高中数学：第一章：集合(竞赛精讲)1

第一章 集合
§1.1 集合的概念与运算
1.集合的运算性质
(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律); (3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);
(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律); (5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律); (7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律) (8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.
2. 一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有).()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃
我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ⋃⋃⋃⋃⋃- )]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ⋂+⋂-++++= )]
()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ⋂⋂++⋂⋂+⋂++⋂++--- ).()1(311n n A A A card ⋂⋂⋂⋅-+--
【例1】已知.}.,22|{},,34|{2
2B A x x x y y B x x x y y A ⋂∈+--==∈+-==求R R 【思路分析】先进一步确定集合A 、B.
【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2
≤++-=x y ∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=⋂≤=-≥y y B A y y B y y 故 【例2】设集合},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+
=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是 （ ）
A ．D C
B A ≠
≠
≠
⊂⊂⊂
B ．φφ=⋂=⋂D
C B A ,
C ．
D C C B A ≠
⊂⋃=,
D ．φ=⋂=⋃D C B B A ,
【思路分析】应注意数的特征，即.,6
1
2613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A
∴D C C B A ≠
⊂⋃=,.故应选C.
【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令
}.|6
3{},|2{},|{},|2{
Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x 轴上的角的集 合，C′为终边在y 轴上的角的集合，D′为终边在y 轴上及在直线x y 3
3
±
=上的角的集合，故应选（C ）. 【例3】设有集合B A B A x x B x x x A ⋃⋂<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.
【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然 ∴}.22|{≤<-=⋃x x B A 若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=⋂∈x x x B A x 则
从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=⋂B A
【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 【例4】设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：
（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈
[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且2
2)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-
（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2
224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((2
2y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-
（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2
222b a y x pq --=
22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()( （因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。

【例5】 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）。

〖分析〗利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B 。

【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ； 再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈。

所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =
【例6】}02{},01{},023{2
22=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，
求.,m a
〖分析〗分类讨论思想的应用
【解】依题设，}2,1{=A ，再由012
=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，
因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。

因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082
<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m
综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。

【例7】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n
2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合
},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i
求和,可得).(2
1
1
∑=-=n
i n n i S
【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2
)
1(2)21(2
11
+⋅
=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.
【例8】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围. 〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A 当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解; 当0=a 时,φ=B ,显然无解;
当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.3
21≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]3
2,1[-.
〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.
【例9】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2
,{},1,,1{2
+-
-=---++=y y
y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10
【解】0)1(2
≥+x ,x x x -≥++∴12
,且012
>++x x 及集合中元素的互异性知
x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x
而+
∈R y ,从而在集合B 中,.2
1y y
y ->-
>+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧-=---=-+=++y
x y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式.
.5212222=+=+∴y x
〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例10】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++
)1()1(22y x y x ……+)1
(20082008y
x +的值. 〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.
【解】B A = ,⎩
⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y
x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x .
B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy 又由A ∈1及B A =,得.1B ∈
所以⎩⎨
⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==1
1
y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾!所以,1-=y x 代入得:
++++)1()1(22y x y x ……+)1
(20082008y
x +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0.
〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.
【例11】已知集合}02|{},023|{2
2≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A. 【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2
.
①当04)2(2
<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆; ②当04)2(2
=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,
若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去; 若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.
③当04)2(2
>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间.
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a .
综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .
〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆
【例12】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,
N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.
【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =
若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)
此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A
若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.
综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A
〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【例13】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2
22
1≤x x ,求函数)(23)(2
R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.
〖分析〗求函数23)(2
-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.
【解】|3||||)23()23(||)()(|212122
212
121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==
x x 时, .||4||2
9
|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉
〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉
【例14】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A 的非空子集共有12
2008
-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特
点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;
{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;
{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与
i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}
的所有子集的“交替和”为32.
【解】集合}2008
,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008
-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的
子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为
.2008220082008)22(2
120072008
⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n
2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有1
2
-n 个,不包括n 的子集的个数也是1
2
-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不
含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21
n n ⋅-
〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.
【例15】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }的真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.
证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.
【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一.
假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.
不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=2
2，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，
即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=2
4，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=2
5，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.
【强化训练】一、基础训练题
1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________。

2．若集合},,012{2
R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________。

3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个。

4．已知集合}01{},023{2
=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合
P =___________。

5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________。

6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个。

7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________。

8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________。

9．集合}01{},06{2
=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________。

10．集合},9{},,12{2
R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________。

11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a
∈-11。

如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由。

12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围。

二、高考水平训练题
1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________。

2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I
}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。

3．已知集合}121{},0310{2
-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是______。

4．若实数a 为常数，且=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x
A a 则,1112
___________。

5．集合}1,12,3{},3,1,{2
2+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________。

6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________。

7．集合}0,,{},,,{2
222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________。

