八年级-人教版-数学-上册-第5课时-整数指数幂
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这条性质能否推广到 m，n是任意整数的情形？
分析：从特殊情形入手，取 m，n 分别为正整数和负整数、负 整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．
am·an＝am＋n
（1）当 m，n 分别为正整数和负整数时，
a3·a－5＝a3·
1 a5
＝
1 a2
＝a－2＝a3＋(－5)，即
a3·a－5＝a3＋(－5)．
第5课时 整数指数幂
问题 1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算
性质？
正整数指数幂： 当 n 是正整数时，an ＝ a·a·…·a．
n个
正整数指数幂的运算性质：
（1） am·an＝am＋n（m，n是正整数）；
（2）(am)n＝amn（m，n是正整数）；
（3）(ab)n＝anbn（n是正整数）；
1 23
＝
1 8
，－3－2＝
1 32
＝ 1 ．
9
a－n＝
1 an
（a≠0，n
是正整数）这个公式也可
以写成
a－n＝
1 a
n
，其中a≠0，n
是正整数，当遇
到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此
结论比较方便．如：
2 3
1＝
3 2
1
＝
3 2
．
探究 引入负整数指数和 0 指数后， am·an＝am＋n（m，n是正整数）
（4） am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）；
（5）
a b
n
＝
an bn
（n是正整数）．
此外，我们还学习过 0 指数幂，即当 a≠0 时，a0＝1．
问题 2．你能使用两种不同的方法计算 a5÷a3（a≠0）吗？
a5÷a3
分式的约分
＝
a5 a3
＝
a3 a2 a3
＝a2．
＝a5－3＝a2． am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）
am·an＝am＋n
（2）当 m，n 均为负整数时，
a－3·a－5＝
1 a3
·
1 a5
＝
1 a8
＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即
a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．
am·an＝am＋n
（3）当 m，n 分别为零和负整数时，
a0·a－5＝1·
1 a5
＝
1 a5
＝a－5＝a0＋(－5)，即
a0·a－5＝a0＋(－5)．
例1 填空：
1
1
（1）2－1＝___2____，3－1＝___3____，
1 2
1
＝____2___；
（2）3－2＝___19____，2－3＝___18____，－3－2＝____19___．
解析：（1）2－1＝
1 ，3－1＝
2
13，
1 2
1
＝
1 1
＝2；
2
（2）3－2＝
1 32
＝1
9
，2－3＝
负整数指数幂 整数指数幂
整数指数幂的运算性质
当 n 是正整数时，an＝a·a·…·a．
思考 an 中的指数 n 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数
幂 an 表示什么？
探究 你能试着计算 a3÷a5（a≠0）吗？
a3÷a5
分式的约分
＝
a3 a5
＝
a3 a3 a2
＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 a2
．
am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）
名称 同底数幂的乘法
幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法
分式的乘方
符号表示
am·an＝am＋n（m，n是整数）
(am)n＝amn（m，n是整数）
(ab)n＝anbn（n是整数）
am÷an＝am－n （a≠0，m，n是整数）
a b
n
＝
an bn
（n是整数）
探究 当 m，n 为整数时，am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n，即同底
b3 a2
2
；
（4）a－2b2·(a2b－2)－3．
解：（1）
a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝
1 a7
；
（2）
b3 a2
2
＝
b6 a 4
＝a4b－6＝
a4 b6
；
例2 计算： （1）a－2÷a5； （3）(a－1b2)3；
（2）
b3 a2
2
；
（4）a－2b2·(a2b－2)－3．
解：（3）(a－1b2)3＝a－3b6＝
数幂的除法 am÷an 可以转化为同底数幂的乘法 am·a－n．
特别地，
a b
＝
a÷b＝a·b－1，所以
a b
n
＝(a·b－1)n，即商
的乘方 ba
n
可以转化为积的乘方(a·b－1)n ．
归纳 整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） am·an＝am＋n（m，n是整数）； （2）(am)n＝amn（m，n是整数）； （3）(ab)n＝anbn（n是整数）．
am·an＝am＋n 这条性质对于 m，n 是任意整数的情形仍然适用．
归纳 类似地，我们用负整数指数幂或 0 指数幂对其他正整数指数幂
的运算性质进行试验，可以发现这些性质在整数指数幂范围内也适 用．
试着自己来验证这 些运算性质吧．
例2 计算： （1）a－2÷a5； （3）(a－1b2)3；
（2）
围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当 n 是正整数时，
a－n＝
1 an
（a≠0）．
这就是说， a－n（a≠0）是 an 的倒数．
思考 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数． 你现在能说出当 m 分别是正整数、0、负整数时， am 各表示什
么意思吗？
当 m 是正整数时，am表示 m 个 a 相乘； 当 m 是 0 时，设 a≠0，am 即为 a0，值为1； 当 m 是负整数时，设 a≠0，am 即为 a－m 的倒数．
b6 a3
；
（4）
a－2b2·(a2b－2)－3＝
a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝
b8 a8
．
整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负 整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分 式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到 最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
探究 能否将整数指数幂的 5 条运算性质进行适当合并？
探究 你能试着计算 a3÷a5（a≠0）吗？
a3÷a5
分式的约分
＝
a3 a5
＝
a3 a3 a2
＝
1 a2
．
＝a3－5＝a－2． am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数）
