2023年北京市初三二模数学试题汇编：几何综合(第27题)

2023北京初三二模数学汇编 几何综合（第27题）
一、解答题
1.（2023·北京东城·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，E 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），点F 与点A 关于直线DE 对称，连接DF ．作射线CF ，交直线DE 于点P ，设ADP α∠=．
（1）用含α的代数式表示DCP ∠；
（2）连接AP AF ，．求证：APF 是等边三角形；
（3）过点B 作BG DP ⊥于点G ，过点G 作CD 的平行线，交CP 于点H ．补全图形，猜想线段CH 与PH 之间的数量关系，并加以证明． 2.（2023·北京西城·统考二模）如图，在
ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线
段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒−得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．
（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，． ①依题意补全图形，并证明AC DG =； ②求证：DGB ACB ∠=∠； （2）若60α=︒，且FH
BC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．
3.（2023·北京海淀·统考二模）如图，在
ABC 中，边AB 绕点B 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）得到线
段BD ，边AC 绕点C 逆时针旋转180α︒−得到线段CE ，连接DE ，点F 是DE 的中点．
（1）以点F 为对称中心，作点C 关于点F 的对称点G ，连接BG DG ，． ①依题意补全图形，并证明AC DG =； ②求证：DGB ACB ∠=∠； （2）若60α=︒，且FH
BC ⊥于H ，直接写出用等式表示的FH 与BC 的数量关系．
4.（2023·北京朝阳·统考二模）在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到线段AE ，连接DE ．
（1）根据题意补全图形，并证明：EAC ADC ∠=∠；
（2）过点C 作AB 的平行线，交DE 于点F ，用等式表示线段EF 与DF 之间的数量关系，并证明．
5.（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC = 90°，AB = AC ，点D 是BA 延长线上一点，连接DC ，点E 和点B 关于直线DC 对称，连接BE 交AC 于点F ，连接EC ，ED ，D F 。

