沪科版-数学-九年级上册- 22.3 相似三角形的性质第1课时

相似三角形的性质
第1课时相似三角形的性质
1．定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2．定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的边AC上的高为8，则△DEF的边DF上的高为________．
答案：4
5．已知△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为7∶9，若△ABC的周长为56 cm，那么△A′B′C′的周长为__________．
答案：72 cm
6．如图，△ABC中，点D、E、F分别是边长AB、BC、AC的中点，则△DEF与△ABC 的面积之比为()．
A．1∶2B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
答案：D
相似三角形的性质
【例题】如图，在梯形AB CD中，AD∥B C，对角线AC与BD相交于点O，若S△AOD∶S△AOB ＝1∶2，试求S△AOD与S△COB的比值．
分析：如右下图，△AOD与△AOB是分别以OD、OB为底，以AE为高的两个同高不同底的三角形，根据这两个三角形面积的比，可确定OD与OB的比值，进一步根据△AOD∽△COB，求出S△AOD与S△COB的比值．
解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
则S△AOD=1
×OD×AE，
2
S △AOB =12
×OB ×AE. ∵S △AOD ∶S △AOB =1∶2，
∴12OD AE ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭∶12OB AE ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭
=OD ∶OB=1∶2. ∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB .
∴S △AOD ∶S △COB ＝⎝⎛⎭⎫OD OB 2＝⎝⎛⎭⎫122＝14.
在进行相似三角形有关面积的计算时，经常用到相似三角形面积的比等于相似比的平方
这一性质．
针对性训练
见当堂检测·基础达标栏目第6题
1．已知△ABC ∽△DEF ，且AB ∶DE ＝1∶2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为
( )．
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．2∶1
D ．4∶1
答案：B
2. 如图，△ABC 中，BC ＝2，DE 是它的中位线，下面三个结论：(1)DE ＝1；
(2)△ADE ∽△ABC ；(3)△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4.其中正确的有( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：由DE 是中位线，所以D E ∥BC ，DE ＝12BC ＝1，故(1)正确；又由DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，相似比为1∶2，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，所以(3)也正确．
答案：D
3．若△ABC ∽△DEF ，它们的面积比为4∶1，则△ABC 与△DEF 的相似比为( )．
A ．2∶1
B ．1∶2
C ．4∶1
D ．1∶4
答案：A
4．已知两个相似三角形的面积比是4∶25，其中小三角形的周长为18 cm ，则大三角形的周长为( )．
A ．45 cm
B ．48 cm
C ．54 cm
D ．72 cm
解析：∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴相似比为2∶5.
又∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴周长之比为2∶5.设大三角形周长为x cm ，
∴18∶x ＝2∶5.∴x ＝45 cm.
答案：A
5．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15
cm，则较大三角形周长为__________cm.
答案：25
6. 如图，在ABCD中，点E在边BC上，BE∶EC=1∶2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为___________.
解析：∵BE∥AD，∴△BFE∽△DFA.
又∵BE∶EC=1∶2，
∴BE∶BC=1∶3，即BE∶AD=1∶3.
又∵
21
.
9 BFE
DFA
S BE
S AD
∆
∆
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
答案：1∶9。