多元复合函数的求导法则

例2 设u = f (x, y, z) = e ， z = x2 sin y， 而 ∂u ∂u 求 和 ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ∂z ∂f ∂z 解：∂u ∂f + = ⋅0 + = ⋅1 + ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z 2 = 2xe ⋅ 2xsin y + 2ze = 2x(1+ 2x sin y)e
∂z du ∂u dt
+
+
(3) 对 自 变 量 x 的 偏 导 数
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x
=
∂z ⋅1 ∂x ∂z ∂x
+Βιβλιοθήκη Baidu
∂z ⋅0 ∂y
∂z ∂u ∂u ∂x
+
对中间变量 x的偏导数 相同, 但所表示的意思不同! 必须加以区别!
∂z ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f = + = ⋅ (−2y) + ⋅ x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂v ∂f ∂f = −2y + x ∂u ∂v 注 其 的∂f , ∂f 不 再 下 了 因 f 中 能 往 算 ， 为 ∂u ∂v 没 具 给 . 有 体 出
例6 设 w = f (x + y + z, xyz)，f 具有二阶连续偏导数, 求 ∂w及 ∂ w .
∂z ∂v ∂v ∂x ∂z ⋅0 ∂v
∂u + ∂x ∂u ∂x ∂u + ∂y
∂z dv ∂v dy
(2)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
dz ∂z du = dt ∂u dt
= +
v =ψ (t)
+
∂z dv ∂v dt ∂z dv ∂v dt
∂z ⋅1 ∂t ∂z ∂t
dz ∂z du ∂z dv = + dt ∂u dt ∂v dt
注 如果函数 u = ϕ(t), v =ψ (t), w = ω(t) 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w) 具有连续偏导数， 则复合函数 z = f [ϕ(t),ψ (t),ω(t)] 在点 t 的导数存在， 且有
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
= 2( y + x sin y cos y)e
例3 设 = uv + sin t， u = et， = cos t， 而 z v
dz 求 导 全 数 . dt
解： dz
∂z du ∂z dv ∂z = + ⋅1 + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
=
t + u (−sin t) + cost ve
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
∵u = ϕ(t), v =ψ(t)在 t可 点 导
∆z lim ∂z ∆u ∂z ∆v ∆u ∆v lim = [ + + ε1 + ε2 ] ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∂u ∆t ∂v ∆t ∆t ∆t
∆v dv ∆u du lim = ， lim ∆t = dt ∆t →0 dt ∆t →0 ∆t
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
= eu (sin v + x cos v) = ex+ y[sin( xy) + x cos(xy)]
这是一个新问题， 要求出这样一个函数的偏导数， 还需要新的公式。 这就是下面要研究的多元函数 的求导法则（或链锁法则）。
按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形 来讨论： 1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理1 设函数 u = ϕ(t) 及 v =ψ (t) 都在点t可导，函 数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导数，则复合函 数 z = f [ϕ(t),ψ (t)]在点t可导 ，且有
∂f ⋅1 ∂x
+
∂f ⋅0 ∂y
∂f = ∂u ∂z ∂f = ∂y ∂u
=
∂u + ∂x ∂u + ∂y
+
∂f ∂u ∂u ∂y
∂f ∂x ∂f ∂f ⋅ 0 + ∂y ⋅1 ∂x ∂f ∂y
注意：
∂z ∂f ∂z 这里 与 是不同的， 是把复合函数 ∂x ∂x ∂x z = f [ϕ(x, y), x, y] 中的y看作常数而对x的导数,
第四节
多元复合函数的求导法则
一、 链锁法则 二、 全微分的形式不变性
一、链锁法则 引入： z = 复合函数
f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (x, y) z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y)]
问： 怎样求它的偏导数？ 若上面三个函数都是具体函数，那么， 它们的 复合函数也是具体函数， 当然， 我们会求它的 偏导数。 但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数， 那么，它们的复合函数也是抽象函数， 它的偏导数 又怎么求？
∴ lim ∆z = lim [ ∂z ∆u + ∂z ∆v +ε1 ∆u +ε2 ∆v]
∆t →0 ∆t
∆t →0
∂u ∆t
∂v ∆t
∆t
∆t
=
∂z du ∂z dv du dv + + 0⋅ + 0 ⋅ ∂u dt ∂v dt dt dt
∂z du ∂z dv = + ∂u dt ∂v dt
∴按定义得: z = f [ϕ(t),ψ(t)]在点t可导,且其导数
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = + + （） 2 dt ∂u dt ∂v dt ∂w dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理2 如果函数 u = ϕ(x, y)及 v = ψ (x, y) 在点(x,y)具 有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v) 具 有连续偏导数，则复合函数 z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y)] 在 点(x,y)的两个偏导数存在，且有
