材力理力公式汇总

1
材料力学公式汇总
一、应力与强度条件1、拉压[]
σσ≤=max
max A
N 2、剪切[]ττ≤=
A Q
max 挤压[]
挤压
挤压挤压σσ≤=
A
P 3、圆轴扭转[]ττ≤=
Wt
T
max 4、平面弯曲①[]
σσ≤=max
z max W M
②[]
max t max t max max σσ≤=y I M
z t max c max max y I M
z
c =σ[]
cnax σ≤5、斜弯曲
[]
σσ≤+=
max
y
y
z z max W M W M 6、拉（压）弯组合[]
σσ≤+=
max
max z
W M A N []t max t z max t σσ≤+=
y I M A N z
[]c max c z
z
max c σσ≤-=
A
N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论[]
στσσ≤+=
+=
z
2n
2w 2n
2w
r34W M M ②第四强度理论
[]
στσσ≤+=
+=
z
2n
2w 2n
2
w
r475.03W M M ③[]
ττ≤⋅=b
I S Q z *max z max max
二、变形及刚度条件１、拉压∑
⎰
===
∆L
EA
x x N EA
L N EA
NL
L d )(i
i ２、扭转()⎰
=
∑==Φp
p
i i p GI dx
x T GI L T GI TL
π
φ0180⋅
=Φ=p GI T L （m / ）
３、弯曲(1)
积
分
法
:
)
()(''x M x EIy =C
x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD
Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰
d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…，
()21,P P θ=()()++21P P θθ…
(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)
EI ML B =
θEI PL B 22
=
θEI qL B 63
=
θEI
ML f B 22
=
EI PL f B 33
=
EI
qL f B 84
=
EI ML B 3=θ,EI ML
A 6=θEI
PL A
B 162=
=θθEI
qL A
B 243=
=θθEI
ML f c 162=
EI
PL f c 483
=
EI
qL f c 3844
=
(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)
EI
L M U 22=
=i i i EI L M 22∑=()⎰
EI dx
x M 22(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)
=∂∂=
∆i i P U ()()⎰
∂∂∑dx P x M EI x M i
三、应力状态与强度理论
１、二向应力状态斜截面应力
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y x --++=α
τασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
2
2min max )2(2xy
y x y x τσσσσσσ+-±+=y
x xy
σστα--=
22tg 0３、二向应力状态的极值剪应力
2
2max )2
(
xy
y
x τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45
P
A
B M
A
B A B
q
L L
L
L
L
４、三向应力状态的主应力：3
21σσσ≥≥最大剪应力：2
3
1max σστ-=
5、二向应力状态的广义胡克定律
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）
)(1
y x x E μσσε-=
)(1
x y y E
μσσε-=
)(y x z E σσμ
ε+-
=G
xy
xy τγ=
（2）、表达形式之二（用应变表示应力）
)
(12
y x x E μεεμσ+-=
)
(12
x y y E μεεμσ+-=0=z σxy
xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律
()[]z y x x E
σσμσε+-=
1
()
z y x ,,G
xy
xy τγ=
()
zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤[]b
b
n σσ=（2）[]
σσσσ≤-=313r ()()()[]
21323222142
1
σσσσσσσ-+-+-=
r []σ≤[]s s
n σσ=8、平面应力状态下的应变分析
（1）αγαεεεεεα2sin 22cos 2
2
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛---++=xy y x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22y
x αγ2cos 2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-xy （2）2
2min max 222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεε
y
x xy
εεγα-=
02tg 四、压杆稳定
1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）