试想，我们如果规定
a－2＝
1 a2
（a≠0），就能使
am÷an＝am－n
这条性质也适用于像 a3÷a5 这样的情形．为使上述运算性质适用范
分析：从特殊情形入手，取 m，n 分别为正整数和负整数、负 整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）．
am·an＝am＋n
（1）当 m，n 分别为正整数和负整数时，
a3·a－5＝a3·
1 a5
＝
1 a2
＝a－2＝a3＋(－5)，即
a3·a－5＝a3＋(－5)．
第5课时 整数指数幂
问题 1．你还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算
性质？
正整数指数幂： 当 n 是正整数时，an ＝ a·a·…·a．
n个
正整数指数幂的运算性质：
（1） am·an＝am＋n（m，n是正整数）；
（2）(am)n＝amn（m，n是正整数）；
（3）(ab)n＝anbn（n是正整数）；
1 23
＝
1 8
，－3－2＝
1 32
＝ 1 ．
9
a－n＝
1 an
（a≠0，n
是正整数）这个公式也可
以写成
a－n＝
1 a
n
，其中a≠0，n
是正整数，当遇
到负整数指数幂的底数是分数或分式时，应用此
结论比较方便．如：
2 3
1＝
3 2
1
＝
3 2
．
探究 引入负整数指数和 0 指数后， am·an＝am＋n（m，n是正整数）
（4） am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）；
（5）
a b
n
＝
an bn
（n是正整数）．
此外，我们还学习过 0 指数幂，即当 a≠0 时，a0＝1．
问题 2．你能使用两种不同的方法计算 a5÷a3（a≠0）吗？
a5÷a3
分式的约分
＝
a5 a3
＝
a3 a2 a3
＝a2．
＝a5－3＝a2． am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）
am·an＝am＋n
（2）当 m，n 均为负整数时，
a－3·a－5＝
1 a3
·
1 a5
＝
1 a8
＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即
a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．
am·an＝am＋n
（3）当 m，n 分别为零和负整数时，
a0·a－5＝1·
1 a5
＝
1 a5
＝a－5＝a0＋(－5)，即
a0·a－5＝a0＋(－5)．
例1 填空：
1
1
（1）2－1＝___2____，3－1＝___3____，
1 2
1
＝____2___；
（2）3－2＝___19____，2－3＝___18____，－3－2＝____19___．
解析：（1）2－1＝
1 ，3－1＝
2
13，
1 2
1
＝
1 1
＝2；
2
（2）3－2＝
1 32
＝1
9
，2－3＝
负整数指数幂 整数指数幂
整数指数幂的运算性质
当 n 是正整数时，an＝a·a·…·a．
思考 an 中的指数 n 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数
幂 an 表示什么？
探究 你能试着计算 a3÷a5（a≠0）吗？
a3÷a5
分式的约分
＝
a3 a5
＝
a3 a3 a2
＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 a2
．
am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数， m＞n ）
名称 同底数幂的乘法
幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法
分式的乘方
符号表示
am·an＝am＋n（m，n是整数）
(am)n＝amn（m，n是整数）
(ab)n＝anbn（n是整数）
am÷an＝am－n （a≠0，m，n是整数）
a b
n
＝
an bn
（n是整数）
探究 当 m，n 为整数时，am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n，即同底
b3 a2
2
；
（4）a－2b2·(a2b－2)－3．
解：（1）
a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝
1 a7
；
（2）
b3 a2
2
＝
b6 a 4
＝a4b－6＝
a4 b6
；
例2 计算： （1）a－2÷a5； （3）(a－1b2)3；
（2）
b3 a2
2
；
（4）a－2b2·(a2b－2)－3．
解：（3）(a－1b2)3＝a－3b6＝
数幂的除法 am÷an 可以转化为同底数幂的乘法 am·a－n．
特别地，
a b
＝
a÷b＝a·b－1，所以
a b
n
＝(a·b－1)n，即商
的乘方 ba
n
可以转化为积的乘方(a·b－1)n ．
归纳 整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1） am·an＝am＋n（m，n是整数）； （2）(am)n＝amn（m，n是整数）； （3）(ab)n＝anbn（n是整数）．
am·an＝am＋n 这条性质对于 m，n 是任意整数的情形仍然适用．
归纳 类似地，我们用负整数指数幂或 0 指数幂对其他正整数指数幂
的运算性质进行试验，可以发现这些性质在整数指数幂范围内也适 用．
试着自己来验证这 些运算性质吧．
例2 计算： （1）a－2÷a5； （3）(a－1b2)3；
（2）
围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当 n 是正整数时，
a－n＝
1 an
（a≠0）．
这就是说， a－n（a≠0）是 an 的倒数．
思考 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数． 你现在能说出当 m 分别是正整数、0、负整数时， am 各表示什
么意思吗？
当 m 是正整数时，am表示 m 个 a 相乘； 当 m 是 0 时，设 a≠0，am 即为 a0，值为1； 当 m 是负整数时，设 a≠0，am 即为 a－m 的倒数．
b6 a3
；
（4）
a－2b2·(a2b－2)－3＝
a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝
b8 a8
．
整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负 整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分 式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到 最后一步，再写成正整数指数幂的形式．
探究 能否将整数指数幂的 5 条运算性质进行适当合并？
探究 你能试着计算 a3÷a5（a≠0）吗？
a3÷a5
分式的约分
＝
a3 a5
＝
a3 a3 a2
＝
1 a2
．
＝a3－5＝a－2． am÷an＝am－n （a≠0，m，n是正整数）
试想，我们如果规定
a－2＝
1 a2
（a≠0），就能使
am÷an＝am－n
这条性质也适用于像 a3÷a5 这样的情形．为使上述运算性质适用范