山西省运城市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

山西省运城市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．15
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数. 【详解】
输入的a ，b 分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a b ，的最大公约数，按流程图计算
320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,易得176和320
的最大公约数为16， 故选:A. 【点睛】
本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数
λ=( )
A 3
B ．
3C 6 D 6【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r
，||||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．已知数列{}n a 满足：12
12
5 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨
-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得222
1212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
【答案】B 【解析】 【分析】
计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故222
1211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.
【详解】
当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即2
11n n n a a a +=-+，且631a =.
故()()()2
2
2
677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，
2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.
故选：B . 【点睛】
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
4．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
【答案】D
【解析】 【分析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程
230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++
-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即
223(1)2(1)4412111
x x x a x x x x ++-++===++-+++
在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++-+在区间[]
0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难. 5．将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来
的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．
9
π
B ．
29
π C ．
18
π D ．
24
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】
解：由题意知，将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得
()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦，再将sin 336y x m π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不
变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)2
6
g x x m π
∴=-+，
因为()g x 是奇函数，
所以3,6
m k k Z π
π-+
=∈，解得,18
3
k m k Z π
π
=
-
∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18
π. 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
6．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A ．2223S S ，且
B ．2223S S ，且
C ．2223S S ，且
D ．2223S S ，且 【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故
{}
2,22,23S =，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BC
CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =故{}
2,22,23S =，故2S ，23S .
故选：D .
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
12
13
B ．
1314
C ．
2129
D ．
1415
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得
x ，然后由P 2
x
x =
+得出答案. 【详解】
解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+ 在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()2
2252x x +=+，解得214
x =
所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21
214P 2122924
x x =
==++
故选C. 【点睛】
本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 8．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
【答案】A 【解析】 【分析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
， 由导数几何意义可知1
212
k y ='=
⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 9．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）
A ．∅
B ．1{|}2
x x <-
C ．5{|}3
x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】
{}1210|2S x x x x ⎧
⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，
{}5|350|3T x x x x ⎧
⎫=-<=<⎨⎬⎩
⎭，
则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
故选D 【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．2【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】
正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】
本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．
11．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足
0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i
S
S
λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1
C ．3
2
-
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到
1231
2
S S
S S =
=+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得1
2x y ==，从而可求得结果.
【详解】 如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以1231
2
S S S S =
=+， 由此可得2
2232322322(
)
1216
S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r
，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u u
u r u u u r u u u r ，
将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
，
所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r
，
又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，
根据平面向量基本定理可得12
x y ==， 从而132122
x y +=+=. 故选：D 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
12．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
【答案】B 【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.
又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增， 又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合{1,2,4}A =，{
}
2
|20B x x x =-<，则A B =I __________． 【答案】{1} 【解析】 【分析】
解一元二次不等式化简集合B ，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【详解】
Q {|02}B x x =<<，{1,2,4}A =，
∴{1}A B ⋂=.
故答案为：{1}. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 【答案】16 4 【解析】 【分析】
只需令x ＝0，易得a 5，再由(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3，可得a 4＝4
5C ＋23
4C ＋2
3C . 【详解】
令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，
而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3； 则a 4＝4
5C ＋23
4C ＋2
3C ＝5＋8＋3＝16. 故答案为：16,4. 【点睛】
本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.
15．设()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2x
f x m =+（m 为常数），若()3
12
f =
，则实数m 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据()f x 为定义在R 上的偶函数，得()()11f f =-，再根据当0x <时，()2x
f x m =+（m 为常数）
求解. 【详解】
因为()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以()()11f f =-，
又因为当0x <时，()2x
f x m =+，
所以()()1
31122
f f m -=-=+=
， 所以实数m 的值为1. 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3
B a b π
===ABC V 的面积为
___________．
【解析】 【分析】
由余弦定理先算出c ，再利用面积公式1
sin 2
S ac B =计算即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，
故ABC ∆的面积1sin 22
S ac B ==.
【点睛】 本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos
B C b c +=（1）求b 的值；
（2）若cos 2B B =，求ABC ∆面积的最大值.
【答案】 (1)b =4. 【解析】
分析：（1）在式子cos cos B C b c +=余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B +=经三角变换可得3B π
=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故
得1sin 2S ac B =≤
详解：(1)由题意及正、余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=
整理得222a abc =，
∴b =
（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛
⎫=+
= ⎪⎝⎭， ∴sin(+=16B π
），
∵()0,B π∈， ∴62B ππ+
=， ∴3B π
=.
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，
3ac ∴≤，当且仅当3a c ==时等号成立． ∴11333sin 322S ac B =≤⨯⨯=． ∴ABC ∆面积的最大值为
33． 点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形222()2a c a c ac +=+-，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．
（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．
18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.
（1）求证：DE ⊥平面PAD .
（2）求二面角A PC D --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
6513
【解析】
【分析】
（1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证；
（2）取BC 的中点F,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可.
【详解】
（1）在等腰梯形ABCD 中, Q 点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,
∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,
Q 2AD =,4BC =,1CE =,
∴DE AD ⊥,
Q 点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,
PG ∴⊥平面ABCD ,
DE ⊂Q 平面ABCD ,PG DE ∴⊥.
又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,
DE ∴⊥平面PAD
.
