2015年高考数学总复习精品课件：第12章 第3讲 抛物线
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定直线为抛物线的_____准__线_.
第三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0)
标准方程 y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
图形
焦点
准线 范围 对称轴 顶点 离心率
Fp2，0 x＝－2p
x≥0，y∈R x轴
F－p2，0 x＝p2
F0，p2 y＝－p2
简单性质.
的方程.
2.理解数形结合的思想. (2)利用抛物线的定义将抛物线上的点到
准线的距离和到焦点的距离进行转化.
(3)综合应用抛物线和直线的有关知识，
通过直线与抛物线的位置关系解答相应
问题.
第二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离__相__等____的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_______焦_，点
第二十页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
④如图1231(4)，同③有AP1⊥FA1. 综上所述，①②③④都正确.故选 D.
(1)
答案：D
(2)
(3)
(4)
图 12-3-1
第二十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】要充分利用抛物线的定义，即点 P 到该抛 物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，能得到多个等腰三 角形.利用平行线的性质，得到多对相等的角，要充分利用平面 几何的性质解题.
第十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 2 抛物线的几何性质
例2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到 点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
()
A.
17 2
B.3定义知，点P 到该抛物线准线的距离等
于点 P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该
思想与方法
⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题
例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B， P在准线l的射影分别是 A1，B1，P1.在以下结论中： ①FA1⊥FB1；② AP1⊥BP1；③BP1⊥FB1；④AP1⊥FA1.其中正确的个数为( )
A.1 个
C.3 个
B.2 个 D.4 个
第十七页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】
3.(2012 年北京)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2
＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点.其中点 A 在 x
轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为____. 3
解析：由 y2＝4x 可求得焦点坐标 F(1,0)，∵直线 l 的倾斜
A.y2＝4x B.y2＝－4x C.y2＝－4 2x D.y2＝－8 解析：∵双曲线的方程为x32－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1.得 c ＝ a2＋b2＝2.∴双曲线的左焦点为 F(－2,0)，也是抛物线的焦 点.设抛物线方程为 y2＝－2px，(p>0)，则p2＝2，得 2p＝8.∴抛 物线方程为 y2＝－8x.故选 D.
第十六页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
当 l1⊥l2 时，x21·x22＝－1，即 x1x2＝－4. 由xy2＝＝k4xy＋，1， 得 x2－4kx－4k＝0. Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得 k<－1 或 k>0. ① ∴x1x2＝－4k＝－4，即 k＝1，此时 k＝1 满足①， ∴直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.
抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点
的距离之和.显然，当P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得最
小值，最小值等于
0－122＋2－02＝ 217.
答案：A
第十二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直 (三点共线)时，其和最小.当直接求解，怎么做都不可能三点共 线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等 于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.
第十九页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
解 析 ： ① 如 图 1231(1) ， AA1 ＝ AF ， ∠ AA1F ＝ ∠ AFA1 ， 又 AA1∥F1F，∠AA1F＝∠A1FF1，则∠AFA1＝∠A1FF1.
同理∠BFB1＝∠B1FF1，则∠A1FB1＝90°，故FA1⊥FB1. ②如图 12-3-1(2)，PP1＝AA1＋2 BB1＝AF＋2 BF＝A2B， 即△AP1B为直角三角形，故AP1⊥BP1. ③如图1231(3)，BB1＝BF，即△BB1F为等腰三角形，PP1＝PB， ∠ PP1B ＝ ∠ PBP1. 又 BB1∥P1P ， ∠ PP1B ＝ ∠ B1BP1 ， 则 ∠ PBP1 ＝ ∠B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1⊥FB1.
x≤0，y∈R x∈R，y≥0
x轴
y轴
(0,0)
e＝1
F0，－p2 y＝p2
x∈R，y≤0 y轴
第四页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
1.抛物线y＝4x2的准线方程是( D )
A.x＝－1
B.y＝－1
C.x＝－116
D.y＝－116
2.抛物线y＝x2的焦点坐标为( D )
A.14，0
B.12，0
化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和直线l1的
距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x －3y＋6＝0 的距离，即 dmin＝|4－50＋6|＝2.
第十四页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 3：(2012 年广东汕头一模)已知椭圆 C1：x42＋by22＝10<b<2 的离心率等于 23，抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆的顶 点上. (1)求抛物线C2的方程； (2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，又过E ，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2 时，求直线l的方程.
第七页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 1 抛物线的标准方程
例1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(－3，m)
到焦点距离为 5，则抛物线标准方程为(
)
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝4x
D.y2＝－4x
解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点为P(－3，m)，显 然开口向左，设y2＝－2px，由点P(－3，m)到焦点距离 为 5，知：点 P(－3，m)到准线距离也为 5，即 3＋p2＝5，p＝4，
故标准方程为y2＝－8x.
答案：B
第八页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
(2) 焦 点 在 直 线 x － 2y － 4 ＝ 0 上的抛物线标准方程为 ________________，对应的准线方程为________________.
