0）代入得，解得，∴直线EF的解析式为y=x+，
把T（，）代入得•+=，
整理得16t2﹣120t+125=0，解得t1=，t2=（舍去），
∴此时t的值为；
②∵直线AB向上平移t个单位得到A′B′，
∴B′（4，t），
易得直线AB′的解析式为y=tx+t，
解方程组得，则G（，t），
∴点G的横坐标为定值，点G在直线x=上，
而0≤t≤2，
∴点G经过的路径的长为1．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的判定；会利用待定系数法求函数解析式，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质．。