高考数学第一轮学案和测评复习课件 第七单元 平面向量

12. 一艘船以5 k3m/h的速度向垂直于岸的方向行驶，而船的实际
速度是10 km/h，求水流的速度和船行驶的方向（用与水流方向 间
的夹角表示）. 解析： 如右图所示，设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB
表示水流的速度，以AD、AB 是船
ABCD，则AC表示的就
实际航行的速度.
53
在Rt△ABC中，2 |AC|=2 10，|BC|= ，
面四边形均成立，且得出的是向量关系，对于长度关系不一定成立（只有
在AB与DC共线时成立）.
举一反三
2. 如图，在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA;在OB上取点D,使 OA交于E;设O A a, OB b, 试用a,b表示向量 O C和向量D C .
DB
13 OB,DC与
解析：∵A是BC的中点,
则有
12
本 k题1, 正是利用这一结论构造方程组来求解的.
k2
举一反三
4. 已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,
若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值. 解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,
即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,
相反向量 长度相等且方向 相的反向量
表示法
向模量A BA .B.
记作 0 .
常用 e表示
a与 共b线可记为 a.//b
0与任意向量 平.行
a与 b相等记作 a . b
(1) a与 为b 相反的向量,则 a. b
(2) 0的相反向量为 .0
2. 向量的线性运算
向量运算 定义
加法
求两个向 量和的运 算
11. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中 国象 棋的半个棋盘（4×A18个矩形中，每A个2 小方格都是A单A1、位AA正2 方形）中，若 马在A处，可跳到 处，也可跳到 处，用向量 表示马走了 “一步”.试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况.
解析： 如图，以点C为起点作向量（共8个），以点 B为起点作向量（共3个）.
其中, 不共线的向叫量做e1表,e2示这一平面内所有向量的一组基底.
(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂的直向量,叫做把向量正交分解.
∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,
即λ=3.
易错警示
【例】下列命题正确的是（） A. 向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B. 向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C. 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 错解一 因为向量a与b共线，所以a= b1 ,又因为向量b与c共线，
分析 运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=k c.
解 d a b 2e1 3e2 2e1 3e2 要使c∥d2,则 应2存e在1 实3数 k3,使ed2.=...k..c................4.......6′ 即 2 2e1 3 3e2 k 2e1 9e2 2ke1 9ke2,.............................8
证明 ∵BC=2a+8b,CD=3(a-b), ∴BD=BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b), ∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB. 又因为直线AB和BD有公共点B,所以A、B、D三点共线.
学后反思 (1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时, 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定 系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B” 这一步骤.
所以b=2 c，则a=12c,向量a与c共线，故选A.
错解二 因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，
向量a与c不共线，故选B. 错解三 因为向量AB与CD是共线向量，所以A、B、C、D四点共线， 所以应选C.
错解分析 错解一中对零向量的认识不到位，忽略了零向量与任意向量 共线；错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向量与点 共线在认知上的错位.
AC BC 100 75 5
∴|AB|=
3
∵tan∠CAB= ,且∠CAB为锐角,
∴∠CAB=60°.
答： 水流速度为5 km/h，船行驶方向与水流方向的夹角为60°.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角
(1)定义 已知两个非零向量a和b,作OA =a,O B=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.
∴O A= 1(OB +OC ), 2
即OC=2OA-OB=2a-b.
2 DC=OC-OD=OC-
OB=2a-b-
2 b=2a-
5b.
3
3
3
题型三 向量的共线问题 【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b), BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线. 分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用向量共线定理， 得到BD=λAB(或AD=λAB等).BD∥AB说明直线BD和AB平行或重 合;因为有公共点B,所以只能重合,从而由向量共线推出三点共线.
正解 解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得 到正确结论.选项A中用了非零向量共线的传递性，而条 件中没有非零向量的条件，若b=0，结论显然不成立.选 项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项 C中向量AB与CD共线，直线AB与CD可能平行，故推不出A、 B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.
举一反三
3. 设两个非零向量 e1, e不2 共线,已知
,
AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2
若A、B、D三点共线,试求k的值.
解析：BD CD CB 2e1 e2 (e1 3e2 ) e1 4e2
若A、B、D三点共线,则AB∥BD,从而存在唯一实数λ,使AB=λBD，
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.
解 选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不 一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不 一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0 时,a与c不一定平行,故⑤不正确.
即 2e1 ke2 e1 4e2
整理得2 e1 k 4e2
∵ e1,不e2 共线,∴
2 0, k 4 0,
解得
2, k 8,
即当k=-8时,A、B、D三点共线.