解析：令 x＝0，得 y＝－2；令 y＝0，得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2). 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8， 此时抛物线方程为 y2＝16x. 当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴p＝4， 此时抛物线方程为 x2＝－8y. ∴所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y，对应的准线方 程分别是 x＝－4 或 y＝2. 答案：y2＝16x(或 x2＝－8y) x＝－4(或 y＝2)
第二十二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
第六页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
4.在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y2＝4x 上的点 P 到 该抛物线的焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标为_____.5
5.抛物线 y2＝8x 的焦点坐标是______(_2_,0.) 解析：∵抛物线方程为 y2＝8x，∴2p＝8，即 p＝4.∴焦点 坐标为(2,0).
第九页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出p 的值 可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨 论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一 解.
第十页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】 1.(2012 年广东梅州二模)以双曲线x32－y2＝1 的左焦点为焦 点，顶点在原点的抛物线方程是( D )
第3讲 抛物线
第一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考纲要求
考情风向标
通过分析近几年的高考试题可以看出，
对抛物线的考查，选择题、填空题、解
答题均可能出现，与抛物线有关的解答
题通常也是数学高考的压轴题，整个命
1.了解抛物线的定义、 题过程主要侧重以下几点： 几何图形、标准方程及 (1)能利用定义法或待定系数法求抛物线
C.0，12
D.0，14
第五页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
3.(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程 x＝－2，
则抛物线的方程是(
A.y2＝－8x C.y2＝8x
C) B.y2＝－4x D.y2＝4x
解析：由准线方程 x＝－2，顶点在原点，可得两条信息： ①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛 物线方程为 y2＝8x.
第十三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】 2.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝ 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A
11
37
A.2
B.3
C. 5
D.16
解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义
知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题
第十五页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
解：(1)已知椭圆的长半轴为 2，半焦距为 c＝ 4－b2， 离心率 e＝ac＝ 4－2 b2＝ 23，∴b2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线的方程为 x2＝4y. (2)由已知，直线 l 的斜率必存在.设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，y＝14x2，∴y′＝12x. ∴切线 l1，l2 的斜率分别为x21，x22.
角为 60°，∴直线 l 的斜率为 k＝tan60°＝ 3.利用点斜式得直线
方程为 y＝ 3x－ 3，将直线和曲线联立方程组，得
y＝ 3x－ y2＝4x
3，
⇒A(3,2
3)，B13，－2 3 3.∵A 在 x 轴上方.
∴S△OAF＝12·OF·yA＝12×1×2 3＝ 3.
第十八页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
第三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0)
标准方程 y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
图形
焦点
准线 范围 对称轴 顶点 离心率
Fp2，0 x＝－2p
x≥0，y∈R x轴
F－p2，0 x＝p2
F0，p2 y＝－p2
简单性质.
的方程.
2.理解数形结合的思想. (2)利用抛物线的定义将抛物线上的点到
准线的距离和到焦点的距离进行转化.
(3)综合应用抛物线和直线的有关知识，
通过直线与抛物线的位置关系解答相应
问题.
第二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离__相__等____的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的_______焦_，点
第二十页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
④如图1231(4)，同③有AP1⊥FA1. 综上所述，①②③④都正确.故选 D.
(1)
答案：D
(2)
(3)
(4)
图 12-3-1
第二十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】要充分利用抛物线的定义，即点 P 到该抛 物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，能得到多个等腰三 角形.利用平行线的性质，得到多对相等的角，要充分利用平面 几何的性质解题.
第十一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 2 抛物线的几何性质
例2：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到 点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
()
A.
17 2
B.3定义知，点P 到该抛物线准线的距离等
于点 P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该
思想与方法
⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题
例题：AB为过抛物线焦点的动弦，P为AB的中点，A，B， P在准线l的射影分别是 A1，B1，P1.在以下结论中： ①FA1⊥FB1；② AP1⊥BP1；③BP1⊥FB1；④AP1⊥FA1.其中正确的个数为( )
A.1 个
C.3 个
B.2 个 D.4 个
第十七页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】
3.(2012 年北京)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2
＝4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点.其中点 A 在 x
轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°，则△OAF 的面积为____. 3
解析：由 y2＝4x 可求得焦点坐标 F(1,0)，∵直线 l 的倾斜
A.y2＝4x B.y2＝－4x C.y2＝－4 2x D.y2＝－8 解析：∵双曲线的方程为x32－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1.得 c ＝ a2＋b2＝2.∴双曲线的左焦点为 F(－2,0)，也是抛物线的焦 点.设抛物线方程为 y2＝－2px，(p>0)，则p2＝2，得 2p＝8.∴抛 物线方程为 y2＝－8x.故选 D.
第十六页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
当 l1⊥l2 时，x21·x22＝－1，即 x1x2＝－4. 由xy2＝＝k4xy＋，1， 得 x2－4kx－4k＝0. Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得 k<－1 或 k>0. ① ∴x1x2＝－4k＝－4，即 k＝1，此时 k＝1 满足①， ∴直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.
抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点
的距离之和.显然，当P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得最
小值，最小值等于
0－122＋2－02＝ 217.
