大学生数学竞赛极限练习题

xn lim xn n lim ln xn n
由（ 1）可证 即lim ln n x1 x2 n
lim n
ln x1 +lnx2 + n xn lim ln xn n
+lnxn
◎基础数学协会◎3
西南交通大学数学学院
（3）设 lim n
xn xn n 存在(xn >0)，则 lim x lim n n n xn -1 xn -1 xn xn -1 xn -2 xn -1 xn -2 xn -3 x1 xn lim n 1 xn -1
1 x2 t 2 n 1dt 2 (2n 1)! 2 3 3 x x ( 1 x e )
n n
50.已知曲线 y= f ( x) 在 x=1 处的切线方程为 y x 1 ， 求 lim
x 0
x2 2 1 et f 1 e x et dt 2 x ln cos x 0
0
t n1 f x n t n dt ，求 lim
1 1 cos 2t dt 1 2 n 0 n n 4t
n 1 n
F x 。 x 0 x 2 n
1 n! n n
1 n
43. 求 lim
44. （1）设 f ( x) 对于 x 1 为一非负的增函数，证明 f (k ) f ( x)dx f (k ) ；
lim
k 1
n
en 。
n 1 k
k
1 2 n ln 1 ln 1 ln 1 n n n 36. 求极限 lim ... n 1 1 n1 n n 1 2 n
k 1 1 k 2
n
（2）当 f ( x) ln x 时，证明不等式 e n n e n n! e n n1 e n ； （3）由此求 lim
(n!) . n n
1
1 n
f ( x) x 45. 设 f ( x) 在 x 0 的邻域具有二阶导数，且 lim 1 x e 3 ，试求 f (0) ， f (0) x 0 x 及 f (0) . a a 2 n arctan arctan 46. 求极限 lim 。 a 0 （至少用两种方法） n n n 1 47. 设 f x 在 0,1 上连续，且 f 0 f 1 ，证明：对任意正整数 n，必存在 xn 0,1 使
x1 +x2 + +xn lim xn n n x1 +x2 + +xn ( x1 +x2 + +xn ) ( x1 +x2 + lim lim n n n n (n 1)
+xn 1 )
lim xn n
n （2）设 lim xn 存在(xn >0)，则 lim x1 x2 n n
西南交通大学数学学院
专题一练习题
1.求 lim
x 0
e e 。 x sin x
tan x sin x
1 2 2.求 n 0
lim
xn dx 。 1 x
r 0
3.设 Dr : x 2 y 2 r 2 ，则 lim 4.求极限 lim
n
1 r2
x e Dr
设{ yn }严格单增，且yn +，如果 lim n 则lim n xn xn xn 1 = lim =a n yn yn yn 1
xn xn 1 a( a ) yn yn 1
推论：
（ 1）设 lim xn 存在，则 lim n n
真题演练：设 xn 1 a 1 a 2 ... 1 a 2 , 其中
n 1



n

a 1，求 lim xn 。
n
1 2 x 1 1 x2 10.求 lim 2 。 x 0 x2 2 cos x e sin x
x
2 x2 5 2 x2 7 22.求 lim x 4 arctan 2 arctan 2
x

23.求 lim
cos xe x cos xe x

x 1


x 2
x 0
24.求 lim
x

n
x a1 x a2 ... a an x
n


a 1 n n a f x dx 51.设 f x 在 x=a 的某领域内可导，且 f a 0 ，求 lim n f a
52.求 lim 1 x
x 1 3
n x
2 n 1

n
◎基础数学协会◎4
37. 求极限 lim
x 0
tan(tan x) sin(sin x) tan x sin x
x 2x
38. 求极限 lim
e e ... e ，其中 n 是给定的自然数。 x 0 n
nx
1 x
39.设数列 {xn } 满足： n sin
1 1 1 n ，则 lim xn (n 2)sin xk _______。 n n 1 n 1 n 1 k 1 STOLZ(施托尔茨定理)：
sin t sin t sin x 14. 设 f x lim ，求 lim f x 。 t x sin x x 0
x
n




x A 0 ，求 。
k 3 6k 2 11k 5 15.求 lim n k 1 k 3!
1
x3
1 ax 1 x ，其中 a 0, a 1 。 25. 求 lim x x a 1
ln x e x 3 2 2 3 3 4 4 26.求极限 lim x x x x 1 x x x 1 x x
2
y2
cos x y dxdy =___________.
1 [ n 2 1 2 n 2 22 3 n
(n 1) n2 (n 1) 2 ]
5.求极限 lim
i2 1 n n n 1 k k 6.求极限 lim 1 sin 2 。 n k 1 n n
n
◎基础数学协会◎1
西南交通大学数学学院
16.求 lim
n 12 1
k n2
n

k
。
2 17.求 lim sin n n n 18. 设函数 f 具有一阶连续导数， f " (0) 存在，且 f ' (0) 0 ， f (0) 0 ， f ( x) , x 0, g ( x) x x 0. a ,

32. 设当 x 1时, 1
2arctan x ln
33. 已知极限 lim
x 0
34. 设 f x sin x 1 sin x 2 sin x ... 2010 sin x ，求 f (0) 35.求
n
xn
1 x 1 x C 0 ，试确定常数 n 和 C 的值。
n i 1

n
1
。
7.当 x 0 时，无穷小量 f x 5 x 2 3 x 3 x 2 5 x 关于 x 的阶为______。
x2 8.求函数 f x lim n 1 x 的表达式。 2 n
n
n
3 5 17 1 22 9.已知 xn ... ，则 lim xn =_________。 n 2 4 16 2n 1 2
◎基础数学协会◎2
西南交通大学数学学院
30. 计算： lim
x 0
x tan x
2

x
0
et cos tdt x
x2 2 x 1 1
x2 2

31. 求极限 lim
x 0
cos x e x [2 x ln(1 2 x)]
m 1 x x m1 是 x 1的等价无穷小, 则 m ____
（1）确定 a ，使 g ( x) 处处连续； （2）对以上所确定的 a ，证明 g ( x) 具有一阶连续导数. 分析：分段函数的连续和导数，在分段点的导数一般用定义来求. 19.若函数 f ( x) 在 x 1处可导,且 f ' (1) 1, f (1 x) f (1 2 sin x) 2 f (1 3 tan x) 求 lim 。 x 0 x 20. n 为自然数, f ( x) 在[0, n ]上连续， f (0) f (n) ， 试证：存在 a, a 1 [0, n] ，使 f (a) f (a 1) 。 21.求 lim arctan x ln x sin x
27. 设 f " 0 存在，且 lim 28. 计算 lim (
x
arctan x xf x 1 ，求 f 0 , f 、 0 , f " 0 的值。 3 x 0 x
1 ln x

2
1 t
arctan x)
1 t
。
29. 求极限 lim
1 te . t 0 2 1 te arctan t
n ln n ln n 11.求 lim 。 n n ln n n 12.设 lim 2011 ，求 , 的值。 n n n 1
13.已知有整数 n n 4 使极限 lim x n 7 x 4 2 x
1 得 f xn f xn 。 n 2 sin n sin n sin 48. 计算 lim ... n 1 2 n 1 n n n n
49. 求 lim
x 0
(1)
0 n0
x
n n lim xn = lim n n
40. 设 x0 0 ， x
2(1 xn1 ) （ n 1,2,3,... ）. 证明 lim xn 存在，并求之. n 2 xn1
41.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0, F x 42.