第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making

第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making Problem)
即: 有限方案多目标决策问题
主要参考文献: 68， 112， 152
§10.1概述
MA MC
MO
一、决策矩阵(属性矩阵、属性值表)
方案集 X = {x x x m 12,,, }
方案x i 的属性向量 Y i = {y i 1,…,y in } 当目标函数为f j 时，y ij =f j (x i ) 各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵):
y 1
… y j
… y n
x 1
y 11
… y j 1
… y n 1
… …
… … … …
x i y i 1
… y ij … y in
…
…
… …
… …
x m
y m 1 …
y mj …
y mn
例: 学校扩建
例：
表10.1 研究生院试评估的部分原始数据
二、数据预处理
数据的预处理(又称规范化)主要有如下三种作用。

首先，属性值有多种类型。

有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。

另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。

例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证教师满工作量，也能使导师有充分的科研时间和对研究生的指导时间，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。

这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来判断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。

其次是非量纲化。

多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。

即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也就不同。

在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的影响，这就是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。

第三是归一化。

原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差别很大，如总经费即使以万元为单位，其数量级往往在千(103)、万(104)间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位(100)或小数(101 )之间，为了直观，更为了便于采用各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。

此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他办法来解决或部分解决目标间的不完全补偿性。

常用的数据预处理方法有下列几种。

(1)线性变换
max(10-1)
效益型属性：z ij= y ij/y
j
变换后的属性值最差不为0，最佳为1
max(10-2)
成本型属性z ij= 1 - y ij/y
j
变换后的属性值最佳不为1，最差为0
或z ij’ = y j min/ y ij(10-2’)
变换后的属性值最差不为0，最佳为1, 且是非线性变换
表10.2 表10.1经线性变换后的属性值
(2) 标准0-1变换 效益型：z ij =y y y y ij j j j --min max min (10.3)
成本型: z ij =
y y y y j ij j j
max max min --
(10.4)
特点：每一属性，最佳值为1，最差值为0，而且 变换后的差值是线性的。

(3) 最优值为给定区间时的变换
设给定的最优属性区间为 [y j 0, y j *
]
1- (y j 0 - y ij )/(0j y -
y j ’) 若y ij ＜y j 0
z ij = 1 若y j 0≤y ij ≤y j *
(10.5) 1 - (y ij -y j *)/ (y j ”-y j *) 若y ij ＞y j *
其中,
y j ’为无法容忍下限, y j ”为无法容忍上限。

表10.4 表10.1之属性2的数据处理
(4)向量规范化 z y y
ij ij
ij
i m
==∑21
(10.6)
特点：规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1；无论 成本型或效益型，从属性值的大小上无法分辨。

常用于计算 各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的
场合。

表中最右一列是属性2经式(10.5)变换后的值再向量规范化的结果.
表10.5 表10.1经向量规范化后的属性值
(5) 原始数据的统计处理
z ij =
y y
y y
ij j
j j
-
-
_
max
_
(1.00 - M) + M (10.7)
其中, y j_= 1
1
m
y
ij
i
m
=
∑是各方案属性j的均值, m为方案数,
M的取值可在0.5-0.75之间.
式(10.7)可以有多种变形, 例如:
z ij '= 01075
.()/.
_
y y
ij j j
-+
σ(10.7’)
其中σj为属性j的均方差,当高端均方差大于2.5σj时
变换后的值均为1.00.这种变换的结果与专家打分的结果比较吻合.
表10.6
表10.1之属性1用不同方法处理结果比较三、方案筛选
1.优选法(Dominance)
淘汰劣解
2. 满意值法(逻辑乘即与门Conjunctive)
规定y j0j=1,2,…,n (切除值)
当y ij≥y j0j=1且j=2且…j=n均满足时，方案x i被接受
主要缺点：目标间不能补偿，例研究生录取时教委规定
的单科分数线.
3.逻辑和法(Disjunctive或门)
规定y j*j=1,2,…,n 若y ij≥y j*j=1或2或…n时方案x i被接受。

