2年模拟(新课标)高考数学一轮复习 12.1几何证明选讲-人教版高三全册数学试题

§ 12.1几何证明选讲
A组2014—2015年模拟·基础题组
限时:40分钟
1.(2015某某呼和浩特期中,22)如图,P是☉O外一点,PA是切线,割线PBC经过圆心O,且PB=BC.
(1)求证:PA=AC;
(2)若点D是弧AC的中点,PD与☉O交于另一点E,PB=1,求PE的长.
2.(2015某某大学附中月考,23)如图所示,已知PA与☉O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CD∥AP,AD,BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.
(1)求证:CE·EB=EF·EP;
(2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的长.
3.(2014中原名校联盟一模)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC.
(1)求证:BE=2AD;
(2)当AC=1,EC=2时,求AD的长.
4.(2014某某某某九中二模,22)如图,直线AB经过☉O上一点C,且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D,连结EC.
(1)求证:直线AB是☉O的切线;
(2)若tan∠CED=,☉O的半径为3,求OA的长.
5.(2014某某某某二模,22)如图,△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆于点D,过点B作圆O 的切线交直线AD于点E.
(1)求证:∠EBD=∠CBD.
(2)求证:AB·BE=AE·DC.
B组2014—2015年模拟·提升题组
限时:45分钟
1.(2015某某重点中学期中,22)如图,点A是以BC为直径的圆O上的一点,AD⊥BC于点D,过点B作圆O的切线与CA的延长线交于点E,点G是AD的中点,连结CG并延长,与BE相交于点F,连结AF并延长,与CB的延长线相交于点P.
(1)求证:BF=EF;
(2)求证:PA是圆O的切线.
2.(2014某某某某质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB 于E,求证:
(1)AB·AC=BC·AD;
(2)AD3=BC·CF·BE.
3.(2014某某某某一中三模)如图,已知☉O1与☉O2相交于A、B两点,过点A作☉O1的切线交☉O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交☉O1、☉O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AD是☉O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
4.(2014某某五个一名校联盟一模)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,AE⊥CD 交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.
(1)证明:AE是☉O的切线;
(2)如果AB=4,AE=2,求CD.
5.(2014某某某某二模,22)如图,已知PE是☉O的切线,切点为E,PAB,PCD都是☉O的割线,且PAB经过圆心O,过点P直线与直线BC,BD分别交于点M,N,且PE2=PM·PN.
(1)求证:D,C,M,N四点共圆;
(2)求证:PB⊥PN.
A组2014—2015年模拟·基础题组
1.解析(1)证明:设☉O的半径为R,则BC=2R,PB=R,PC=3R.
∵PA为切线,PBC为割线,∴由切割线定理得,PA2=PB·PC=3R2,∴PA=R.
连结OA,如图,则PA⊥OA.在Rt△POA
中,OA=R,PO=2R,∴∠APO=30°,∴∠POA=60°,∴∠AOC=120°.∴在△AOC中,由余弦定理得AC=R,∴PA=AC.
(2)连结OD,CD.
∵D为的中点,∴∠COD=∠AOC=60°,而OC=OD,∴△OCD为等边三角形,
∴∠PCD=60°,CD=OC,又OC=PB=1,
∴CD=1,
又PC=3PB=3,
∴在△PCD中,由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC·CD·cos 60°=32+12-2×3×1×=7,∴PD=,再由切割线定理得,PA2=PE·PD,又PA=,∴3=PE.∴PE=.
2.解析(1)证明:连结DF.∵DE2=EF·EC,∠DEF=∠CED,
∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.(2分)
∵CD∥AP,∴∠P=∠C,∴∠EDF=∠P,又∠DEF=∠PEA,
∴△EDF∽△EPA,∴=,
∴EA·ED=EF·EP.(4分)
又∵EA·ED=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.(5分)
(2)∵DE2=EF·EC,DE=3,EF=2,
∴EC=,∵CE∶BE=3∶2,∴BE=3.
