九年级数学上册知识点(全面详细精华版)

人教版九年级数学上册知识点总结
21.1 一元二次方程
知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：
1、已知关于x的方程（x
21
m-
+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1 配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a
-.
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①移项；
②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；
③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；
④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2 公式法
知识点一公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个
根为x=
a ac
b b
2
4 2
-
±
-
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则
方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，
即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2．3 因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和
完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为x 1,x 2,则有x 1+x 2=-p,x 1x 2=q.
若一元二次方程a 2x+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根x 1,x 2,则有x 1+x 2=a
b
, x 1x 2=a
c 22.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间
的等量关系。

（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然
后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6） 答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。

三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是
100a+10b+c.
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x
）2=b。

（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：
①总利润=总销售价-总成本；
②总利润=单位利润×总销售量；
③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

中考回顾
1.(2017四川绵阳中考)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则n m的值为(C)
A.-8
B.8
C.16
D.-16
2.(2017新疆中考)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A )
A.-3
B.-2
C.3
D.6
3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
4.(2017青海西宁中考)若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根,则错误！未找到引用源。

x2+x1错误！未找到引用源。

的值是1
5.
5.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m<2.
6.(2017四川成都中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根,且错误！未找到引用源。

=10,则
a=21
4
错误！未找到引用源。

模拟预测
1.方程x2+x-12=0的两个根为(D)
A.x1=-2,x2=6
B.x1=-6,x2=2
C.x1=-3,x2=4
D.x1=-4,x2=3
2.对形如(x+m)2=n的方程,下列说法正确的是(C)
A.都可以用直接开平方得x=-m±错误！未找到引用源。

B.都可以用直接开平方得x=-n±错误！未找到引用源。

C.当n≥0时,直接开平方得x=-m±错误！未找到引用源。

D.当n≥0时,直接开平方得x=-n±错误！未找到引用源。

3.三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为( A )
A.7
B.3
C.7或3
D.无法确定
4.为解决群众看病贵的问题,有关部门决定降低药价,对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是(A)
A.289(1-x)2=256
B.256(1-x)2=289
C.289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289
5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m的值等于()
B.2
C.1或2
D.0
,知m2-3m+2=0,解之,得m1=1,m2=2.又二次项系数m-1≠0,所以m≠1.综上可知,m=2.故选B.
x的一元二次方程x2-3x-2a=0有两个实数根,则a可取的最大负整数为.
Δ=9+8a≥0,故a≥-错误！未找到引用源。

, 所以a可取的最大负整数为-1.
7.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值
,所以[-(2m+3)]2-4m2>0,即m>-错误！未找到引用源。

;由根与系数的关系可知x1+x2=2m+3,所以2m+3=m2,得m1=-1,m2=3,故m=3.
8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意,得
(60-x-40)错误！未找到引用源。

=2 240.
化简,得x2-10x+24=0.
解得x1=4,x2=6.
答:每千克核桃应降价4元或6元.
(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),所以错误！未找到引用源。

100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2ax y =的性质
（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：
()k h x a y +-=2
的形式，其中a
b a
c k a b h 4422
-=
-=，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，
∴顶点是），（a
b a
c a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶
点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线
的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线
a b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a
b
（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次
方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的
纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，
由方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G
有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为
()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
⋅-=+2121,()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
中考回顾
1.(2017天津中考)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移
后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为( A ) A.y=x 2+2x+1 B.y=x 2+2x-1 C.y=x 2-2x+1 D.y=x 2-2x-1
2.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是(B)
A. abc<0, b2-4ac>0
B. abc>0, b2-4ac>0
C. abc<0, b2-4ac<0
D. abc>0, b2-4ac<0
3.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是m<2.
4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).
备用图
(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;
(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;
(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2错误！未找到引用源。

,若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.
设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4.
∵点B(3,0)在该二次函数的图象上,
∴0=a(3-1)2+4,解得:a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.
∵点D在y轴上,所以可令x=0,解得:y=3.
∴点D的坐标为(0,3).
设直线BD的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1.
∴直线BD的解析式为y=-x+3.
（2）设点P的横坐标为m(m>0), 则P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3),
PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-错误！未找到引用源。

, PM最大值为错误！未找到引用源。

(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2错误！未找到引用源。

设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),
QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.
∵△DOB是等腰直角三角形,
∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.
∴sin∠1=错误！未找到引用源。