（1）依题意补全图形，并求∠DEC 的度数；
（2）用等式表示线段EC ，ED 和C F 之间的数量关系，并证明。

6.（2023·北京丰台·统考二模）如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD=CE ，
EB 的延长线交AD 于点F ． （1）求∠AFE 的度数；
（2）延长EF 至点G ，使FG=AF ，连接CG 交AD 于点H . 依题意补全图形， 猜想线段CH
与GH 的数量关系，并证明．
7.（2023·北京门头沟·统考二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 延长线上，且DC AC =，将ABC 延BC 方向平移，使点C 移动到点D ，点A 移动到点E ，点B 移动到点F ，得到EFD △，连接
CE ，过点F 作FG CE ⊥于G ．
（1）依题意补全图形； （2）求证：CG FG =；
（3）连接BG ，用等式表示线段BG ，EF 的数量关系，并证明．
C
E
D
B
A
F
8．（2023·北京顺义·统考二模）已知：∠ABC=120°，D ，E 分别是射线BA ，BC 上的点，连接DE ，以点
D 为旋转中心，将线段D
E 绕着点D 逆时针旋转60°，得到线段D
F ，连接EF ，BF . （1）如图1，当BD=BE 时，求证：BF=2BD ；
（2）当BD ≠BE 时，依题意补全图2，用等式表示线段BD ，BF ，BE 之间的数量关系，并证明．
图1 图2
9．（2023·北京燕山·统考二模）△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为边AB 的中点，点E 在线段CD
上，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接CF ．
(1) 如图1，当点E 与点D 重合时，求证：CF ＝AE ；
(2) 当点E 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)时，依题意补全图2；用等式表示线段CF ，ED ，AD 之间
的数量关系，并证明．
(图1)
A
B C F
D (
E )
D
C
B
A
E
(图2)
参考答案
1.（1）
解：∵点F 与点A 关于直线DE 对称，
∴DA DF =，PA PF =FDP ADP α∠=∠=，
APD FPD ∠=∠
∵菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，
∴AD AB CD ==，120ADC ∠=︒， ∴1202CDF α∠=︒− ∵DF AD CD ==， ∴()1
180302
DCP CDF α∠=
︒−∠=︒+， （2）证明：∵DFC DPF FDP ∠=∠+∠ ∴DPF DFC FDP ∠=∠−∠ ∵DF DC =
∴30DFC DCF α∠=∠=︒+ ∴3030DPF αα∠=︒+−=︒ ∴260APF DPA ∠=∠=︒ ∵,60PA PF APF =∠=︒ ∴APF 是等边三角形； （3）解：CH PH =，证明如下：连接,PB BD ，
∵APF 是等边三角形， ∴,60AD AB DAB =∠=︒， ∴ABD △是等边三角形，
∴PAF FAB DAB FAB ∠+∠=∠+∠ ∴PAB FAD ∠=∠， 在APB △和AFD △中，
,,,AP AF PAB FAD AB AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴.APB AFD ≌， ∴PB FD BD ==， ∵BG DP ⊥ ∴点G 为PD 中点 ∵CD GH ∥， ∴CH PH = 2.（1）
①依题意补全图形如图所示：
证明：∵AC 绕点逆时针旋转180°-α得到线段CE ∴AC CE =， ∵点F 是DE 的中点， ∴DF EF =，
∵点C 与点G 关于点F 对称， ∴CF GF =，
又∵=DFG EFC ∠∠， ∴
DFG EFC ≅，
∴DG CE =， ∴AC DG =；
②证明：∵边AB 绕点B 顺时针旋转α（<0°α<180°）得到线段BD ， ∴BD BA =，
设,,ACB x ABC y ∠=∠=则180()BAC x y ∠=−+. ∴在四边形
中，
360180()BDE CED BDC BCE x y ∠+∠=−∠−∠=−+
∵DFG EFC ≅， ∴GDF CEF ∠=∠；
∴180()BDG BDE GDF x y ∠=∠+∠=−+ ∴BDG BAC ∠=∠； ∴BDG BAC ≅， ∴DGB ACB ∠=∠； （2）FH BC =
3.（1）①依题意补全图形. ………………………………………1分
②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902
B C α
α︒−∠=∠=
=︒−.
∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒−.
∴B AFE ∠=∠. ………………………………3分
（2） 线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF . ………………………………4分
证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .
∴∠GAE =∠EAF =α.
∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC . ∵AB =AC ，AG =AF ， ∴△AGB ≌△AFC （SAS ）. ∴GB =FC .
B
C
∠
°
∠°
M C
∵E 为BD 中点， ∴BE =DE .
∵∠GEB =∠DEF ， ∴△GBE ≌△FDE （SAS ）. ∴GB =DF .
∴DF =CF . ………………………………………………………………………7分
4.（1）
补全的图形如图所示：
证明：∵90ACB ∠=︒， ∴90CAD ADC ∠+∠=︒，
由旋转的性质可知90EAD ∠=︒，即90CAD EAC ∠+∠=︒， ∴EAC ADC ∠=∠； （2）EF DF =；
证明：如图，作EM AC ⊥于点M ，与直线CF 交于点N ，
∴ 90EMA ACB ∠=∠=︒， 由旋转的性质可知AE AD =， 由（1）可知EAM ADC ∠=∠， ∴EAM ≅()AAS ADC △， ∴AM CD =，EM AC =， ∵AC BC =， ∴45CAB ∠=︒， ∵CN AB ∥，
∴45NCM CAB ∠=∠=︒，
∴MN MC =， ∴EN AM =， ∴EN CD =， ∵ EMC ACB ∠=∠ ∴EN CD ∥，
∴ ENF DCF ∠=∠， NEF CDF ∠=∠， ∴()ASA ENF DCF ≅， ∴EF DF =．
5.（1）补全图形 。

1分
连接CB ，
∵90BAC ∠=，AB AC =
∴45ABC ∠=。

2分 ∵点E 和点B 关于直线DC 对称 ∴EC =BC ，ED =BD ∵DC =DC
∴ΔEDC ≅ΔBDC （SSS ）
∴∠DEC =∠DBC =45∘。

3分
（2）ED +CF =√2EC 。

4分 ∵点E 、B 关于直线CD 对称 ∴EB ⊥CD ，设垂足为H 则∠CHF =90°=∠BAC ∵∠HFC =∠AFB
∴12∠=∠
∵AC =AB ，∠DAC =∠FAB =90∘ ∴ΔDAC ≅ΔFAB (ASA )
∴AD AF =。

