最新-【数学】福建省长泰一中2018高二下学期期末考试(

福建省长泰一中2018-2018学年高二下学期期末考试（数学理）
考试时间：120分钟 总分：150分
一．
选择题：每小题5分，共60分
1、已知随机变量
()
~10,0.6B ξ，则E ξ是（ ）
A ．6
B ．4
C ．2.4
D ． 5
2、已知复数)2)(1(i i z +-=，则||z 等于（ ） A ．5 B.6 C ．10 D.2
33．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明
)214121(2114131211n n n n +++++=-++-+- 时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）
A ．1+=k n 时等式成立
B ．2+=k n 时等式成立
C ．22+=k n 时等式成立
D ．)2(2+=k n 时等式成立
4、若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，
则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲
线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
-
6.若
4
(12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．33 B ． 29
C ．23
D ．19
7.下列四个命题正确的是（ ）
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
③用相关指数2
R 来刻画回归效果，2
R 越小，说明模型的拟合效果越好；④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0
E e = A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③
8、5本不同的书，全部分给四名学生，每个学生至少1本，不同的分法总数为（ ）（A ）480 （B ）240 （C ）120 （D ）96
9.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种
10、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有重复数字的五位数,且奇数位数字是偶数,偶数位数字是奇数,这样的五位数共有 （ ） (A)36个 (B)72个 (C)118个 (D)144个
11. 定义在R 上的函数
)()(,1)4()(x f x f f x f 为满足=的导函数，已知函数)(x f y '=的图像
如右图所示，若两正数a,b 满足22
,1)2(++<+a b b a f 则
的取值范围是（ ）
A ．)3,(--∞
B ．)21,31(
C ．)
,3()21
,(+∞⋃-∞
D ．)3,21(
12.观察下列的规律: 1121231234
,,,,,,,,,1213214321…,回答第99个是A
A. 87
B. 78
C. 69
D. 9
7
二． 填空题：每小题4分，共16分
13．曲线
1
,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
14.
()4
x
y y x
-的展开式中3
3
x y 的系数为 。

15.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区
分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．16.观察下列等式：
1535522C C +=-，15973
99922C C C ++=+，
15913115
1313131322C C C C +++=-，
1591317157
171717171722C C C C C ++++=+，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于*n N ∈，1
5
9
4141
414141n n n n n C C C C +++++++++=
．
三．解答题：共74分
17、（本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程。

已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 1上的点P 对应的参数为
2t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
332,:2x t C y t =+⎧⎨
=-+⎩ （t 为参数）距离的最小值。

18.（本小题满分12分）选修4－5：不等式选讲设函数()|1|||f x x x a =-+-。

（1） 若1,a =-解不等式()3f x ≥；
（2）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）设函数
32
()33
f x x ax bx
=-+的图像与直线1210
x y
+-=相切于
点（1，－11）。

（Ⅰ）求
,a b的值；
（Ⅱ）讨论函数
()
f x的单调性。

20．（本小题满分12分）已知函数
.
9
3
)
(2
3a
x
x
x
x
f+
+
+
-
=
（1）求
)
(x
f的单调递减区间；
（2）若
)
(x
f在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

21.（本小题满分12分）
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感
染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1 2.
同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1
3.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数
X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）. 22（本小题满分14分）
已知二次函数
()
y g x
=的导函数的图像与直线2
y x
=平行，且()
y g x
=在1
x=-处取
得极小值
1(0)
m m
-≠．设
()
()
g x
f x
x
=
．
（1）若曲线
()
y f x
=上的点P到点(0,2)
Q 的距离的最小值为2，求m的值；
（2）
()
k k R
∈如何取值时，函数()
y f x kx
=-存在零点，并求出零点．
长泰一中18-18学年（下）高二年数学理科期末考试卷答案三．选择题：每小题5分，共60分
ACBAA BBBDC DA
四．填空题：每小题4分，共16分
13、
dx
x
⎰-
1
2)
1(
14、6 15、336 16、
()
4121
212n
n n
--
+-
三．解答题：共74分
18、解：（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1︳+︱x+1︳.
由f(x)≥3得
︱x－1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤－1时，不等式化为
1－x－1－x≥3 即－2x≥3
19.解：（Ⅰ）求导得
'2
()363
f x x ax b
=-+。