又由(1)知CE·EB=EF·EP,∴EP=.(7分)
∴BP=EP-EB=.
∵PA是☉O的切线,PBC是☉O的割线,
∴PA2=PB·PC,
∴PA2=×,解得PA=.(10分)
3.解析(1)证明:连结DE,因为四边形ACED是圆的内接四边形,所以∠BDE=∠BCA,又
∠DBE=∠CBA,所以△BDE∽△BCA,即有=,而AB=2AC,
所以BE=2DE.又CD为∠ACB的平分线,所以AD=DE,从而BE=2AD.
(2)AB=2AC=2,设AD=t,根据割线定理得
BD·BA=BE·BC,即(AB-AD)·BA=2AD·(2AD+CE).
所以(2-t)×2=2t(2t+2),即2t2+3t-2=0,解得t=,即AD=.
4.解析(1)证明:如图,连结OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,
∴AB是☉O的切线.
(2)连结CD,∵ED是直径,∴∠ECD=90°,
在Rt△ECD中,
∵tan∠CED=,∴=,
∵AB是☉O的切线,
∴∠BCD=∠E,又∵∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC,
∴==,设BD=x,则BC=2x,
又BC2=BD·BE,∴(2x)2=x·(x+6),
解得x1=0,x2=2,∵BD=x>0,∴BD=2,
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.
5.证明(1)∵BE为圆O的切线,
∴∠EBD=∠BAD.(2分)
又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EBD=∠CAD.
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠EBD=∠CBD.(5分)
(2)在△EBD和△EAB中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB,
∴△EBD∽△EAB,(7分)
∴=,
∴AB·BE=AE·BD,(9分)
又∵AD平分∠BAC,∴BD=DC,
故AB·BE=AE·DC.(10分)
B组2014—2015年模拟·提升题组1.证明(1)∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC,∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC.
∴=,=,∴=.
∵G是AD的中点,∴DG=AG.∴BF=EF.
(2)连结AO,AB.
∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°.
在Rt△BAE中,由(1)知F是斜边BE的中点,
∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB.
∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.
∵∠EBO=90°,∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO,∴∠FAO=90°,∴PA⊥OA,故由圆的切线判定定理,知PA是圆O的切线.
2.证明(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC,
∴S△ABC=AB·AC=BC·A D.
∴AB·AC=BC·AD.
(2)在Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理可得BD2=BE·AB,
同理,CD2=CF·AC,
∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt△BAC中,AD⊥BC,
∴AD2=BD·DC,
∴AD4=BE·AB·CF·AC,
又AB·AC=BC·AD.
∴AD4=BE·CF·BC·AD,
即AD3=BC·CF·BE.
3.解析(1)证明:连结BA,
∵AC是☉O1的切线,∴∠BAC=∠D,
又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.
(2)设BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2,
∴xy=12.①
由(1)知AD∥EC,∴=,∴=.②
由①、②解得
∴DE=9+x+y=16,
∵AD是☉O2的切线,
∴AD2=DB·DE=9×16,∴AD=12.
4.解析(1)证明:连结OA,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA,
又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以OA∥CE.
因为AE⊥CE,所以OA⊥AE.
所以AE是☉O的切线.
(2)易得△ADE∽△BDA,
所以=,即=,则BD=2AD,
所以∠ABD=30°,从而∠DAE=30°,
所以DE=AEtan 30°=.
又由切割线定理,得AE2=ED·EC,
所以4=·,所以CD=.
5.证明(1)∵PE是☉O的切线,PCD是☉O的割线,∴PE2=PC·PD,
又∵PE2=PM·PN,
∴=,
又∵∠CPM=∠NPD,∴△PCM∽△PND,
∴∠PCM=∠PND,
∴∠DCM+∠PND=180°,
∴D,C,M,N四点共圆.(5分)
(2)由(1)可知∠BCD=∠PND,由圆周角定理可得∠BCD+∠NBP=90°,∴∠PND+∠NBP=90°,∴∠BPN=90°,∴PB⊥PN.(10分)。