5分
∴ED =BD =AD +AB =AF +AC =AC −CF +AC =2AC −CF 。

6分 ∵AC =
√22
BC =
√2
2
EC ∴ED =2×
√2
2
EC −CF =√2EC −CF
即ED +CF =√2EC 。

7分 （其他证法酌情给分） 27. 6.（1）解：∵等边△ABC ，
∴AB =BC ,∠ACB=∠ABC=60°. ∴∠ABD=∠BCE=120°. ∵CE =BD ，
∴△ABD ≌△BCE . ……1分 ∴∠D=∠E . ∵∠DBF=∠CBE ，
∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE . 即∠AFE=∠ACB=60°. ……2分 （2）正确补全图形；
……3分
CH=GH ； ……4分 证明：在EF 上截取FM=F A,连接AM ，CM .
M
G
F A
B
D
E
C
H
∵∠AFE=60°，
∴△AFM是等边三角形. ∴∠F AM=∠AFM=60°，
CG FG ∴=．
（3）猜想EF =．
理由：如图，连接AG
∵ABC EFD ≌
∴,BC FD AB EF ==
∴BC CF FD CF +=+
∴BF DC =
又∵DC AC =
∴BF AC =
∵45,90DCE GFC DCE GCA ∠=∠=︒∠+∠=︒
∴45GFC GCA ∠=∠=︒
又∵由（1）得：CG FG =
ACG BFG ∴≌
AG BG ∴=，AGC BGF ∠=∠；
∴AGC BGC BGF BGC ∠−∠=∠−∠，
即AGB CGF ∠=∠
∵FG CE ⊥于G
∴90AGB CGF ∠=∠=︒
AB ∴=，
EF ∴=．
8.（1）证明：∵DE 绕着点D 逆时针旋转60°得到DF ，
∴DE =DF ，∠EDF =60°．
∴△DEF 是等边三角形． ………………………………………… 1分 ∴FE =FD ，∠DFE =60°．
∵BD =BE ，∠ABC =120°，BF =BF ，
∴∠BDE =30°，△BDF ≌△BEF ．
∴∠BDF =90°，∠BFD =∠BFE =30°．
∴BF =2BD ． …………………………………………………… 3分
（2）依题意补全图2，如图．
数量关系为：BF =BD + BE ． ………………………………………………… 4分 证明：在DA 上截取DG ，使DG =BE ，连接FG ．
∵DE 绕着点D 逆时针旋转60°得到DF ，
∴DE =DF ，∠EDF =60°．
∴△DEF 是等边三角形．
∴FE =FD ，∠DFE =60°．
∵∠ABC =120°，
∴∠BDF +∠BEF =180°．
∵∠BDF +∠GDF =180°，
∴∠GDF =∠BEF ．
在△GDF 和△BEF 中
DG BE GDF BEF DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△GDF ≌△BEF （SAS ）． ………………………………………… 5分 ∴GF =BF ，∠GFD =∠BFE ．
∴∠GFB =∠DFE =60°．
∴△GFB 是等边三角形．
∴BG =BF ． ………………………………………………… 6分
∵BG = BD +DG ，
∴BF = BD +BE ． …………………………………………………… 7分
9.(1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 中点，
∴CD ⊥AD 于点D ，AD ＝CD ，
∵将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，
∴AF ＝AE ，∠F AE ＝90°． ∵点E 与点D 重合，
∴AF ⊥AD ，AF ＝AD ，
∴AF ∥CD ，且AF ＝CD ，
∴四边形ADCF 为平行四边形，
∴CF ＝AD ，
即CF ＝AE ． ……………………………………………3分
(2) 依题意补全图形，如图． ……………………………………………4分
线段CF ，ED ，AD 之间的数量关系：CF ＝ED ＋AD ．………………………5分 证法一：如图，过点F 作FG ⊥AB 交DA 延长线于点G ．
∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 中点，
∴CD ⊥AB 于点D ，AD ＝CD ， ∴∠FGA ＝∠ADE ＝90°，
∴FG ∥CD ．
∵将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°， 得到线段AF ， ∴AF ＝AE ，∠F AE ＝90°， A B
C F
D (
E )G E
F D C B A
∴∠F AG ＋∠EAD ＝90°，∠F AG ＋∠GF A ＝90°，
∴∠GF A ＝∠EAD ，
∴Rt △F AG ≌Rt △AED ，
∴GA ＝ED ，FG ＝AD ＝CD ，
∴四边形FGDC 为矩形,
∴CF ＝DG ＝AG ＋AD ＝ED ＋AD ． …………………………………7分 证法二：如图，延长ED 到G ，使DG ＝AD ，连接AG ．
∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 中点，
∴CD ⊥AB 于点D ，AD ＝CD ，
∴DG ＝AD ＝CD ，
∴∠CAG ＝90°，且AC ＝AG ．
∵将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°
得到线段AF ，
∴AF ＝AE ，∠F AE ＝90°，
∴∠CAG ＝∠F AE ．
∵∠F AC ＝∠F AE －∠CAE ，
∠EAG ＝∠CAG －∠CAE ，
∴∠F AC ＝∠EAG ，
∴△F AC ≌△EAG ，
∴CF ＝EG ，
∴CF ＝ED ＋DG ＝ED ＋AD ．………………………………………7分
G E F D C
B A。