答案：A
第十二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直 (三点共线)时，其和最小.当直接求解，怎么做都不可能三点共 线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等 于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.
第十九页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
解 析 ： ① 如 图 1231(1) ， AA1 ＝ AF ， ∠ AA1F ＝ ∠ AFA1 ， 又 AA1∥F1F，∠AA1F＝∠A1FF1，则∠AFA1＝∠A1FF1.
同理∠BFB1＝∠B1FF1，则∠A1FB1＝90°，故FA1⊥FB1. ②如图 12-3-1(2)，PP1＝AA1＋2 BB1＝AF＋2 BF＝A2B， 即△AP1B为直角三角形，故AP1⊥BP1. ③如图1231(3)，BB1＝BF，即△BB1F为等腰三角形，PP1＝PB， ∠ PP1B ＝ ∠ PBP1. 又 BB1∥P1P ， ∠ PP1B ＝ ∠ B1BP1 ， 则 ∠ PBP1 ＝ ∠B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1⊥FB1.
x≤0，y∈R x∈R，y≥0
x轴
y轴
(0,0)
e＝1
F0，－p2 y＝p2
x∈R，y≤0 y轴
第四页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
1.抛物线y＝4x2的准线方程是( D )
A.x＝－1
B.y＝－1
C.x＝－116
D.y＝－116
2.抛物线y＝x2的焦点坐标为( D )
A.14，0
B.12，0
化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和直线l1的
距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x －3y＋6＝0 的距离，即 dmin＝|4－50＋6|＝2.
第十四页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 3：(2012 年广东汕头一模)已知椭圆 C1：x42＋by22＝10<b<2 的离心率等于 23，抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆的顶 点上. (1)求抛物线C2的方程； (2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，又过E ，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2 时，求直线l的方程.
第七页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考点 1 抛物线的标准方程
例1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(－3，m)
到焦点距离为 5，则抛物线标准方程为(
)
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝4x
D.y2＝－4x
解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点为P(－3，m)，显 然开口向左，设y2＝－2px，由点P(－3，m)到焦点距离 为 5，知：点 P(－3，m)到准线距离也为 5，即 3＋p2＝5，p＝4，
故标准方程为y2＝－8x.
答案：B
第八页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
(2) 焦 点 在 直 线 x － 2y － 4 ＝ 0 上的抛物线标准方程为 ________________，对应的准线方程为________________.
解析：令 x＝0，得 y＝－2；令 y＝0，得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2). 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8， 此时抛物线方程为 y2＝16x. 当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴p＝4， 此时抛物线方程为 x2＝－8y. ∴所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y，对应的准线方 程分别是 x＝－4 或 y＝2. 答案：y2＝16x(或 x2＝－8y) x＝－4(或 y＝2)
第二十二页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
第六页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
4.在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y2＝4x 上的点 P 到 该抛物线的焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标为_____.5
5.抛物线 y2＝8x 的焦点坐标是______(_2_,0.) 解析：∵抛物线方程为 y2＝8x，∴2p＝8，即 p＝4.∴焦点 坐标为(2,0).
第九页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出p 的值 可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨 论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一 解.
第十页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】 1.(2012 年广东梅州二模)以双曲线x32－y2＝1 的左焦点为焦 点，顶点在原点的抛物线方程是( D )
第3讲 抛物线
第一页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
考纲要求
考情风向标
通过分析近几年的高考试题可以看出，
对抛物线的考查，选择题、填空题、解
答题均可能出现，与抛物线有关的解答
题通常也是数学高考的压轴题，整个命
1.了解抛物线的定义、 题过程主要侧重以下几点： 几何图形、标准方程及 (1)能利用定义法或待定系数法求抛物线
C.0，12
D.0，14
第五页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
3.(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程 x＝－2，
则抛物线的方程是(
A.y2＝－8x C.y2＝8x
C) B.y2＝－4x D.y2＝4x
解析：由准线方程 x＝－2，顶点在原点，可得两条信息： ①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛 物线方程为 y2＝8x.
第十三页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
【互动探究】 2.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝ 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A
11
37
A.2
B.3
C. 5
D.16
解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义
知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题
第十五页，编辑于星期五：十一点 二十四分。
解：(1)已知椭圆的长半轴为 2，半焦距为 c＝ 4－b2， 离心率 e＝ac＝ 4－2 b2＝ 23，∴b2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线的方程为 x2＝4y. (2)由已知，直线 l 的斜率必存在.设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，y＝14x2，∴y′＝12x. ∴切线 l1，l2 的斜率分别为x21，x22.
角为 60°，∴直线 l 的斜率为 k＝tan60°＝ 3.利用点斜式得直线
方程为 y＝ 3x－ 3，将直线和曲线联立方程组，得
y＝ 3x－ y2＝4x
3，
⇒A(3,2
3)，B13，－2 3 3.∵A 在 x 轴上方.
∴S△OAF＝12·OF·yA＝12×1×2 3＝ 3.
第十八页，编辑于星期五：十一点 二十四分。