①细长受压杆p λλ≥()2
min 2cr L EI P μπ=22cr λπσE
=②中长受压杆s p λλλ≥≥λ
σb a -=cr ③短粗受压杆
s
λλ≤“cr σ”=s σ或b σ2、关于柔度的几个公式i
L
μλ=
p
2p σπλE =
b
a s s σλ-=
3、惯性半径公式A
I i z =
（圆截面4
d
i z =
，矩形截面12
min b i =
（b 为短边长度））
五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程U
V T ∆=∆+∆冲击系数
st
d 211∆++=h
K （自由落体冲击）st
20
d ∆=
g v K （水平冲击）六、截面几何性质
1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）
⎰
=dA I P 2
ρ=
32
4
d π()44
132
απ-D D
d =
α⎰
=
=64
4
2
d dA y I z π(
)44
164απ-D 123bh 123hb 32
3
max d y I W z z π=
=(
)
43
132
απ-D 6
2bh 6
2hb 2、惯性矩平移轴公式
A
a I I 2zc z +=3截面的几何参数
序号公式名称公式符号说明
（3.1）
截面形心位置
A
zdA z A
c
⎰=
，A
ydA y A
c
⎰=
Z 为水平方向Y 为竖直方向
（3.2）截面形心位置
∑∑=
i
i i c A
A z z ，∑∑=
i
i
i c A
A y y （3.3）面积矩⎰=A
Z ydA S ，⎰=A
y zdA
S （3.4）面积矩i i z y A S ∑=，i i y z A S ∑=（3.5）
截面形心位置
A
S z y c =
，A
S y z c =
（3.6）面积矩c y Az S =，c z Ay S =（3.7）轴惯性矩dA y I A
z ⎰=2，dA
z I A
y ⎰=2（3.8）极惯必矩dA
I A
⎰=2ρρ（3.9）
极惯必矩
y z I I I +=ρ（3.10）惯性积dA
zy I A
zy ⎰=（3.11）轴惯性矩A i I z z 2=，A i I y y 2
=（3.12）惯性半径
（回转半径）A
I i z
z =
，A
I i y y =（3.13）面积矩
轴惯性矩极惯性矩
∑=zi z S S ，∑=yi y S S ∑=zi z I I ，∑=yi
y I I
惯性积
∑=i I I ρρ，∑=zyi zy I I （3.14）平行移轴公式
A a I I zc z 2+=A b I I yc y 2+=abA
I I zcyc zy +=4应力和应变
序号公式名称公式
符号说明
（4.1）轴心拉压杆横截面上的应力A N =
σ（4.2）危险截面上危险点上的应力A
N =max σ（4.3a ）轴心拉压杆的纵向线应变l
l ∆=
ε（4.3b ）轴心拉压杆的纵向绝对应变l
l l l .1ε=-=∆（4.4a ）（4.4ab 虎克定理
ε
σE =E
σε=
（4.5）虎克定理EA
l N l .=
∆（4.6）
虎克定理∑
∑==∆i
i i i i EA l N l l ε（4.7）横向线应变b
b b b b -=∆=
1'ε（4.8）
泊松比（横向变形系数）
εεν'
=
νε
ε-='（4.9）剪力双生互等定理
y x ττ=（4.10）剪切虎克定理γτG =（4.11）
实心圆截面扭转轴横截面上的应力
ρ
ρρτI T =
（4.12）
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力ρ
τI TR =
max （4.13）
抗扭截面模量（扭转抵抗矩）R I W T ρ=
（4.14）
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力T
W T =max τ（4.15）
圆截面扭转轴的变形
ρ
ϕGI l T .=
（4.16）
圆截面扭转轴的变形
∑∑==i
i i i GI l T ρϕϕ（4.17）
单位长度的扭转角
l ϕθ=
，ρ
θGI T =（4.18）
矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力
3
max b T
W T T βτ==
T W 是矩形截
面
T W 的扭转抵
抗矩
（4.19）
矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力
max
1γττ=（4.20）
矩形截面扭转轴单位长度的扭转角
4
b G T
GI T T αθ=
=
T I 是矩形截
面的
T I 相当极惯
性矩
（4.21）
矩形截面扭转轴全轴的扭转角
4
..b G l T l αθϕ=
=γβα,,与截面高宽
比b h /有关的参数
（4.22）
平面弯曲梁上任一点上的线应变
ρ
εy
=
（4.23）
平面弯曲梁上任一点上的线应力ρ
σEy
=
（4.24）
平面弯曲梁的曲率
z EI M =
ρ
1
（4.25）
纯弯曲梁横截面上任一点的正应力
z
I My =
σ（4.26）
离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力z I y M max
max .=
σ（4.27）
抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）max y I W z =
（4.28）
离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力z
W M =
max σ（4.29）
横力弯曲梁横截面上的剪应力
b
I VS z z *
=
τ*
z
S 被切割面积对中性轴的
面积矩。