题型四 向量知识的综合应用
【例4】(12分)已知向量 a 2e1 3e2, b 2e1 3e2, c 2e1 9e2, 其中 e1, e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ, μ,使向量d=λa+μb与c共线?
(2)范围
向量夹角θ的范围是 0 ,a与b同向时,夹角θ= 0 ;a与b反向时,夹角
θ= .
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是 2,则a与b垂直,记作 a. b
2. 平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理 定理:如果 e1,是e2同一平面内的两个 不向共量线,那 么对于这一平面内的任一向 量a, 存在唯一的 一对实数 ,使 a1, a2 . a a1 e1 a2 e2
（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴FC+FB=0，DE+AE=0，
∴2EF=-CD-BA=AB+DC，
即
EF
1 2
AB
.DC
方法二： 取以A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图.
∵E为AD的中点，
∴
AE
1
AD
∵F是BC的2 中点，∴
知识体系
第七单元 平面向量
第一节 平面向量的概念及其线性运算
基础梳理
1. 向量的有关概念及表示法
名称 向量
定义
具有大小和 方的向量;向量的大小叫做向 量的长度(或模)
零向量
长度为 0的向量,其方向是不确定的
单位向量
平行向量 共线向量 相等向量
长度等于 1的向量
方向相同或 相的反向量 a //向b 量又叫做共线向量 长度相等且方向 相的同向量
法则(或几何意义)
三角形 法则 平行四边形法则
减法 求a与b的
相反向量-
b的和的运
算叫做a与 b的差
三角形 法则
数乘 求实数λ与 (1)|λa|= |λ.||a|
向量a的积 (2)当λ>0时,λa与a 同; 方向
的运算
当λ<0时,λa与a ;反方向
当λ=0或a=0时,λa= .0
运算律
(1)交换律: a+b= b+.a (2)结合律: (a+b)+c= a+(b.+c)
运算关系.
(2)注意特殊点的应用.如F点是BC的中点，则 是任意一点）.
FC
FB
0,
AF
12（ A其B中ACA可以
（3）在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点O，用同样的方
法亦可证出.对于本题结论,要和梯形的中位线定理区分开，梯形的中位线定
理只有在AB∥CD时才成立，且得出的是长度关系；而本题结论对于任意平
学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面: ①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点. (2)判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊的情况: ①零向量与任何向量共线;②单位向量的长度为1，方向不固定.
举一反三
1. 已知下列命题:
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a、b中的一
个方向相同; ②在△ABC中,必有
AB BC CA
0;
③若A B B C CA 0 ,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;
④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：①错误,a+b=0时,就不满足结论;②正确,∵ AB BC CA AC - AC 0;③ 错误,A、B、C三点还可以共线;④错误,只有a与b同向时才相等.
λ(μa）=
(λ+μ)a= λ(a+b)=
(λ；μ)a
λa+; μa
λa+.λb
3. 平行向量基本定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使
典例分析
题型一 平面向量的有关概念
b . a
【例1】给出下列五个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②③若|a|A=B|bC|D,则中a,=一b定; 有A B D C ; ④若m=n,n=p,则m=p; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c. ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦非零向量的单位向量是唯一的 其中不正确的个数是( )
答案：B
题型二 平面向量的线性运算
【例2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.
求证：
EF
1（ A.B
DC）
2
分析 根据所求证的等式，将EF用含AB、DC的和、差形式
表示，充分运用加、减法的运算法则完成.
证明 方法一：在四边形CDEF中， EF+FC+CD+DE=0.① 在四边形ABFE中， EF+FB+BA+AE=0.② ①+②，得
又
AC AD DC
AF
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.B
AC
AF
1 2
AB
AD
DC
1 2
AB
DC
1 2
AD .
EF
AF
1 2
AB
DC
1 2
AD
AE
1 2
AB
DC
学后反思 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应
注意:
(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的
考点演练
10.已知直线x+y=a与圆x2 y2 交4 于A、B两点,且
11.|OA+OB|=|OA-OB|,其中O为坐标原点,则实数a的值为. 解析: 如图所示,以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由
|OA+OB|=|OA-OB|得, OACB为矩形,OA⊥OB.由图象得,直 线y=-
x+a在y轴上的截距为±2 答案: ±2
∵ e1, e不2 共线,∴ 2 2 2k,
3 3 9k
∴λ=-2μ.............................10′
故存在这样的实数λ,μ,满足λ=-2μ,能使d与c共线............12′
学后反思 设 e1不, e2共线,若
1e1 2e2 k1e1 k2e2 ,