第9章章测题2(多元微分学应用部分)

第9 章测验题（二）多元函数微分学的应用
一、填空题
1.函数u =x3 −xy2 −z 在点P (1,1, 0)处沿方向上的函数值增加最快。

1 2 2 2
2.函数u =(x +y +z ) 在点P (1,1,1) 处沿方向上的函数值增加最快。

2
1
3.函数f (x y)=(x +y )在点M (1, 1)处变化率为零的方向是。

,
2 2
2
4.曲面e z −z +xy = 3 在点(2,1,0)处的单位法向量n= ，法线方程
为。

5.球面x2 +y2 +z2 = 14 在点(1,2,3)处的单位法向量n= ，法线方程
为，切平面方程为。

6.旋转抛物面z =x2 +y2 −1在点(2,1,4)处的单位法向量n= ，切平面
方程为。

7.曲线x =a cosθ，y =a sinθ，z =bθ在点(a,0,0)处的单位切向量T = ，切线方程为。

⎛t ⎞
8.曲线r ()i ()j ⎟k
(t) =在对应于
t − sin t +1− cos t +⎜4 sin
⎝ 2 ⎠
π
t =点处的单位切向量0
2
T ，切线方程为。

=
9.曲线x=
t
1+t
，y
= 1+，在对应于
t
z =t t 1点处的单位切向量T = ，
2 0 =
t
切线方程为。

⎧++=
2 2 2
x z (1,−2,1)处的单位切向量T = ，切线方y 6
*10.曲线⎨在点
x +y +z = 0
⎩
程为。

11.函数f (x y)=x +y +x −y 在点(0,0) 处的梯度向量为gradf (0, 0)=。

, 2 3 2
2 2
12.函数u =x + 2y + 3z 在点M (1,1, 2)处的梯度向量为gradu =。

M
13.函数
f (x, y)
1
=在点(1,1)处的梯度向量为∇f (1,1) =。

x y
2 + 2
二、选择题
1
1.设f (x, y)=xy(a −x −y)(a > 0)，则f(x, y)_____________。

A.无极值；
B. f (0,a)为极大值；
a a C. ,
f ⎛⎜
⎞
a a
⎝
⎠⎟
3 3
a a
为极大值；D. ,
f ⎜⎛
⎞
a a
⎝
⎠⎟
3 3
为极小值。

2.对于函数f (x y)=x +y ，原点(0，0)是。

, 2 2
A.驻点且为极值点；
B.驻点但非极值点；
C.非驻点但为极大值点；
D.非驻点但为极小值点。

3.对于函数f (x, y)=xy ，原点(0，0)是。

A.驻点且为极值点；
B.驻点但非极值点；
C.非驻点但为极大值点；
D.非驻点但为极小值点。

→
4.设函数f (x, y)在点()
x0 ,y0 沿方向l 的变化率最大，如
果0 ,0
→
()
gradf x y 与l 的夹角为
0 ,0
θ，则θ=。

π
π
2
A.0 ；
B.
；C.
；D.π。

4
5.设u =F (x, y, z)的三个一阶偏导数连续，且不全为零，则沿方向()
F , F , F
x y z
F
2
x
+F
2
y
+F
2
z
是函
数u 在点(x, y, z)处的。

A.变化率最大方向；
B.变化率最小方向；
C.可能是变化率最大方向，也可能是变化率最小方向；
D.既不是变化率最大方向，也不是变化率最小方向。

三、计算题
π
α=，
3 1.求函数u =xy2 +z3 −xyz 在点(1,1, 2)处沿方向角为
方向导数。

ππ
β=，γ=的方向的
4 3
2.求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。

3.求函数u =xy2 z 在点P (1,−1,2)处变化最快的方向，并求函数u 沿该方向的方向导数。

4.求函数u =x3 −xy2 −z 在点P (1,1, 0)处变化最快的方向，并求函数u 沿该方向的变化
率。

5.求函数u =x +y +z 在球面x2 +y2 +z2 = 14上点(1,2,3)处，沿球面在该点的外法线方
2
向的方向导数。

6.求函数z = ln(x +y) 在抛物线y2 = 4x 上点(1,2)处，沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向
的切线方向的方向导数。

x y z
2 2 2
7.求函数u =x2 +y2 +z2 在椭球面 1 0 x , y , z
++=M 处沿外法线方
上点()
2 2 2
0 0 0
a b c
向的方向导数。

8.求函数u =x2 +y2 +z2 在曲线x =t ，y =t2 ，z =t3 上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切
线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导数。

四、应用题
1.设有一圆板占有平面闭区域{(, )1}
x ，该圆板被加热，以致在点处的温
y x2 +y2 ≤
(x, y)
度是，求该圆板的最热点和最冷点。

T =x2 + 2y2 −x
2.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和
p p q
1 2 1
q 2 ，需求函数分别为q=−，
1 24 0.2p
1
q2 = 10 − 0.05p ，总成本函数为
2
C = 35+ 40(q1 +q )
2 ，试问厂家如何确定两个市场的售价和，能使其获得的总利润
p p
1 2
最大？最大总利润为多少？
3.求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体。

4.将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体。

问矩形的边长各为多少时，才可能使圆柱体的体积最大？
5.形状为椭球的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，1 小
4x2 +y2 + 4z2 ≤ 16
(x, y, z)处的温度8 4 16 600 ，求探测器表面最热的点。

时后在探测器的点
T =x2 +yz −z +
6.将正数a分为三个正数x, y, z 之和，求x, y, z 值使u =xyz 为最大。

3。