（4.30）
中性轴各点的剪应力
b
I VS z z *max max
=
τ（4.31）矩形截面中性
轴各点的剪应力bh V 23max =
τ（4.32）工字形和T 形截面的面积矩*
**ci
i z y A S ∑=（4.33）
平面弯曲梁的挠曲线近似微分方程
)
("
x M EIv z -=V 向下为正X 向右为正
（4.34）
平面弯曲梁的挠曲线上任一截面的转角方程
⎰+-==C
dx x M EI v EI z z )('θ（4.35）
平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程⎰⎰++-=D
Cx dxdx x M v EI z )(（4.36）
双向弯曲梁的合成弯矩
2
2y
z M M M +=
（4.37a ）拉（压）弯组合矩形
截面的中性轴在Z 轴上的截距p
y
z z i z a 20-
==p p y z ,是集中
力作用点的标
（4.37b ）拉（压）弯组合矩形
截面的中性轴在Y 轴上的截距
p
z y y i y a 2
0-
==5应力状态分析
序号公式名称公式符号说明
（5.1）
单元体上任
意截面上的正应力
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2x y
x y x --++=（5.2）
单元体上任
意截面上的剪
应力
α
τασστα2cos 2sin 2x y
x +-=（5.3）
主平面方位角
y x x
σστα--=22tan 0（反号与x τα0）（5.4）
大主应力的计算公式2
2
max 22x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5.5）
主应力的计算公式2
2
max 22x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+=（5.6）单元体中的
最大剪应力2
31
max σστ-=（5.7）
主单元体的
八面体面上的剪应力
()()()23223122131σσσσσστ-+-+-=
（5.8）
α面上的线
应变α
γαεεεεεα2sin 22cos 22xy
y x y x +-++=（5.9）
α
面
与
α+o 90面之间的角应变
α
γαεεγ2cos 2sin )(xy y x xy +--=（5.10）
主应变方向
公式
y x xy
εεγα-=
02tan （5.11）大主应变
4222
2
max
xy
y x y x γεεεεε+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5.12）小主应变
4222
2
max
xy y x y x γεεεεε+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+=（5.13）
xy γ的替代公式
y
x xy εεεγ--=0
452（5.14）主应变方向
公式y
x y
x εεεεεα---=
045022tan （5.15）大主应变
2
452
45max
2220
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=εεεεεεεy x y x （5.16）小主应变
2
45
2
45max 2220
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=εεεεεεεy x y x （5.17）简单应力状
态下的虎克定理
E x x σε=，E x y σνε-=，E x
z σνε-=（5.18）空间应和状
态下的虎克定理
()[]z y x x E
σσνσε+-=1()[]x z y y E
σσνσε+-=1()[]y x z z E
σσνσε+-=1
（5.19）平面应力状
态下的虎克定理（应变形
式）)
(1y x x E
νσσε-=)
(1x y y E
νσσε-=)
(y x z E
σσν
ε+-=
（5.20）平面应力状
态下的虎克定理（应力形
式）)
(12
y x x E νεενσ+-=)
(12
x y y E νεενσ+-=0
=z σ（5.21）按主应力、主应变形式写出广义虎克定理
()[]32111
σσνσε+-=
E ()[]
13221
σσνσε+-=E ()[]
21331
σσνσε+-=E （5.22）二向应力状
态的广义虎克定理
)
(1
211νσσε-=E )
(1
122νσσε-=E
)(213σσν
ε+-=E （5.23）二向应力状
态的广义虎克定理
)
(12121νεενσ+-=E )(1212
1νεενσ+-=E )(1122
2νεεν
σ+-=E
3=σ（5.24）剪切虎克定理
xy
xy G γ
τ-=yz yz G γτ-=zx
zx G γτ-=2内力和内力图
序号公式名称公式
符号说明
（2.1a ）（2.1b ）
外力偶的
换算公式
n N T k e 55.9=n
N T p e 02
.7=
（2.2）
分布荷载集度剪力、弯矩之间的关系
)()
(x q dx
x dV =)(x q 向上
为正
（2.3）)()
(x V dx
x dM =（2.4）
)()
(2
2x q dx x M d =6强度计算
序号
公式名称
公式符号说明
（6.1）
第一强度理论：最大拉应力理论。