往往作为上法的补充.
这些方法用于初始方案过的预选,不能用于方案排序ordering —次序，优先序
也不能用于方案分等Ranking —量化优先程度.
§10.2 加权和法
一、引言
多目标决策的特点: 目标间的矛盾性, 各属性值不可公度.
这二难点不可公度虽可通过属性矩阵的规范化得到部分解决, 但前述规范化过程不能反映目标的重要性
权：目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的手段.
权的三重含义: ①决策人对目标的重视程度;
②各目标属性值的差异程度;
③各目标属性值的可靠程度;
权应综合反映三种因素的作用.
通过权，将多目标决策问题化为单目标求解.
二、字典序法与一般加权和法
1. 字典序法
》w2…时的加权和法
w
1
即某个目标特别重要, 实质上是单目标决策, 最重要
目标的属性值相同时，再比较第二重要的属性, 如此继续.
2. 一般加权和法
加权和法的求解步骤很简单：
①属性表规范化，得z ij i=1, …, m; j=1, …, n.
②确定各指标的权系数w j j=1, …, n.
③根据指标C w z
i j ij
j n
==∑1
的大小排出方案i (i=1,…, m)
的优劣
加权和法，包括评分打点，由于其简单、明了(直观)，是人们最经常使用的多目标评价方法。

采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。

正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。

加权和法常常被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承认如下假设：
①指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；
②每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的；
③属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。

事实上，这些假设往往都不成立。

首先，指标体系通常是网状的，即至少有一个下级指标同时与二个或二个以上的上级指标相关联，也就是说某个属性可同时反映两个上级目标达到的程度。

其次，属性的边际价值的线性常常是局部的，甚至有最优值为给定区间或点的情况存在；属性间的价值独立性条件也极难满足，至少是极难验证其满足。

至于属性间的可补偿性通常只是部分的、有条件的。

因此，使用加权和法要十分小心。

不过，对网状指标体系，可以用层次分析法中的权重设定和网状指标的权重递推法设定最低层权重(见下节)。

当属性的边际价值函数为非线性时可以用适当的数学方法进行数据预处理；属性间的不完全补偿性也可通过适当处理，例如用逻辑乘法预先删除具有不可补偿属性的方案等。

只要认识到加权和法本身存在的种种局限性并采取相应的补救措施，则加权和法仍不失为一种简明而有效的多目标评价方法。

三、确定权的常用方法 1. 最小平方误差法 见教材第174页. 与主观概率中的方法类似. 2. 本征向量法
w 1/w 1 w 1/w 2 … w 1/w n w 1 w 2/w 1 w 2/w 2 … w 2/w n w 2 A w = … … … … … … … …
w n /w 1 w n /w 2 … w n /w n w n = n w
w
1
/w1w1/w2…w1/w n
w
2
/w1w2/w2…w2/w n
A = …………
…………
w
n
/w1w n/w2…w n/w n
即(A - n I) w = 0
如A的估计不够准确, 则A中元素的小的摄动意味本征值的摄动,从而
A w = λmax w
由此可求得w .
四、层次分析法AHP
1. 由决策人构造矩阵A;
2. 用本征向量法求λmax w
3. 矩阵A的一致性检验:
i. 一致性指标(Consistence Index)
C I = λ
max
-
-
n n1
ii. 同阶矩阵的随机性指标(Random Index)
iii,一致性比率(Consistence Rate)
CR=CI/RI
CR＞0.1(即λmax大于同阶矩阵相应的λ
max
0)时不能通过一致性检验,应该重新估计矩阵A. CR≤0.1 通过一致性检验, 求得的w有效.
4. 方案排序
(1).各方案在各目标下属性值已知时, 可以根据指标
C w z i j ij j n
==∑1
的大小排出方案i (i=1,…, m)的优劣.
(2) . 各方案在各目标下属性值难以量化时, 可以通过在 各目标下优劣的两两比较求得每个目标下各方案的 权, 再计算各方案的总权重, 根据总权重的大小排出 方案的优劣(参见教材之206页例9.3).
五、最低层目标权重的设定 1. 网状结构
(见教材§9.2.3, 第203-204页) 有了最底层目标的权重1
+k W
设: 最底层目标的规范化了的属性值为ij z , 则∑=+=
n
j ij
k j i z w
C 1
1
可用作评价方案优劣的依据,
i C 越大方案i 越优.
2.树状结构:
当最低层目标过多,不便直接设定时,可以分组自上而下地逐步设定。

