高等数学A2复习题二(10章)

《高等数学 AII 》模拟复习题二
一、 单项选择题
1、设P （x,y ），Q (x,y )在单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则x
Q
y P ∂∂=∂∂ 是在G 内任意闭曲线积分⎰=+L
dy y x Q dx y x P 0),(),(的（ C ）
A 、充分但不必要条件；
B 、必要但不充分条件；
C 、充分必要条件；
D 、既非充分也非必要条件. 2.设l 取圆周922=+y x 的正向，则曲线积分⎰=-+-l
dy x x dx y xy 2)4()22(（ C ）
A 、π2-；
B 、π9-；
C 、π18-；
D 、π36- 3.设L 为左半圆周)0(222≤=+x R y x , 将曲线积分22(34)L
x y ds -⎰ 化为定积分的正确结果是
( D )
A 、0
3
2
2
(3cos 4sin )R t t dt π--⎰；
B 、0
322(3cos 4sin )R t t dt π
-⎰ ；
C 、322
(3cos 4sin )R t t dt π
--⎰
；
D 、33222
2
(3cos 4sin )R t t dt ππ-⎰
.
4、设∑是xoy 平面内的一个闭区域xy D ，则曲面积分⎰⎰∑
ds z y x f ),,(化为二重积分为（A ）
A 、⎰⎰xy
D dxdy y x f )0,,(； B 、⎰⎰xy
D dxdy z y f ),,0(；
C 、⎰⎰xy
D dxdy z x f ),0,(； D 、⎰⎰∑
dxdy y x f )0,,(.
二、填空题
1.设平面曲线L 为下半圆周24x y --=，则曲线积分⎰+L
ds y x 22ln =2ln 2π.
2、设空间曲线22220
x y z a L x y z ++=⎧⎨++=⎩，曲线积分222
()L x y z ds ++=
⎰32222
2)(a ds a ds z y x
L
L
π⎰⎰==++
3、设(,)f x y 在2214x y +≤具有二阶连续的偏导数，L 是2
214
x y +=顺时针方向，则[3(,)](,)x y L y f x y dx f x y dy ''++⎰的值等于π6.
4.设Ω是由光滑曲面∑所围成的空间闭区域且体积为V ，则∑外侧的积分
⎰⎰∑
=-+-dxdz x y dxdy y z )()(2V
5、设L 为xoy 平面内直线4=y 上一段，则⎰L
dy y x Q ),（= 0 .
三、计算题
1、计算⎰⎰∑
+ds z 41，其中∑为22y x z +=上1≤z 的部分
解：dxdy y x y x ds z y x 221
22)2()2(1)(414122++++=
+⎰⎰
⎰⎰≤+∑
=⎰⎰+π
θ20
1
2)41(rdr r d
π3=
2、计算⎰⎰
∑
++++2
3222)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑是球面2222a z y x =++的外侧。

解 ⎰⎰
∑
++++2
32
2
2
)
(z y x zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
==
++=
π431)(13
3
dv a zdxdy ydzdx xdydz a
3、计算曲线积分22
L xdy ydx
x y
-+⎰，其中L 沿曲线221x y +=沿逆时针方向一周。

解 ⎰
⎰
=+==+-L dt t t t
y t x y x ydx xdy ππ20
22222)sin (cos sin cos
4、计算曲线积分
⎰
-+++-L
dy x y dx y x )53()43(,其中L 是从点)0,0(O 沿上半圆周
22x x y -=到点)0,2(A 的曲线段. 解： ⎰-+++-L
dy x y dx y x )53()43(
dy x y dx y x AO
AO
L )53()43(-+++--=⎰
⎰
⋃）（
⎰⎰⎰+--=D
dx x dxdy 0
2
)4(4
102+-=π
四、证明题
L 是沿圆周222t y x =+逆时针方向，证明⎰
+++→L
t dy ny mx dx by ax t )()(1
lim 2
0π)(b m -=
(a,b,m,n 均为常数)
证明 ⎰⎰⎰-=+++→→L
D t t t
dxdy
b m dy ny mx dx by ax t
2
2
0)(lim
)()(1
lim ππ)()(lim 22
0b m t
t b m t -=-=→。