当）
f ）f u ut 塑性材料脆性材料.((*11==σσ时，材料发生脆性断裂破坏。

（6.2）
第二强度理论：最大伸长线应变理论。

当
）
f ）（）f u ut 塑性材料脆性材料(()(*3211
321=+-=+-σσνσσσνσ时，材料发生脆性断裂破坏。

（6.3）
第三强度理论：最大剪应力理
当
）
f ）
f uc y 脆性材料塑性材料((3131=-=-σσσσ时，材料发生剪切破坏。

论。

（6.4）第四
强度
理论：八面体面剪切理论。

当
()()()
[]
()()()
[]）
f
）
f
uc
y
脆性材料
塑性材料
(
2
1
(
2
1
2
3
2
2
3
1
2
2
1
2
3
2
2
3
1
2
2
1
=
-
+
-
+
-
=
-
+
-
+
-
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
时，材料发生剪切破坏。

（6.5）第一
强度理论的相当应力
1 *
1
σσ=
（6.6）第二
强度
理论
的相
当应
力
）
（
3
2
1
*
2
σ
σ
ν
σ
σ+
-
=
（6.7）第三
强度理论的相当应力
3
1
*
3
σ
σ
σ-
=
（6.8）第四
强度
理论
的相
当应
力
()()()
[]2
3
2
2
3
1
2
2
1
*
42
1
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ-
+
-
+
-
=
（6.9a）由强
度理
论建
立的
强度
条件
]
[ *σσ≤
（6.9b）（6.9c）（6.9d）由直
接试
验建
立的
强度
条件
]
[
max t
t
σ
σ≤
]
[
max c
c
σ
σ≤
][
max
τ
τ≤
（6.10a）（6.10b）轴心
拉压
杆的
强度
条件
]
[
max t
t A
N
σ
σ≤
=
]
[
max c
c A
N
σ
σ≤
=
（6.11a）（6.11b）
（6.11c）（6.11d）由强
度理
论建
立的
扭转
轴的
强度
条件
]
[
max
1
*
1t
T
W
T
σ
τ
σ
σ≤
=
=
=(适用于脆性材料)
）
（
3
2
1
*
2
σ
σ
ν
σ
σ+
-
==]
[
)
1(
)
0(max
max
max t
σ
τ
ν
τ
ν
τ≤
+
=
-
-
ν
σ
τ
+
≤
=
1
]
[
max
t
T
W
T(适用于脆性材料)
()][
2max
max
max
3
1
*
3
σ
τ
τ
τ
σ
σ
σ≤
=
-
-
=
-
=
2
]
[
max
σ
τ≤
=
T
W
T(适用于塑性材料)
()()()
[]
()()()
[]
]
[
3
2
1
2
1
max
2
max
max
2
max
2
max
2
3
2
2
3
1
2
2
1
*
4
σ
τ
τ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
≤
=
-
-
+
+
+
-
=
-
+
-
+
-
=
3
]
[
max
σ
τ≤
=
T
W
T(适用于塑性材料)
（6.11e）由扭
转试
验建
立的
强度
条件
][ max
ττ≤
=
T
W
T
（6.12a）平面
弯曲
梁的
]
[
max t
Z
t W
M
σσ≤
=
（6.12b）正应
力强度条件
]
[
max c
Z
c W
M
σσ≤
=
（6.13）平面
弯曲梁的剪应力强度条件
][
*
max
max
ττ≤
=
b I
VS
Z
Z
（6.14a）（6.14b）平面
弯曲
梁的
主应
力强
度条
件
]
[
42
2
*
3
σ
τ
σ
σ≤
+
=
]
[
32
2
*
4
σ
τ
σ
σ≤
+
=
（6.15a）（6.15a）圆截
面弯
扭组
合变
形构
件的
相当
弯矩
W
M
W
T
M
M
y
Z
*
3
2
2
2
3
1
*
3
=
+
+
=
-
=σ
σ
σ
()()()
[]
W
M
W
T
M
M
y
Z
*
4
2
2
2
2
3
2
2
3
1
2
2
1
*
4
75.0
2
1
=
+
+
=
-
+
-
+
-
=σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
（6.16）螺栓
的抗
剪强
度条
件
][
4
2
τ
π
τ≤
=
d
n
N
（6.17）螺栓
的抗
挤压
强度
条件
]
[b
c b
c t
d
N
σσ≤
=
∑
（6.18）贴角
焊缝
的剪
切强
度条
件
]
[
7.0
w
f
w
f
l
h
N
τ
τ≤
=
∑
7刚度校核
序号公式名称
公式符号说明
（7.1）构件的刚度条件].[max l
l ∆
≤∆（7.2）扭转轴的刚度条件
][max θθρ
≤=
GI T
（7.3）平面弯曲梁的刚度条件
][max l
v
l v ≤8压杆稳定性校核
序号公式名称公式
符号说明（8.1）两端铰支的、细
长压杆的、临界力的欧
拉公式
2
2l EI
P cr π=I 取最小值
（8.2）细长压杆在不同
支承情
况下的临界力公式
2
2).(l EI P cr μπ=l
l .0μ=0l —计算长度。