§10.3 TOPSIS 法
步骤一. 用向量规法求得规范决策矩阵Z
z ij = ∑=m
i ij
ij y
y 1
/
步骤二. 构成加权规范阵X x ij = j w · ij z 步骤三. 确定理想和负理想解 ij i
x max 效益型属性
理想解
x j * =
ij i
x min 成本型属性
min i
ij x 效益型属性
负理想解x j 0 =
ij i
x max 成本型属性
步骤四. 计算各方案到理想解与负理想解的距离
到理想解的距离 d x
x i ij
j j n
*
*()=
-=∑2
1
到负理想解的距离
d x
x i
ij
j j n
02
1
=
-=∑()
步骤五. 计算各方案与理想解的接近程度
C i *
= d d d i i i 00()*+
步骤六. 按C i *
由大到小排列方案的优劣次序
§10.4基于估计相对位置的方案排队法
优点:需要的信息少,不必事先给出决策矩阵
只需给出各目标下方案间的优先序(0-1矩阵或指向图) 第一步:确定各方案两两间的总体优先关系 1.设定各目标的权 w j j=1,2,…n 且令
w
j
∑=1
2.对每一目标j ，进行方案的成对比较, 给出优先关系矩阵或指向图 x i 的第j 个属性值优于x k 的第j 个属性值 记作 (x i x k )j
x k 的第j 个属性值优于x i 的第j 个属性值 记作 (x i x k )j x i 与x k 的第j 个属性值无差异或不可比 记作 (x i ～x k )j
3. 把x i x k 的各目标的权相加，记作 w(x i x k ) 把x i ～x k 的各目标的权相加，记作 w(x i ～x k ) 把x i x k 的各目标的权相加，记作 w(x i x k )
4. 计算方案的优劣指示值
A x x i k σ(,)= w x x w x x w x x w x x i k i k i k i k ()()
()()
+≈+≈σσ
σ值的大小反映x i 与x k 无差异的目标的重要性 5. 选定阀值A ≥1，判定方案总体优劣
＞A 则x i x k
)(k i x x A σ ＜1/A x i x k
其它 x i ～x k
第二步 计算排队指标值
比x i 优的方案个数记为q i
比x i 差的方案个数记为
p i 的排队指标值：v i = p i -q i
第三步 按v i 的大小排定方案的优劣次序
缺点：因无决策矩阵，不能反映优先程度
例：
y 1 y 2 x 1 100 1 x 2 1 1.01
设 w 1=0.4 w 2=0.6 A=1.2 σ=0
A x x σ()21 =1.5＞A 所以x 2 x 1, 这与加权和法的结果大相径庭
∴凡是属性值均能定量来表示的，不宜用此法
§10.5 ELECTRE 法国人：B. Roy 提出的
一、级别高于关系(Outranking Relation)
1.定义
给定决策人的偏好次序和属性矩阵{y ij }当人们有理由相信x’优于x”，称x’的级别高于x”, 记作x’Sx”
Notes:
i, 决策人愿望承担x’x”所产生的风险;
ii,理由：同基于相对位置的方案排队法
2.定义：(P193定义10.2)
给定方案集X , x’, x”∈X ,当且仅当X 中存在1u ,u 2,…,u j ; v 1,v 2,…, v k ; j ≥1, k ≥1, 使x’Sx” (或者x’S 1u ,1u S u 2,…, u j S x”) 且x”Sx’(或者x”S v 1,v 1S v 2,…, v k Sx’) 则称x”与x’级别无差异，记作x’S ≈x”。