……………………………1分
由于
()
f x的图像与直线1210
x y
+-=相切于点(1,11)
-，所以'
(1)11,(1)12
f f
=-=-，……3分
即：1－3a+3b = -11 解得:
1,3
a b
==-．…………6分
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由
1,3
a b
==-得：'22
()3633(23)3(1)(3)
f x x ax b x x x x
=-+=--=+- (7)
分
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；………9分，又令f′（x）< 0，解得-1＜x＜3.故当x∈（-∞, -1）时，f(x)是增函数，当x∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数
当x∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数. ……………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）
9
6
3
)
(2+
+
-
=
'x
x
x
f
令
3
1
,0
)
(>
-
<
<
'x
x
x
f或
解得……………………4分
所以函数
)
(x
f的单调递减区间为（－∞，－1）和（3，+∞）………………5分
（2）因为
a
a
f+
=
+
-
+
=
-2
18
12
8
)2
(
a
a
f+
=
+
+
+
-
=22
18
12
8
)2(
所以
).
2
(
)2(-
>f
f…………………………7分
因为在（－1，3）上
)
(x
f'>0，所以)
(x
f在[－1，2]上单调递增，
又由于
)
(x
f在[－2，－1]上单调递减，
因此f（2）和f（－1）分别是
)
(x
f在区间[－2，2]上的最大值和最小值……10分
于是有22+a=20，解得a=－2。

故
2
9
3
)
(2
3-
+
+
-
=x
x
x
x
f
因此f（－1）=1+3－9－2=－7，
即函数
)
(x
f在区间[－2，2]上的最小值为－7。

……………………12分
21、本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。

体现数学的科学价值。

本小题满分12分。

解：随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 1
31
2
1
6
X的均值为
11111 123
3266 EX=⨯+⨯+⨯=
附：X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1 6：
①②③④⑤⑥
A—B—C —D
A—B—C
└D
A—B—C
└D
A—B—D
└C
A—C—D
└B
在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

22、解：（1）依题可设
1
)1
(
)
(2-
+
+
=m
x
a
x
g(0
≠
a)，则a
ax
x
a
x
g2
2
)1
(
2
)
('+
=
+
=；
又
()
g x
'
的图像与直线
2
y x
=平行22
a
∴=1
a=
m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(2
2， ()()2g x m
f x x x x =
=++， 设
()
,o o P x y ，则
2
002
020202)()2(||x m x x y x PQ +
+=-+=
m
m m m m x m x 2||2222222220
2
20
+=+≥++=
当且仅当2
02
2
2x m x =时，2
||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2
当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，
2)222(=+-m 解得12--=m
（2）由
()()120m
y f x kx k x x =-=-+
+=(0≠x )，得()2120k x x m -++=
()* 当1k =时，方程
()*有一解
2m x =-
，函数()y f x kx =-有一零点2m
x =-
；
当1k ≠时，方程
()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，
若0m >，
11k m >-
，
函数
()y f x kx
=-有两个零点
)
1(2)
1(442k k m x ---±-=
，即
1)
1(11---±=
k k m x ；
若0m <，
1
1k m <-
，
函数
()y f x kx
=-有两个零点
)
1(2)
1(442k k m x ---±-=
，即
1)
1(11---±=
k k m x ；
当1k ≠时，方程
()*有一解()4410m k ⇔∆=--=,
1
1k m =-
,
函数
()y f x kx
=-有一零点
m k x -=-=
11
综上，当1k =时, 函数()y f x kx
=-有一零点
2m
x =-
；
当
11k m >-
(0m >)，或1
1k m <-
（0m <）时，
函数
()y f x kx
=-有两个零点
1)
1(11---±=
k k m x ；
当11k m =-
时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=11
.。