μ—长度系数；一端固定，一端自由：
2
=μ一端固定，一端铰支：
7
.0=μ两端固定：5
.0=μ（8.3）压杆的柔度
i
l
.μλ=
A
I
i =
是截面的惯性半径
（回转半径）
（8.4）压杆的临界应力
A
P cr cu =σ2
2λ
πσE cu
=（8.5）欧拉公式的适用
范围
P
P f E π
λλ=≥
（8.6）抛物线公式
当y
c f E
57.0π
λλ=≤时，
])(
1[2c
y cr f λλασ-=A f A P c
y cr cr ].)(
1[2
λλασ-==y f —压杆材料的屈
服极限；
α—常数，一般取43
.0=α（8.7）安全系数法校核
压杆的稳定公式
][cr w
cr
P k P P =≤
（8.8）折减系数法校核
压杆的稳定性]
.[σϕσ≤=A
P ϕ—折减系数]
[]
[σσϕcr =
，小于110动荷载
序号
公式名称
公式
符号说明
（10.1）动荷系
数j
d
j d j d j d d N N P P K ∆∆====σσP-荷载
N-内力σ-应力∆-位移d-动j-静
(10.2)
构件匀加速上升或下降时的动荷系数
g
a
K d
+=1a-加速度
g-重力加速度
（10.3）构件匀加速
上升或下降时的动应力
j j d d g
a
K σσσ)1(+==(10.4)动应力强度条件
]
[max max σσσ
≤=j d d K 杆件在静荷载作用下-][σ的
容许应力
（10.5）构件受竖直方向冲击时的动荷系数
j
d
H
K ∆++=211H-下落距离
（10.6）构件受
骤加荷载时的动荷系数
2
011=++=d K H=0
（10.7）构件受竖直方向冲击时的动荷系数
j
j d g v K ∆+
+=2
11v-冲击时的速度
（10.8）疲劳强
度条件K
ρ
ρσ
σσ=≤][max ρσ-疲劳极限
][ρσ-疲劳应力容许值
K-疲劳安全系数
9能量法和简单超静定问题
序号公式名称公式
（9.1）
外力虚功：
I
i e e P M P P W ∆=++∆+∆=∑...332211θ（9.2）内力虚功：
∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰-∆-∆--=l
l
l
l
Td l Nd Vd d M W ϕ
γθ（9.3）虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：0
=+W W e （9.4）虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：W
W e -=（9.5）
莫尔定理：
∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰-
--
--
--
-+∆+∆+=∆l
l
l
l
d T l d N d V d M ϕ
γθ（9.6）莫尔定理：
∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰
-
--
--
--
-+++=∆l l l l dx GI T
T dx EA NN dx GA V V K dx EI M M ρ
（9.7）桁架的莫尔定理：
l EA
NN ∑
--=∆（9.8）变形能：
W U -=（内力功）（9.9）变形能：
e W U =（外力功）
（9.10）
外力功表示的变形能：
I i i
i P P P P U ∆=∆+∆+∆=∑2
121...21212211（9.11）内力功表示的变形能：
∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰+++=∆l l l l dx
GI x T dx EA x N dx GA x KV dx EI x M ρ
2)
(2)(2)(2)(2222（9.12）卡氏第二定理：
i
i P U ∂∂=
∆（9.13）卡氏第二定理计算位移公式：
∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∆l l l i
i i i l i dx
P T
GI T dx P N EA N dx P V GA KV dx P M EI M ρ（9.14）卡氏第二定理计算桁架位移公式：
l
P N
EA N i i ∂∂=∆∑
（9.15）卡氏第二定理计算超静定问题：
=∂∂=∆∑⎰
dx R M
EI M B
l By （9.16）莫尔定理计算超静定问题：
0==∆∑⎰
-
-dx EI
M
M l By （9.17）一次超静定结构的力法方程：
1111=∆+P X δ（9.18）
1X 方向有位移∆时的力法方程：
∆
=∆+P X 1111δ（9.19）自由项公式：
dx
EI
M M l P
P ∑⎰
-
-=∆11（9.20）主系数公式：
dx EI
M l ∑⎰
--=21
11δ（9.21）桁架的主系数与自由项公式：
∑⎰
--=l EA l N 2
111δ∑⎰
--=∆l P P EA
l N N 11
理论力学（复习课提纲）
第一部分静力学
第1章静力学公理和物体的受力分析
1、五大公理（尤其要注意以下三大公理的应用）
公理2二力平衡条件
公理3推理2三力平衡汇交原理
公理4作用和反作用定律
2、约束类型
3、物体的受力分析图
步骤：（1）取隔离体，（2）画出所有的主动力，（3）画出所有的被动力
画受力图应注意的问题:
1、不要漏画力
2、不要多画力
3、不要画错力的方向
4、受力图上不能再带约束
5、受力图上只画外力，不画内力。

6、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相互协调，不能相互矛盾。

7、正确判断二力构件
第2章平面力系
§2.1、平面汇交力系的平衡方程
0x
F =∑0
y
F
=∑§2.2、平面力对点的矩的概念及计算（有两种方法）:
方法（1）定义：O M (F)F h =±⋅
,代数量,
正负：逆正顺负.
方法（2）把力分解成：x F ,y F ，利用合力矩定理计算
§2.3、平面力偶：力和力偶是静力学的两个基本要素一、力偶矩
M F d
=±⋅a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向二、力偶与力偶矩的性质
1、力偶在任意坐标轴上的投影等于零
2、力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

力矩的符号()o M F
，力偶矩的符号M
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且
可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。

4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。

三、平面力偶系平衡的充要条件
i
M
=∑§2.3平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点简化：一个主矢和一个主矩主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。

平面任意力系平衡方程：
（一矩式）
000
x y O F F M ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑（二矩式）000x A B F M M ⎧=⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
（三矩式）000
A B C M M M ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑三个取矩点，不得共线
§2.5物系的平衡
12
P ql =
23
h l
=
一般先分析整体，再局部；
也有先局部再整体，或先局部再局部；
矩心尽量取在较多未知力的交点上；
投影轴尽量与较多未知力相垂直。

