高考数学压轴专题最新备战高考《函数与导数》基础测试题含答案解析

高中数学《函数与导数》知识点归纳
一、选择题
1．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，
()21f x x =-，则（ ）
A ．()123
5log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭
⎝
⎭
B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫
⎛⎫
=-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()22
4log 3log 03f f ⎛
⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()133log 2log 20f f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】
因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即
()()20f x f x +-=，
即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-， 所以，函数()y f x =的周期为4，
因为当[]0,1x ∈时，()2
1f x x =-单调递减，
因为5110222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=--=-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫
=-=> ⎪⎝⎭
， 因为2
41
0log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫
⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
， 所以，1
2314log 2log 23f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
⎝⎭
，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关
键，属于中等题.
2．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}
2
|0?N x x x =-<，则下
列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()
U M N ⊆ð
【答案】A 【解析】 【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
3．已知()(1)|ln |
x
f x x x =
≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2(2,)e e
⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭
B ．11,e e ⎛⎫+
⎪⎝⎭
C ．(1,)e e -
D ．1
e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
由22
[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =
与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以
()|ln |ln x x f x x x =
=，令()ln x g x x
=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'
()0g x >得
x e >， 由'
()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递 增，由图象变换作出()f x 图象如图所示
要使原方程有4个根，则01m e
m e <<⎧⎨+>⎩
，解得1e m e -<<.
故选：C 【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
5．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2，
故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7 B ．4
C ．0
D ．﹣4
【答案】A 【解析】
()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处
的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，
()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．
7．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
14
6
π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
【答案】B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r
a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4
462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4
462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝15，解得a ＝2．
曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11
-x-x |4
42346
dx x x π
ππ⎛⎫=
--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
8．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足
()()
3f x f x x
'->，则关于x 的不等式3
1(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭
的解集为（ ）
A ．()3,6
B ．()0,3
C ．()0,6
D ．()6,+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件，构造函数3
()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可． 【详解】
解：Q 3
(1)(3)(3)03
x f x f ---<，
3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），
Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，
3x ∴<，
令3
()()g x x f x =，
∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），
即为(3)g x g -<（3），
323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，
Q
()()
3f x f x x
'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，
32()3()0x f x x f x ∴+>，
()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，
又因为由上可知(3)g x g -<（3），
33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．
9．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2
- B ．1(,1)(,)2
-∞-+∞U C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2
210f x f x -+>化为
221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x
x
f x e e
x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x
x f x e
e x --=-+- ()()sin2x x e e x
f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20x
x
f x e e
x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又()
()2210f x f x -+>，
得()()()2
21f x
f x f x ->-=-，
∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12
x >
， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 故选B ． 【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不
等式，是中档题．
10．已知函数
在区间
上有最小值，则函数
在区间
上一定（ ）
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数
在区间
上有最小值得知其对称轴
，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间
上的单调性.
【详解】 由于二次函数
在区间
上有最小值，可知其对称轴
，
.
当时，由于函数
和函数在上都为增函数，
此时，函数在上为增函数；
当时，
在
上为增函数；
当时，由双勾函数的单调性知，函数
在
上单调递
增，
，所以，函数
在
上为增函数.
综上所述：函数在区间
上为增函数，故选D.
【点睛】
本题考查二次函数的最值，同时也考查了
型函数单调性的分析，解题时要注意对
的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
11．已知函数()2
f x x x =+，且()1
231ln
log 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．b a c <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数()2
f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴
对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数
()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．
【详解】
由题意，函数()2
f x x x =+，满足()()2
2
()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，
又当0x ≥时，()2
f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递
增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，
又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1
122
-=，
根据对称性，可得11
323(ln )(2)(log )2
f f f -<<，即a c b <<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，在()0+∞，
上()2f x x '<，若()()4168f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[)2+∞，
B ．[)0+∞，
C ．[]
22-，
D ．(][)22-∞-⋃+∞，
， 【答案】A 【解析】 【分析】
通过x R ∀∈有()()2
2f x f x x +-=，构造新函数()()2
g x f x x =-，可得()g x 为奇函
数；利用()2f x x '<，求()g x 的导函数得出()g x 的单调性，再将不等式
()()4168f m f m m --≥-转化，可求实数m 的取值范围.
【详解】
设()()2
g x f x x =-，
∵()()()()2
2
0g x g x f x x f x x +-=-+--=，
∴函数()g x 为奇函数，
∵在()0,x ∈+∞上，()2f x x '<，即()20f x x '-<， ∴()()20g x f x x ''=-<，
∴函数()g x 在()0,x ∈+∞上是减函数， ∴函数()g x 在(),0x ∈-∞上也是减函数， 且()00g =，
∴函数()g x 在x ∈R 上是减函数， ∵()()4168f m f m m --≥-，
∴()()()22
44168g m m g m m m ⎡⎤⎡⎤-+--+≥-⎣
⎦⎣⎦， ∴()()4g m g m -≥， ∴4m m -≤， 即2m ≥. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题.
13．已知函数()0,1
ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实
数k 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数
()0,1ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨
≥⎩
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
14．已知函数()
()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对
称，当[]0,1x ∈时，()2020x
f x =，则()2020f =（ ） A ．2020 B ．12020
C ．11010
D ．0
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有
()()4f x f x -=-+，
函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+， 变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，
则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，
()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.
15．已知函数()2
cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
=⎪，
则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
判断()f x 为偶函数，利用导数得出()f x 在()0,π上单调递增，由对数函数的性质，结合函数()f x 的单调性和奇偶性，即可得出答案. 【详解】
()()()()2
2cos cos f x x x x x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数
故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.
()'2sin f x x x =+，当()0,x π∈时，易得()'0f x > 故()f x 在()0,π上单调递增，()155log 3log 3a f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
()331log log 55b f f ⎛
⎫== ⎪⎝
⎭，
由函数单调性可知()()3531log 3log 55f f f ⎛⎫
⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即c a b << 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性比较大小，属于中档题.
16．函数()3ln 2x
f x x x
=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-
【答案】B
【解析】 【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()2
2
1ln '6x f x x x
-=+， 则所求切线的斜率()2
2
1ln1'16171
k f -==+⨯=， 且：()0
12121
f =
+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
17．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）
A ．()()2019202020202019f f >
B ．()()20192020f f >
C ．()()2019202020202019f f <
D ．()()20192020f f <
【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()
f x
g x x
=
，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 令()()()0f x g x x x =
>，则()()()
2
xf x f x g x x
'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.
故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，
即
()()
2020201920202019f f >
，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
18．
40
cos2d cos sin x
x x x
π
=+⎰
（ ）
A ．2(21)-
B ．21+
C ．21-
D ．22-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】
因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x
x x x x x x
-==-++，
∴4
400cos 2d (cos sin )d (sin cos )214cos sin 0
x
x x x x x x x x π
π
π
=-=+=-+⎰
⎰，故选C ． 【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
19．函数2ln x x y x
=
的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】 【分析】
根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e
上递减,在1(,)e
+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】
令2ln ||()||x x f x x =
,则2()ln ||
()()||
x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,
当0x >时,2ln ()ln x x
f x x x x
==,()1ln f x x '=+,
由()0f x '>,得1
x e >
,由()0f x '<,得10x e
<<, 所以()f x 在1(0,)e
上递减,在1
(,)e +∞上递增,
结合图像分析,,A C 不正确.
故选:D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.
20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利
用运算法则可知3
2lg 2lg 3
n ≥⨯-，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
4
3
a ，“二次构造”后的折线长度为2
43a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n
a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫
∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，
即3
24.0220.30100.4771n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造.
故选：D . 【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。