,∴QG=4.
得|-x2+3x|=4,
当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.
当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).
模拟预测
1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)
A.k<3
B.k<3,且k≠0
C.k≤3
D.k≤3,且k≠0
2.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-错误！未找到引用源。

x2+2x上,则下列结论正确的是(C)
<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2
2时,y1=-错误！未找到引用源。

x2+2x=-错误！未找到引用源。

(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,
x=-1时,y2=-错误！未找到引用源。

x2+2x=-错误！未找到引用源。

(-1)2+2×(-1)=-错误！未找到引用源。

-2=-2错误！未找到引用源。

,
x=8时,y3=-错误！未找到引用源。

x
2+2x=-错误！未找到引用源。

82+2×8=-32+16=-16.
∵-16<-6<-2错误！未找到引用源。

,∴y
3
<y1<y2.故选C.
3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()
x1+x2=4,∴-错误！未找到引用源。

=4.
∴二次函数的对称轴为x=-错误！未找到引用源。

=2.
∵x1·x2=3,错误！未找到引用源。

=3.
当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.
4.小明在用“描点法”
2
根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.
5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为
k=0或k=-1.
6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.
,对称轴x=1, 所以- 错误！未找到引用源。

=1,即b=2.
把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.
故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 2-2x
7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物
线可以有很多条.
(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称
轴对称的对称点D的坐标;
(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时
随x增大而增大的自变量的取值范围;
(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.
∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,
∴y=2(x-2)2-4.
∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,
设x=0,则y=4,∴C(0,4).
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).
(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.
(3)a1=-a2,
理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,
∴可以列出两个方程错误！未找到引用源。

由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.
第二十三章旋转
23.1 图形的旋转
知识点一旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。

23.2 中心对称
知识点一中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么
就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：
中心对称指的是两个图形的位置关系；
只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。

最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。

知识点三中心对称的性质
有以下几点：
（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。

知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。

中考回顾
1.(2017四川绵阳中考)下列图案中,属于轴对称图形的是(A)
2.(2017天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( C )
3.(2017内蒙古呼和浩特中考)图中序号对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变
换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是()
A.①
B.②
C.③
D.④
轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,
∴通过轴对称得到的是①.故选A.
4.(2017西宁中考)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)
A.等边三角形
B.平行四边形
C.正六边形
D.圆
5.(2017江苏淮安中考)点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(C)
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,-2)
D.(-2,1)
(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),故选C.
6.(2017四川宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的长是(C)
A.3
B.错误！未找到引用源。

C.5
D.错误！未找到引用源。

在矩形ABCD中,∠BAE=90°,
且由折叠可得△BEF≌△BEA,
∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF,
在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,
根据勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,
设EF=AE=x,则有ED=8-x,
根据勾股定理得x2+42=(8-x)2,
解得x=3,所以DE=8-3=5,故选C.
7.(2017山东枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )
A.2
B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.1
四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1,
则在Rt△BMF中,FM=错误！未找到引用源。

,故选B.
8.(2017湖南长沙中考)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D 重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG 的周长为n,则错误！未找到引用源。

的值为( B )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.随H点位置的变化而变化
CH=x,DE=y,则DH=错误！未找到引用源。

-x,EH=EA=错误！未找到引用源。

-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°.
∵∠DHE+∠DEH=90°,
∴∠DEH=∠CHG,
又∵∠D=∠C=90°,△DEH∽△CHG,
∴错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

,
∴CG=错误！未找到引用源。

,HG=错误！未找到引用源。

,
△CHG的周长n=CH+CG+HG=错误！未找到引用源。

,
在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,
即错误！未找到引用源。

+y2=错误！未找到引用源。

,
整理得错误！未找到引用源。

-x2=错误！未找到引用源。

,
∴n=CH+HG+CG=错误！未找到引用源。

.
故错误！未找到引用源。

.故选B.
模拟预测
1.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)
2.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(B)
3.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是()
A.∠DAB'=∠CAB'
B.∠ACD=∠B'CD
C.AD=AE
D.AE=CE
4.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(D)
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
360°进行6等分,即多边形的中心角为60°,由最后的剪切
可知所得图形符合正六边形特征.故选D.
5.如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.若AB=CD,有下面的结论:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论有.(填序号)
6.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=95°
.
FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.
∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°.
由翻折知,∠F=∠B.
又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°,
∴100°+∠B+70°+∠F=360°,
∴∠F=∠B=错误！未找到引用源。

=95°.
7.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是(3,-1)
8.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图).如果△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是2.
,过点M作MN⊥AC于N,
由折叠性质可知,∠BAM=∠CAM=45°.
∵点B恰好落在边AC的中点处,
∴AC=2AB=6.
∵∠ANM=90°,
∴∠CAM=∠AMN=45°.
∴MN=AN.
由Rt△CNM∽Rt△CAB,得错误！未找到引用源。

,
∴错误！未找到引用源。

.
∴MN=2.
9.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;
(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;
(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.
△A1B1C1如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如图.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3对称.如图.
第二十四章圆
24.1.1 圆
知识点一圆的定义
圆的定义：
第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为MD，AB是弦，且CD⊥AB，。