二、级别高于关系的性质：
1. 弱传递性：
x’S x 0且y •(x 0)≥y •
(x”) ⇒ x’Sx”
或 y • ( x’)≥y •
(x 0) 且x 0Sx” ⇒ x’Sx”
2. 自反性 XSX X S ≈
X
3. S ≈是对称的
4. 允许不可比性
三. 级别高于关系的构造
——以决策矩阵为基础(不作规范化)
第一步：设定各属性的权w
第二步：进行和谐性检验(Concordance Test)
1. 构造指示集(属性序号分类)
不失一般性, 假设各属性值愈大愈优.
J +(x i ,x k ) = {j | 1≤j ≤n, y j (x i )>y j (x k )}
J =(x i ,x k ) = {j | 1≤j ≤n, y j (x i )=y j (x k )}
J -(x i ,x k ) = {j | 1≤j ≤n, y j (x i )＜y j (x k )}
2. 计算和谐性指数
I
ik
= (∑
+
∈J
j
j
w+w
j
j J
∈=
∑)/w j
j
n
=
∑
1
I ik = w
j
j J
∈+
∑/w j
j J
∈-
∑
3.选定0.5＜α≤1，
若
I
ik
≥1, I ik≥α，则通过和谐性检验
α愈大，级别高于的关系要求越高
第三步进行非不和谐性检验(non-discordance test) 对各属性间的补偿加以限制
规定d
j
j=1,…,n
若对任一j y
j (x
k
) -y
j
(x
i
)≥d
j
则不承认x
i
S x
k
第四步确定级别高于关系
若
I
ik
≥1, I ik≥α且对所有j y j(x k) -y j(x i)≤d j
则x
i S x
k
四、级别高于关系的使用
1. 通过方案成对比较确定级别高于关系后，找出最小优势子集。

定义i, X
1⊂X若对每个x’∈X
1
存在x*∈X1使x*S x’ 则称X1为最小优势子集。

ii, 各方案间不存在级别高于关系的最小优势子集称为核
2. 若X
1足够小，决策人直接进行价值判断，择一实施;若X
1
中包含较多方案，调整α重
复上述步骤.
五、ELECTRE-Ⅱ
1.定义高、中、低三阀值
0.5＜α-＜α0＜α*＜1和d j-＜d j0＜d j*
2. 定义三个不和谐集
D j h
= {(y ij ,y kj ) |
y kj - y ij ≥d j * i, k=1,…,m i ≠k }
D j m = {(y ij ,y kj )| d j *≥y kj - y ij ≥d j 0 i, k=1,…,m i ≠k } l
j D = {(y ij ,y kj ) | y kj - y ij ＜d j - i, k=1,…,m i ≠k }
2. 定义强级别高于S F 和弱级别高于S f
I ik ≥1且
x i S F x k ⇔ i. I ik ≥α* 且y kj - y ij ＜d j *
对所有j 或者ii. I ik ≥α0 且y kj - y ij ＜d j 0
对所有j 即i ，和谐性高，不和谐性中等，或者ii ，和谐性中不和谐性低
I ik ≥1且
x i S f x k ⇔ i. I ik ≥α0 且y kj - y ij ＜d j 0
对所有j 或者ii. I ik ≥α- 且y kj - y ij ＜d j -
对所有j 即和谐性与不和谐性均为中等或均低.
4. 前向排序(详见p198)
根据强级别高于关系S F 和弱级别高于关系S f 分别构造强指向图和弱指向图. 从每个指
向图中找出非劣方案，然后从图中抹去，逐步进行直到所有方案均被抹掉为止，根据各方案被抹去的次序v’(x i )判断方案的优劣。

5.反向排序
将强、弱指向图中箭头反向，按前向排序法得反向排序的次序v”(x i )
6.计算x i 的平均序v
v =(v’+v”)/2 v 值小者为优
六、讨论
优点：步骤虽多，并不复杂(可以程序化)
可编程计算(由决策人定权和d j)
缺点：对决策矩阵所提供的信息，利用不够充分
(但是比基于相对位置的方案排队法要强: 有非不和谐性检验)。