2.6平面简单桁架的内力计算
节点法（平面汇交力系）：适用于求解所有杆件的内力。

截面法（平面任意力系）：求解指定杆件的内力
也有用到截面法和节点法的综合应用。

零杆的判断
：
先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,与所设方向相反。

第3章空间力系
重心求解：（形心公式）
(1)
分割法
(2)负面积法
第4章摩擦
静滑动摩擦力动滑动摩擦力全约束力
摩擦角：物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹角
滚动摩阻
最大滚动摩阻
第5章点的运动学
5.1矢量法（定义）
运动方程
速度加速度5.2直角坐标法运动方程
max s N
F f F =⋅max 0s F F ≤≤d d N
F f F =⋅RA
F f tan s
f ϕ=max
0f M M ≤≤()r r t = ()
dr t v dt =
22
()dv t d r a dt dt
== ()()
()
x x t y y t z z t ===max N
M F δ=
运动轨迹（由运动方程消除参数t 得到）
速度
加速度
5.3自然法运动方程速度：
ds/dt>0，则速度与τ的正向相同
加速度：
切向加速度法向加速度
第六章刚体的基本运动
6.1刚体的平行移动
d d d d d d d d x y z r x y z v i j k v i v j v k
t t t t ==++=++ d d d d d d d d y x z x y z v v v v a i j k a i a j a k
t t t t
==++=++ d d x x v t
=
d d y y v t
=
d d z z
v t
=
22
d d d d x x v x a t t
==22
d d d d y y v y a t t =
=22
d d d d z z v z
a t t
==ds
d v t
=
()
s f t =2t 2
d d d d v s
a t t =
=2
2
n 1d (d v s a t
ρρ==2
n d d v v t ρτ=+=+a a a τ
n
a =
刚体的平移定义：
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置，这种运动称为平行移动。

结论：当刚体作平动时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

6.2刚体绕定轴的转动运动方程：单位:弧度(rad)
角速度：
)
n n n (rad/s 10
30602≈==ππω角加速度：
与ω方向一致为加速转动,与ω方向相反为减速转动
当ω=常数,为匀速转动；当
常数,为匀变速转动。

6.3转动刚体内各点的速度和加速度即转角
、角速度和角加速度
是对刚体定轴转动
的整体运动的描述。

而刚体内各点的速度、加速度是刚体绕定轴转动的局部性质的度量。

()
f t ϕ=d d d d t t ϕ
ϕω⎧⎪
=⎨
⎪
⎩：大小方向：逆时针为正
22d d d d t t
ωϕ
αω
ϕ==== ααα=ω
α
ϕ
点的运动方程：速度：大小：角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积。

方向：沿圆周的切线而指向转动的一方。

加速度：
切向加速度大小：角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积。

方向：由角加速度的符号规定6.4轮系的传动比
第7章点的合成运动
7.1相对运动牵连运动绝对运动
一个动点，两个坐标系，三种运动一．动点：所研究的点（运动着的点）二．两个坐标系
1.静坐标系（静系）
s R ϕ
=v s
R R ϕω=== t 2
2
n v
a R t v a R α
ωρ
====d
d a ==12212211
R z i R z ωω=±
=±=±
2.动坐标系（动系）：
三．三种运动及三种速度与三种加速度
１．绝对运动：动点对静系的运动。

２．相对运动：动点对动系的运动。

３．牵连运动：动系相对于静系的运动刚体的运动
相对轨迹相对速度相对加速度绝对轨迹绝对速度绝对加速度
牵连速度和牵连加速度在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度四、动点的选择原则：
一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。

五、动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。

7.2点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相
点的运动
r
v
r
a a v
a
a e
a e v
对速度的矢量和
7.3点的加速度合成定理
（1）动系作定轴转动：
科氏加速度
方向按右手法则确定
（2）动系作平移：一般地
二．解题步骤
1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。

a r e =+ v v v a e r C
a a a a =++ r
e C 2v a
⨯=ωC e r 2sin a v ωθ
=C 0
a =
n n t n a a e e r r c
a a a a a a a ττ+=++++
注意：
（1）选择接触点为动点：机构传动,传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。

（2）选择非接触点为动点：特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化。

此时,这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。

速度问题：一般采用几何法求解简便,即作出速度平行四边形；
加速度问题：往往超过三个矢量,一般采用解析（投影）法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。

第八章刚体的平面运动
§8-1刚体平面运动的概述和运动分解一．刚体平面运动的定义
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。

即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动。

二.平面运动分解
刚体的平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。

§8-2求平面图形内各点速度的基点法
1.基点法
大小
方向垂直于
，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。

2.速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

§8-3
求平面图形内各点的瞬心法
一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。

平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。

3.速度瞬心的确定方法（1）已知
的方向，
且不平行于。

BA v BA ω
=⋅B A BA
v v v =+ BA v =
AB ω
()()B AB A AB
v v = B A v v
,A v B v
（2）
且不垂直于瞬时平移(瞬心在无穷远处)
(3)纯滚动约束(只滚不滑)
瞬时平移与平移的区别
：
此时AB 杆上各点的速度都相等,但各点的加速度并不相等。

设匀ω，则
而的方向沿OB 的，
注意的问题：
①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不
A B v v
AB
00B A AB
BA AB B A M
v v v v v v v ω=+⇒=⇒=⇒==
2()
n A A a a OA ω==⋅↓
B a A B a a ≠
断变化的。

在任一瞬时是唯一存在的。

②速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零。

不同于定轴转动
③刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速
度是不一定相同的。

不同于刚体作平动。

§8-4用基点法求平面图形内各点的加速度
大小
方向垂直于，指向
同
大小方向由
指向平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