t t
= cost ⋅ e + e (−sin t) + cost
= et cos t − et sin t + cos t
dz 例4 设z = x − y ，而x = sin t，y = cos t，求 dt
2 2
解：
dz ∂z dx ∂z dy = + ∂y dt dt ∂x dt
= 2x ⋅ cos t + (−2y) ⋅ (−sin t)
2
∂x
∂x∂z
解
设u = x + y + z, v = xyz, 则w= f (u, v)
∂f (u, v) ′ f1 = , ∂u
∂2 f (u, v) '' ' ∂f (u, v) , f2 = , f12 = ∂u∂v ∂v
以下记号: 为了表达简便起见引入
这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数， 下标2表示对第二个中间变量v求偏导数. 同理有
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： (x,y)
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + （） 5 ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w 6 （） = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
求下列函数的复合函数的导数或偏导数 (1) (2) (3)
对y的偏导数，函数 z=f (u,v) 在对应点 (u , v) 具有 连续偏导数，得复合函数
z = f [ϕ(x , y),ψ (x , y)]
现在，将 y 取定为常数， 则由定理1得
z = f [ϕ(x , y),ψ (x , y)] 对 x 的偏导数存在，且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
'' '' '' f11 , f21 , f22
因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成， 所以根据复合函数求导法则，有
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v ′ ′ ′ ′ = + = f1 ⋅1+ f2 ⋅ yz = f1 + yzf2 ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂2w ∂ ∂w ∂ ′ ∂f1 ′ = [ ] = [ f1 + yzf2] = ′ ′ ′ + yz ∂f2 + yf2 ∂x∂z ∂z ∂x ∂z ∂z ∂z ′ ∵ f1′，f2 仍是 x, y, z的复合函数
为了避免混淆,
一般地,
∂f ∂f ∂f ∂f , , , 将对中间变量的偏导数记为 ∂x ∂y ∂u ∂v
将对自变量的偏导数记为
∂z ∂z ∂z ∂z , , , ∂x ∂y ∂s ∂t
例如上面的(3) 可写为:
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
+
∂z ∂f ∂u = ∂x ∂u ∂x
按定义得:
∴ u = ϕ(t), v =ψ(t)在 t连 , 即 点 续
∆t →0时 有 u →0, ∆v →0, 即 (∆u, ∆v) →(0,0) ， ∆
∴ ∆lim0ε1 = t→
∆t →0
lim lim
lim ε2 =
(∆u, ∆v) →(0,0)
ε1 = 0
(∆u, ∆v) →(0,0)
ε2 = 0
dz ∂z du ∂z dv = + dt ∂u dt ∂v dt
(1)
证： t 一个增量 ≠ 0 这时 给 ∆t ， 获得增量
u = ϕ(t), v =ψ (t)
的对应增量为 ∆u , ∆v, 由此，函数z=f(u,v)相应地
∴ 由第三节定理2 的证明过程，我们可得到
∂z ∂z ∆z = ∆u + ∆v + ε1∆u + ε2∆v, ∂u ∂v ( , 其中， 当 ∆u, ∆v) →(0,0)时 ε1 →0
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + （ 3 ） ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 4 = + （） ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ ( x , y) 已知 u = ϕ(x, y), v = ψ (x, y) 在点(x,y)具有对x及
∂f 是把 f(u,x,y) 中的 u 及y看作常数而对x的导数. ∂x
∂z ∂f ∂y与 ∂y也有类似的区别.
∂z ∂z 例1 设z = e sin v，u = x + y，v = xy，求： ， . ∂x ∂y 解： 由复合函数求导法则得
u
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x = eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ y
= 2x cos t + 2y sin t
= 2sin t cost + 2cost sin t
= 2sin 2t
∂z ∂z 例 设z = f (x − y , xy)，求 ， . 5 ∂x ∂y 解 令u = x2 − y2, v = xy 则 z = f (u, v)
2 2
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂f ∂f ∂f = + = ⋅ 2x + ⋅ y = 2x + y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v
此即（3）式. 同理，将 x 取定为常数，则可得（4）式.
为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函 数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间 变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个 数，公式(3)、(4)的示意图如下：
u z v
x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∵函 z = f (u, v)在 (u, v)具 连 的 导 数 点 有 续 偏 数
∆z
当 ∆u, ∆v) →(0,0)时 ε2 →0 ( ,
将上式两边同时除以 ∆t ，得 ∆u ∆v ∆z ∂z ∆u ∂z ∆v + + ε1 + ε2 = ∆t ∆t ∆t ∂u ∆t ∂v ∆t
令 ∆t → 0, 取极限，得