【金榜教程】2014高考数学总复习 第6章 第7讲 数学归纳法配套练习 理 新人教A版

第六章第7讲
(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1. [2013·某某段考]用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
答案：C
2. 如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是()
A. p(n)对所有正整数n都成立
B. p(n)对所有正偶数n都成立
C. p(n)对所有正奇数n都成立
D. p(n)对所有自然数n都成立
答案：B
解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，
则p(n)对所有正偶数都成立．故选B.
3. [2013·某某模拟]某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(n∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则()
A. n＝4时该命题成立
B. n＝6时该命题成立
C. n＝4时该命题不成立
D. n＝6时该命题不成立
答案：C
解析：因为“当n＝k(k∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n＝k＋1时，该命题也成立”，故可得n＝5时该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题也不成立．故选C.
4. [2013·某某质检]用数学归纳法证明不等式
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n
<
13
14
(n≥2，n∈N*)
的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()
A. 增加了一项1
2(k＋1)
B. 增加了两项12k ＋1、1
2k ＋2
C. 增加了B 中两项但减少了一项1
k ＋1
D. 以上各种情况均不对 答案：C
解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)
， 当n ＝k ＋1时，左边＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2
， ∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1
k ＋1，故选C 项．
5. 用数学归纳法证明：12
＋22
＋…＋n 2
＋…＋22
＋12
＝
n (2n 2＋1)
3
，第二步证明由“k 到
k ＋1”时，左边应加()
A. k 2
B. (k ＋1)2
C. k 2
＋(k ＋1)2
＋k 2
D. (k ＋1)2
＋k 2
答案：D
解析：当n ＝k 时，左边＝12
＋22
＋…＋k 2
＋…＋22
＋12
；
当n ＝k ＋1时，左边＝12
＋22
＋…＋k 2
＋(k ＋1)2
＋k 2
＋…＋22
＋12
，故选D.
6. [2013·某某调研]用数学归纳法证明“n 3
＋(n ＋1)3
＋(n ＋2)3
(n ∈N *
)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开()
A. (k ＋3)3
B. (k ＋2)3
C. (k ＋1)3
D. (k ＋1)3
＋(k ＋2)3
答案：A
解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3
＋(k ＋1)3
＋(k ＋2)3
能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3
＋(k ＋2)3
＋(k ＋3)3
为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3
展开，让其出现k 3
即可．
二、填空题
7. [2013·某某质检]观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋
1
3＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52
，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *
)
答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2
解析：3＝22
－1,7＝23
－1,15＝24
－1，
可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n
2
.
8. [2013·金版原创]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2
＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________.
答案：
n
n ＋1
解析：由(S 1－1)2＝S 2
1得：S 1＝12；
由(S 2－1)2
＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；
由(S 3－1)2
＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.
猜想：S n ＝
n
n ＋1
.
9. [2013·某某模拟]用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1时左
端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．
答案：(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
解析：当n ＝k 时左端为
1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2
， 则当n ＝k ＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k 2
＋(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
， 故增加的项为(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
. 三、解答题
10. [2013·某某模拟]试证：当n ∈N *
时，f (n )＝3
2n ＋2
－8n －9能被64整除．
证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝64，命题显然成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *
，k ≥1)时，f (k )＝32k ＋2
－8k －9能被64整除．
当n ＝k ＋1时，由于32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9
＝9(32k ＋2
－8k －9)＋9·8k ＋9·9－8(k ＋1)－9＝
9(3
2k ＋2
－8k －9)＋64(k ＋1)，
即f (k ＋1)＝9f (k )＋64(k ＋1)，∴n ＝k ＋1时命题也成立． 根据(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *
，命题都成立．
11. [2013·某某质检]已知数列{a n }中，a 1＝a (a >2)，对一切n ∈N *
，a n >0，a n ＋1＝a 2n
2(a n －1)
.
求证：a n >2且a n ＋1<a n .
证明：法一 ∵a n ＋1＝a 2n
2(a n －1)
>0，
∴a n >1，
∴a n －2＝a 2n －1
2(a n －1－1)－2＝(a n －1－2)2
2(a n －1－1)
≥0，
∴a n ≥2.若存在a k ＝2，则a k －1＝2， 由此可推出a k －2＝2，…，a 1＝2， 与a 1＝a >2矛盾，故a n >2. ∵a n ＋1－a n ＝a n (2－a n )
2(a n －1)
<0，
∴a n ＋1<a n .
法二 (用数学归纳法证明a n >2)
①当n ＝1时，a 1＝a >2，故命题a n >2成立；
②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *
)时命题成立，即a k >2，那么，a k ＋1－2＝a 2k
2(a k －1)
－2＝
(a k －2)
2
2(a k －1)
>0.
所以a k ＋1>2，即n ＝k ＋1时命题也成立． 综上所述，命题a n >2对一切正整数成立．
a n ＋1<a n 的证明同上．
12．[2013·某某模拟]在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1
a n )．
(1)求a 1，a 2，a 3；
(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12(a 1＋1a 1)得a 2
1＝1.
∵a n >0，∴a 1＝1，
由S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1a 2)，得a 2
2＋2a 2－1＝0，
∴a 2＝2－1.
又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)得a 2
3＋22a 3－1＝0，
∴a 3＝3－ 2.
(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *
)
证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－0，猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *
，且k ≥1)时猜想成立， 即a k ＝k －k －1，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k
＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k
)，即 a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1k －k －1
)＝12(a k ＋1＋1
a k ＋1)－k ，
∴a 2
k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时猜想成立．
由①②知，a n ＝n －n －1(n ∈N *
)．。