第九章质点动力学的基本方程§9-1
动力学的基本定律
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

第二定律（力与加速度之间关系定律）
t n B A BA BA
a a a a =++ AB α
t BA a AB α
=⋅t BA
a n
BA
a B A
2n BA a AB
ω=⋅
第三定律(作用与反作用定律)
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。

§9-2
质点的运动微分方程
矢量形式：
22d d i
i ma F r
m F t
=∑=∑
1.在直角坐标轴上的投影
2.在自然轴上的投影
第十章动量定理
§10-1动量与冲量
一．动量(momentum)1、质点的动量2、质点系的动量二、冲量(Impulse)1、
常力的冲量
2
,,0t t n b
v ma F m
F F ρ
===∑∑∑p mv = 1
n i i c
i p m v mv ===∑
I Ft
=
2、变力的元冲量在～内的冲量
冲量的单位与动量单位同。

§10-2动量定理
1.质点的动量定理微分形式:积分形式:
2.质点系的动量定理微分形式:投影式：
积分形式:
投影式
3．质点系动量守恒定律若,
恒矢量
若
,
恒量
10-3
质心运动定理
一、质心运动定理
dI Fdt = 21
t t I Fdt
=⎰ 1t 2t m/s
kg s m/s
kg s N 2
⋅=⋅⋅=⋅()d mv Fdt dI
==
21
21d t t mv mv F t I
-==⎰
()e i dp
F dt =∑ ()e x x dp F dt =∑()y
e y dp F dt
=∑()e z
z dp F dt
=∑()
211
n
e i i p p I =-=∑
()21e x x x
p p I
-=∑()21e y y y
p p I
-=∑()
21e z z z p p I -=∑()
0e i F ≡∑ p =
()0
e x F ≡∑x p =
在直角坐标轴上的投影式为:
在自然轴上的投影式为：
二、质心运动守恒定律若,恒矢量若
,
恒量
应用质心运动定理解题的步骤如下：
(1)选取研究对象，分析受力(画出质点系所受全部外力，包括主动力和约束反力)。

(2)如果外力主矢等于零，或外力在某轴上的投影为零，则应用质心运动守恒定理求解。

若初始静止，则质心的坐标保持不变。

分别计算两个时刻质心的坐标(用各质点的坐标表示)，令其相等，即可求出所要求的某质点位移。

（3）如果外力主矢不等于零,若已知质心的运动规律,先求出质心加速度,然后应用质心运动定理求未知力(一般为约束反力)；若已知作用于质点系的外力，先计算质心坐标，然后应用质心运动定理求某质点的运动规律。

()
1
n e c i i ma F ==∑
()e cx x
ma F
=∑()e cy y
ma F =∑()e cz z
ma F =∑()
e c t dv m F dt
=∑2
()e c n
v m F
ρ
=∑()
0e b F =∑c v =
()0
e x F ≡∑cx v =()
0e i F ≡∑
第十一章
动量矩定理
§11-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩对点O 的动量矩对z 轴的动量矩二者关系
二、质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩二者关系
（1）刚体平移（2）刚体绕定轴转动
转动惯量
（3）刚体做平面运动
§11-2
动量矩定理
一、质点的动量矩定理
矢量式：
投影式：二、质点系的动量矩定理
()O M mv r mv
=⨯ ()()z O xy M mv M mv ⎡⎤=⎣⎦ [()]()
O z z M mv M mv = 1
()
n O O i i i L M m v ==∑ 1
()
n z z i i i L M m v ==∑
[]O z z
L L =
()
O O C L M mv = ()
z z C L M mv =
ω
z z J L =2
z i i J m r =∑()z z C C L M mv J ω
=+
d ()()d O O M mv M F t
=
d ()()d y y M mv M F t = d ()()d x x M mv M F t
=
d ()()d z z M mv M F t =
矢量式：
投影式
三、动量矩守恒定律若,恒矢量若
,恒量
§11-3刚体绕定轴的转动微分方程
一、转动微分方程：
或或
§11-4刚体对轴的转动惯量
一、
简单形状物体的转动惯量计算
（1）均质细直杆对一端的转动惯量
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板对中心轴的转动惯量二、回转半径（惯性半径）
三、平行轴定理
(e)d ()d O
O i L M F t
=∑
(e)d ()d x
x i L M F t
=∑ (e)d ()
d y y i L M F t =∑ (e)d ()d z
z i L M F t
=∑ O L = ()
()0e O M F ≡∑ ()
()0e Z M F ≡∑ z L =()
z z J M F α=∑
()z z d J M F dt
ω
=∑ 22()z z d J M F dt
ϕ
=∑ 2
z i i
J m r =∑2
13z J ml
=2
z J mR =2
12
o J mR =2
z z J m ρ=2
J J md =+
要求记住三个转动惯量★（1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量（2）均质细直杆对一端的转动惯量（3）
均质细直杆对中心轴的转动惯量
§11-5质点系相对于质心的动量矩定理
一．对质心的动量矩
二
相对质心的动量矩定理
§11-6刚体的平面运动微分方程（★）
矢量式：投影式：
第十二章
动能定理
§12-1力的功
2
12
ml 23ml 22mR O C C C
L r mv L =⨯+
()e d ()d C
C i L M F t
=∑
()()e e ()C C C ma F J M F α⎫=∑⎪
⎬
=∑⎪⎭
()
()
()e e e ()Cx x
Cy y C C ma F ma F J M F α⎫
=∑⎪⎪=∑⎬
⎪
=∑⎪⎭
()
()()e t
e n
e ()C
t
C n C C ma F ma F J M F α⎫
=∑⎪⎪=∑⎬
⎪
=∑⎪⎭
一、常力在直线运动中的功
二、变力在曲线运动中的功元功
三、几种常见力的功（★）1.重力的功
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

