高考数学复习 71 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 新人教A

二、推理与证明 1．合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合 情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理， 体会并认识合情推理在数学发现中的作用． ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演 绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用 它们进行一些简单推理．
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的 联系和差异．
2．掌握几种推理方法的思维过程和用法． 3．常用逻辑用语主要进行客观题训练，注意解答题 中关键的联结词．归纳推理、类比推理与演绎推理，分 析与综合证明方法应重点落实．
第一节
命题及其关系、 充分条件与必要条件
重点难点 重点：四种命题的关系与充要条件的判断 难点：区分充分不必要条件、必要不充分条件及充 要条件．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵a＝b＝c＝0，则 a、b、c 也成等差数列，但推 不出ab＋bc＝2；
反过来由ab＋bc＝2⇒a＋c＝2b，即 a、b、c 成等差数列． 综上所述，“a、b、c 成等差数列”是“ab＋bc＝2”的 必要不充分条件，故选 A.
若綈 A⇒綈 B 且綈 B⇒/ 綈 A，则 A 是 B 的必要非充分条件
若綈 A⇔綈 B，则 A 与 B 互为充要条件
集合法： 从集合观点看，建立与命题 p、q 相应的集合．p：A ＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：
若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； 若 A B，则 p 是 q 的充分非必要条件，q 是 p 的必要非 充分条件；
[例 4] (2011·武汉期末)求证：关于 x 的方程 ax2＋2x ＋1＝0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1.
证明：充分性：当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 的根 为 x＝－12，方程有一个负根，符合题意．
当 a<0 时，Δ＝4－4a>0，方程 ax2＋2x＋1＝0 有两 个不相等的实根，且1a<0，方程有一正一负根，符合题意．
当 0<a≤1 时，Δ＝4－4a≥0，方程 ax2＋2x＋1＝0 有实根，
且1a－>2a0<0
，
故方程有两个负根，符合题意．
综上知：当 a≤1 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根． 必要性：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根．
当 a＝0 时，方程为 2x＋1＝0 符合题意． 当 a≠0 时，方程 ax2＋2x＋1＝0 应有一正一负根或两个负 根．
在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵当 a＝1 时，f(x)＝lgx 在(0，＋∞)上单调 递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而 由 f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得 a>0，∴“a＝ 1”是“函数 f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分 不必要条件，故选 A.
答案：B
点评：(1)由三角函数线或导数法易判断 A 正确；由 指数函数图象与性质易知 C 正确；x0＝1 时，lgx0＝0，故 D 正确．
(2)判断命题的真假，要先区分是特称命题还是全称 命题．
(3)判断一个全称命题的真假，若考察了所有可能情 况皆成立时，为真命题．若存在一种情形使该命题不成 立，则该命题为假命题．
[答案] B
[解析] 命题“若 α≠β，则 sinα≠sinβ”等价于命题 “若 sinα＝sinβ，则 α＝β”，这个命题显然不正确，故 条件是不充分的；命题“若 sinα≠sinβ，则 α≠β”等价 于命题“若 α＝β，则 sinα＝sinβ”，这个命题是真命题， 故条件是必要的．故选 B.
பைடு நூலகம்
2 ． ( 文 )(2011·辽 宁 六 校 模 考 )“x>2”是 “x2 － 3x ＋ 2>0”成立的( )
2．直接证明和间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种 基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思 考过程、特点． ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种 基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
3．数学归纳法(理) 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题．
2．讨论原命题的逆命题、否命题、逆否命题是在命 题为“若 p，则 q”形式或可改写为这种形式的前提下进 行的．不具备这种形式的命题讨论其逆、其否是没有意 义的．故复习本章内容一定要紧扣概念．
等价转化思想 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结 论，然后才能进行推理和判断． 1．当判断充分、必要条件较困难时，往往转化为与 它等价的逆否命题来判断． 2．如果命题成立与否与集合相关，此时常通过集合 的关系来判断条件的充分性、必要性．
(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆 否命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做原命题 的逆否命题．
一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论， 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定．于是四种命题的
形式及关系为：
(4)若两个命题互为逆否命题，则这两个命题真假性 相同；若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真 假性没有关系．
●命题趋势 这部分内容高考的主要命题形式： 1．判断含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的 命题的真假，以客观题形式呈现． 2．判断条件与结论之间的关系，探求某结论成立的 充要条件、充分不必要条件和必要不充分条件，考查考 生对隐含条件的发掘能力与推理能力，以客观题为主．
3．四种命题及其关系和真假判断． 4．全称量词、存在量词在客观题与大题中都有可能 考查，大题中只是作为条件或结论的一个构成部分． 5．推理与证明始终是考查的重点．
若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件；若 A B 且 B
A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件．
误区警示 1．A 是 B 的充分条件，是指 A⇒B A 的充分条件是 B，是指 B⇒A A 的充要条．件．是．B．，充分性是指 B⇒A，必要性是 A ⇒B，此语句应抓“条件是 B”． A· 是．B 的充要条．件．，此语句应抓“A 是条件”．
(2010·湖南理)下列命题中的假．命．题．是( )
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1
D．∃x∈R，tanx＝2
解析：∵当 x＝1 时，(x－1)2＝0，∴B 是假命题．
答案：B
充要条件的判断
[例 2] (文)“a＝b”是“直线 y＝x＋2 与圆(x＋a)2 ＋(y＋b)2＝2 相切”的( )
• 解析：原命题是“若p，则q”时，逆命题为 “若q，则p”，故选D.