（2）取BC 的中点F,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示
,
由（1）易知,DE CB ⊥,1CE =,
又60ABC DCB ∠=∠=︒,3DE GF ∴==2AD =Q ,PAD △为等边三角形,3PG ∴则(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,3)P ,(3,0)C -,
(33)0AC ∴=-uuu r ,,,(13)AP =-u u u r ,()30DC =-uuu r ,,,3)DP =u u u r , 设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =r ,
则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即111133030
x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩, 令13x 则13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=r ,
设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =r
, 则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ,即222
23030x x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, 令23x ,则21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-r ,
设平面APC与平面DPC的夹角为θ,则
cos
m n
m n
θ
⋅
===
⋅
r r
r r
∴二面角A PC D
--
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.
19．在直角坐标系xOy中，曲线1C
的参数方程为
sin
x
y
α
α
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C的极坐标方程为cos sin40
ρθρθ
++=.
（1）求曲线1
C的普通方程和曲线
2
C的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线1
C上，点Q在曲线
2
C上，求||
PQ的最小值及此时点P的坐标.
【答案】（1）
2
21
3
x
y
+=；40
x y
++=（2
，此时
31
,
22
P⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）消去曲线1
C参数方程的参数，求得曲线
1
C的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线2
C的直角坐标方程.
（2）设出P的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得||
PQ的最小值及此时点P 的坐标.
【详解】
（1）消去α得，曲线1C的普通方程是：
2
21
3
x
y
+=；
把cos
xρα
=，sin
yρα
=代入得，曲线
2
C的直角坐标方程是40
x y
++=
（2
）设,sin)
Pαα，||
PQ的最小值就是点P到直线
2
C的最小距离.
设
d==
在
5
6
π
α=-时，sin1
3
π
α⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
，d=
此时33cos 2α=-，1sin 2α=- 所以，所求最小值为2，此时31,22P ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.
20．如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，AC AB ⊥，2A A AB AC '===，D ，E 分别为AB ，BC 的中点.
（1）证明：平面B DE '⊥平面A ABB ''；
（2）求点C '到平面B DE '的距离.
【答案】（1）证明见解析；（245【解析】
【分析】
（1）通过证明DE ⊥面A ABB ''，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据//A C ''面B DE '，将问题转化为求A '到面B DE '的距离，利用等体积法求点面距离即可.
【详解】
（1）因为棱柱ABC A B C '''-是直三棱柱，所以AC AA '⊥
又AC AB ⊥，A A AB A '=I
所以AC ⊥面A ABB ''
又D ，E 分别为AB ，BC 的中点
所以DE //AC
即DE ⊥面A ABB ''
又DE ⊂面B DE '，所以平面B DE '⊥平面A ABB ''
（2）由（1）可知A C ''//AC //DE
所以A C ''//平面B DE '
即点C '到平面B DE '的距离等于点A '到平面B DE '的距离
设点A '到面B DE '的距离为h
由（1）可知，DE ⊥面A ABB ''
且在Rt B DE 'V 中，B D '=，1DE =
2
B DE S '∴=V A 2B D S ''=V 由等体积公式可知A B DE E A B D V V ''''--= 即1133
B DE A B D S h S DE '''⨯=⨯V V
由1
121323h ⨯
=⨯⨯得5h =
所以C '到平面B DE '的距离等于
5
【点睛】 本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.
21．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$453y x =+； 乙$4105y x =-+；丙$ 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）乙同学正确
（2）分布列见解析， ()32
E X =
【解析】
【分析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：$4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:
0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120
C C P X
C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120
C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列
()0123202020202
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【点睛】 本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？
（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
4x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞U . 【解析】
【分析】
（1）设(),Q x y
y a =+，化简即得； （2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.
联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.
【详解】
（1）设(),Q x y
y a =+，化简得2
4x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为2
4x ay =，
它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线. （2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
. 因为2
4x y a
=，所以2x y a '=， 从而直线PA 的斜率为2
402t a t a t a
+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.
要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.
设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理，
得22440x akx a -+=.
首先，()221610a k ∆=->，解得1k <-或1k >.
其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则124x x ak +=，2124x x a =.
()()2112121212
FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()2112121212
2222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==- 224204a ak k a ⋅=-
=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，
此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .
【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档
题.
23．已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．
（1）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值；
（2）若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+．
【答案】（1）最小值为
73，此时23
m n ==；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）由已知得2222()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++，
法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-，根据二次函数的最值可求得； 法二:运用基本不等式构造22
221(24+4)3m n m n n m +≥+214=(2)=33
m n +，可得最值； 法三：运用柯西不等式得：222222222=)(111112(()3)3m n m n n m n n +++≥++++，可得最值； （2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n -=-⋅+-<+-，又
1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，可得证.
【详解】
（1）2222
()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++，
法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-， 2222277()2()(22)216856()333
f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥ ()2()f m f n ∴+的最小值为73，此时23
m n ==； 法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+Q 214=(2)=33
m n +， 47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为73，此时23
m n ==； 法三：由柯西不等式得：
2222222222=)(11111142(()(2)333)3
m n m n n m n n m n +++≥++=+=++， 47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为73，此时23
m n ==； （2）1m n -<Q ，22
()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-， 又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+， |()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.
【点睛】
本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.。