2.弹性力的功
弹性力的功也与路径无关
3.定轴转动刚物体上作用力的功
4.任意运动刚体上力系的功
§12-2
质点和质点系的动能（★）
1.质点的动能
2.质点系的动能（1）平移刚体的动能
cos W F s F s
θ=⋅=⋅
δd W F r
=⋅ d d d x y z W F x F y F z
δ=++1212()
C C W mg z z =-2
21212()2
k W δδ=
-δd z W M ϕ
=1221()
z W M ϕϕ=-δ'd d R C C W F r M ϕ
=⋅+
2
12T mv
=2
1
2i i T m v =∑2
1
2C T mv =21
ω
（2）定轴转动刚体的动能
（3）平面运动刚体的动能
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.
§12-3
动能定理
1.质点的动能定理微分形式:积分形式:
2.质点系的动能定理微分形式:积分形式:
3.理想约束及内力的功
称约束力作功等于零的约束为理想约束.内力作功之和不一定等于零.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.刚体的内力功之和等于零。

不可伸长的绳索内力功之和等于零。

一般情况下，滑动摩擦力作负功。

但当物体在固定面上作纯滚动时，滑动摩擦力不作功。

§12-5势力场.势能.机械能守恒定律
22
11
22
C C T mv J ω=+2
1d()δ2mv W =22211211
22
mv mv W -=d δi
T W =∑21i
T T W -=∑
（1）重力场中的势能
（2）弹性力场的势能
（3）万有引力场中的势能
取零势能点在无穷远3.机械能守恒定律
小结：
动力学的普遍三大定理的应用（★）
（1）三大定理，首选动能定理（2）动能定理的积分形式可求当为函数关系式，两边求导可求得相应的（3）用动能定理求
，再用刚体平面运动微分方程（即
动量和动量矩定理）求力。

第十三章
达朗贝尔原理(动静法)
§13-1
惯性力·质点系的达朗伯原理
惯性力的概念
§13-1惯性力·质点的达朗贝尔原理
()
0V mg z z =-()2
202
k V δδ=-0,0δ=为零势能点则
2
2k V δ
=12111V fm m r r ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
12
fm m V r
=-
2
211V T V T +=+I F ma
=- ,v ω
,a α,,,v a ωα
质点的达朗贝尔原理
§13-2
质点系的达朗贝尔原理
质点系的达朗贝尔原理
§13-3
刚体惯性力系的简化(★)
一、刚体平移惯性力系向质心简化:
只简化为一个力二、刚体定轴转动1、向O 点简化:
★
作用在O 点
2、向质心C 点简化
作用在C 点
三、刚体作平面运动（平行于质量对称面）向质心简化
应用动静法求动力学问题的步骤及要点：①选取研究对象。

原则与静力学相同。

②受力分析。

画出全部主动力和外约束反力。

③运动分析。

主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。

N I 0
F F F ++= N I 0
1,2,,i i i F F F i n
++== I R C
F ma =- 0
IC M =
IR C
F Ma =- IO O M J α
=-IR C
F Ma =- IC C M J α
=-⋅IC C M J α
=-IR C
F Ma =-
④虚加惯性力。

在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。

熟记刚体惯性力系的简化结果⑤列动静方程。

选取适当的矩心和投影轴。

⑥建立补充方程。

运动学补充方程（运动量之间的关系）。

⑦求解求知量。

[注]
的方向及转向已在受力图中标出，建立方程
时，只需按代入即可。

第十四章虚位移原理
虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。

§14-1
虚位移
一、虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移,只与约束条件有
关.
实位移：质点系真实实现的位移
虚功：力在虚位移上作的功称虚功
理想约束：
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端等
IR , IO
F M
, IR
C IO O F
ma M J α
==δ,δ,δr x ϕ
d ,d ,d r x ϕ
δδW F r
=⋅
δδW M ϕ
=N N N δδδ0
i i i W W F r ==⋅=∑∑。