数系的扩充与复数的概念 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

为了使方程x2+1=0有解
i 引入一个新数：
规定：(1) i2=-1
(2) 实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法、乘法的运算律（包括交换律、 结合律和分配率）仍然成立。
1545年意大利数学家卡丹开始讨论这种数
约240年后瑞士数学家欧拉说这数只是存在于幻想之中， 并用imaginary(想象的，假想的）一词的词头i来表示, 并称i为虚数单位。
作用。 1830高斯详细论述复数体系，使复数有了立足之地，
人们才最终承认了复数。到今天复数已经成为现代科技中普遍 运用的数学工具之一。
思考：方程x2+2=0的解是什么？
类比实数的运算： (1)实数a与i相加结果记作__a+__i _ (2)实数b与i相乘结果记作__b_i__ (3)0+i= __i __； 0×i=__0__
分组活动
请同学们举出一些实数与新数i进行运算之后得到 的新数。
并且归纳这些新数的共同表示形式。
复数的概念：
7
i，
0， 39
2i， i2， 5i+8，i(1
3)
①② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 × （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 ×
（3）若b为零，则Z= a+bi一定不是虚数√
数学应用1
例1、实数m取什么值时，复数 z (m2 5m 6) (m2 3m)i是 （1）实数？ （2）虚数？ (3)纯虚数?
为了使方程x2=2有解（引入无理数）↓ 扩
实数
为了使方程x2+1=0有解（应该怎么办？）↓
充
?
这几次数系的扩充，有什么共同的特点？
这几次数系的扩充，有什么共同的特点？
（1）引入了新数；
（2）在新的数集中，原有的运算和性质仍然 适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总 可以实施的矛盾。
该如何使方程x2+1=0有解呢？
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
即 C a bi a, b R
复数的代数形式：
z a bi (a,b R)
实部 虚部
复数集C和实数集R之间有什么关系？
1、说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，
哪些是纯虚数，并指出这些数的实部与虚部。
2
7
2 ，
练习、当m为何实数时，复数
z m2 m 6 (m2 2m)i m
是（1）实数 ? （2）虚数? （3）纯虚数?
两个复数相等: 如果两个复数的实部和虚部分别相等，
那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
温馨提示：两个复数（除实数外）只能说相等
数系的扩充与复数的概念
引 例：
1、方程x2-2=0 (x R)有解吗？
3、方程x2+1=0有解吗？
我们能否将实数集进行扩充，使 这个方程有解？
为了计数的需要
自然数
↓ 为了表示具有相反意义的量（引入负整数）
数
整数
↓ 为了某些量进行等分（引入分数）
系
有理数 的
复数的发展历史：
虚数这种假设，是需要勇气的。人们在当时是无法接受 的，认为她是想象的不存在的。但这丝毫不影响数学家对虚数
单位i的研究，第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利
有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545开始讨论这种数的，当时
复数被他称作“诡辩量”。几乎过了100年，笛卡儿才给这个 “虚幻之数”取了一个名字——虚数。但又过了140年，欧拉还 是说这种数只是存在于幻想之中，并用i（imagniary即想象的， 假想的）来表示虚数单位。后来德国数学家高斯给出了复数的 定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的
或不相等；不能比较大小
课堂小结
为了计数的需要
自然数
↓ 为了表示具有相反意义的量（引入负整数）
数
整数 系
↓ 为了某些量进行等分（引入分数）
有理数
的
为了使方程x2=2有解（引入无理数↓）
扩
实数
为了使方程x2+1=0有解（引入虚数）↓
充
复数
用图形表示包含关系：
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
N C R QZ