• 答案：D
(文)(2010·瑞安中学)与命题：“若 a∈P，则 b∉P”等价 的命题是( )
A．若 a P，则 b P B．若 b P，则 a∈P
C．若 a P，则 b∈P 答案：D
D．若 b∈P，则 a P
(理)“非空集合 M 不是 P 的子集”的充要条件是 ()
所以 a⊥c，故 a⊥b；A，B 选项中，直线 a，b 可能是平
行直线；D 选项中一定有 a∥b.故选 C.
答案：C
四种命题的关系
[例 3] (2011·陕西文，1)设 a，b 是向量，命题“若 a ＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若 a≠－b，则|a|≠|b| B．若 a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则 a≠－b D．若|a|＝|b|，则 a＝－b
简单命题的真假判断
[例 1] (2011·济南调研)下列命题中是假命题的是 ()
A．∀x∈(0，π2)，x>sinx B．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2 C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lgx0＝0
解析：因为 sinx0＋cosx0＝ 2sin(x0＋π4)≤ 2(x0∈R)， 所以 B 为假命题．
2 ＝1，a＝± 2.因此，p 是 q 的充分而不必要条件，选 A.
答案：A
(理)(2011·河南质量调研)设 a，b，c 是三条不同的直线，
α，β 是两个不同的平面，则 a⊥b 的一个充分条件是( )
A．a⊥c，b⊥c
B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥α
D．a⊥α，b⊥α
解析：对于选项 C，在平面 α 内作 c∥b，因为 a⊥α，
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为 x2－3x＋2>0⇔x>2 或 x<1，所以 x>2 ⇒x2－3x＋2>0；但 x2－3x＋2>0⇒/ x>2，故“x>2”是“x2 －3x＋2>0”的充分不必要条件，选 A.
(理)(2011·山西六校联考)“a＝1”是“函数 f(x)＝lg(ax)
知识归纳 1．命题 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈 述句叫做命题．判断为真的为真命题，判断为假的为假 命题． (2)如果一个命题可以表达为“若 p，则 q”的形式， 则 p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．
2．四种命题及其关系 (1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个 叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆命题． (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命 题，其中一个叫做另一个的否命题．
Δ＝4－4a≥0
则1a<0
或－2a<0 1a>0
.
解得 a<0 或 0<a≤1. 综上知：若方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一负根，则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负根的充 要条件是 a≤1.
一、选择题 1 ． (2011·太 原 模 考 )“α≠β” 是 “sinα≠sinβ” 的 () A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A．∀x∈M，x P B．∀x∈P，x∈M C．∃x1∈M，x1∈P 又∃x2∈M，x2 P
D．∃x0∈M，x0 P
解析：∵M 为非空集合，∴M 中至少含有一个元素， 若 M 是 P 的子集，则∀x∈M，有 x∈P，因此若 M 不是 P 的子集时，一定存在 x0∈M，x0 P. 答案：D
充要条件的综合应用
●课程标准 一、常用逻辑用语 1．命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． ②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会 分析四种命题的相互关系．
2．简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义． 3．全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与 存在量词的意义． ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
●备考指南 1．掌握各种逻辑用语的含义、表示方法、用法及注 意事项，理解命题结构及逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义，掌握四种命题的内在联系，熟练判断充 要条件．加强与函数、不等式、数列、向量、解析几何 等结合的充分、必要条件判断，全称量词、存在量词的 区分，全称命题与特称命题的否定的训练．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若
a＝b
则 |－a＋b＋2|＝ 2
2，故相切；若
|－a＋b＋2|＝ 2
2，则 a＝b 或 a－b－4＝0，故选 A.
答案：A
(理)命题甲：“a、b、c 成等差数列”，命题乙：“ab ＋bc＝2”，则甲是乙的( )
3．充要条件 (1)“若 p，则 q”为真命题时，记作 p⇒q. (2)若 p⇒q，则 p 叫做 q 的充分条件；q 叫做 p 的必 要条件；如果 p⇔q，则 p 叫做 q 的充要条件．
(3)判断充要条件的方法： ①定义法；②逆否法；③集合法． 逆否法： 若綈 A⇒綈 B，则 A 是 B 的必要条件，B 是 A 的充分条件；
答案：A
(文)(2011·山西运城教学检测)已知 p：“a＝ 2”， q：“直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切”，则 p 是 q 的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切得， 圆心(0，a)到直线 x＋y＝0 的距离等于圆的半径，即有|a|