8．已知集合}04{},021
{<+=<-+=px x B x
x x A ，且A B ⊆，则p 的取值范围是___________。

9. 已知集合
，
，若
，求实数的取值范围。

10. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、
a
b
∈P （除数b ≠0）则称P 是
一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、联赛一试水平训练题
1．b a ,为实数,集合M=x x f a P a
b →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于
2．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-=
=<=且,},2,1
1
{},0{2，则实数m 的取值范围是_______。

3．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________。

4．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________。

5．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________。

6.集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的
关系是___________。

7．集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有
_______对。

8. 设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪
=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．
9. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－
1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.
10. 321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-
（1）证明：三个集合中至少有两个相等.
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
【点拨】
1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.
2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.
3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.
4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.
高三数学复习卷（集合部分）
1.已知全集{}{}
=⋂≤≤-=≤≤-==）（）求（B A x x B x x A R U C C
U U
,33,42,（ D ）
A {}32≤≤-x x
B {}
42〉〈-x x x 或 C {}43≤≤-x x D {}
43〉〈-x x x 或 2.已知集合{}{}是则集合1,3,013≥-≤=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧〈-+=x x x x N x x M （ D ）
Ａ.N M ⋂ Ｂ. N M ⋃ Ｃ.
()N M C R
Ｄ. ()N M C R
⋃
3.设集合A ，B 都是{}{}{}==⋂=⋂=A B A B A U C C C
U U U
，则），（）（）的子集，已知（，，，124321（ A ）
A {}43，
B {}2,1
C {}4,3,2
D {}431，，
4.设集合{}
{}
034,42
〉+-=〈=x x x B x x A ，则集合{}
=⋂∉∈=B A x A x x A 且( B )
A ](1,∞-
B []3,1
C [)∞+，3
D []4,4-
5.集合{}{}
A B m x m x B x x A ⊆-≤≤+=≤≤-=若,121,52，求实数m 的取值范围( C ) A {}3〈m m B {}30≤≤m m C {}3≤m m D {}
30〈〈m m 6.已知非空集合
{}{}的集合）成立的（则能使a B A A x x B a x a x A ⋂⊆≤≤=-≤≤+=,223,5312
( B )A {}96〈≤a a B {}96≤≤a a C {}96〈〈a a D {}
96≤〈a a
7.已知集合{}02〈-=x x M ，集合{}
N
ax x N 若,1==的取值范围，求实数a M ______⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧〈≤210a a ______
8.集合{}{}
{}==⋃==m m M P m M m P 则,,3,2,1,3,,,3,2,12____0,2,2,1--______ 9.已知集合A={2, 4, 6, 8, 9}, B={1, 2, 3, 5, 8}，集合C 满足下列条件：
(1) 若集合C 中各元素都加2，则C 变为A 的一个子集； (2) 若集合C 中各元素都减2，则C 变为B 的一个子集； 求集合C
10.(1)2
{|230,}A x x x x R =+-=∈，2
{|2150,}B x x x x R =-++=∈，求A
B ;
(2)2
{|23,}A x y x x x R ==+-∈，2
{|215,}B x y x x x R ==-++∈，求A B ; (3)2
{|23,}A x y x x x N ==+-∈，2
{|215,}B x y x x x N ==-++∈，求A
B ;
(4)2
{(,)|23,}A x y y x x x R ==+-∈，2
{(,)|215,}B x y y x x x R ==-++∈，求A
B ;
11.已知集合2
{|(3)40}M x x k x k =---=，{|0,}N x x x R =>∈，且M N =∅,求实数k 的取值范围
12.设集合{(,)}|1}A x y ax y =+=，{(,)|1}B x y x ay =+=，
22{(,)|1}C x y x y =+=，求：
（1） 当a 取何值时，()A B C 为含有2个元素的集合； （2） 当a 取何值时，()A B C 为含有3个元素的集合；
13.设,x y R ∈，集合{}23,A x xy y =++，{}
2
1,3B x xy x =++-，且A=B ，求实数x ，y 的值
解得
32x y ==- 或 1
6
x y =-=-
14.以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，Q ∉3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ⊂ ，{}
2
|20,x x x Z -=∈是空集中，
错误的个数是 2个
15.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 7个
竞赛试题选编之集合 一．选择题
（2001年全国高中数学联赛）已知a 为给定的实数，那么集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,x ∈R }的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定
已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是C （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集
设集合A=｛a+b a ∈R,b ∈R ｝+则（ ） （A ）a ⊆A （B ）a ∉A （C ）a A （D ）a ∈A 已知集合A ＝｛x ︱22x p q ,p,q Z =+∈｝ m A,n A ∈∈，则（ ） （A ）mn A ∉ （B ）mn A ⊆（C ）mn A ∈ （D ）mn A
若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为C （A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集
十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M =----．M 的所有非空子集记为(1,2,,1023)i M i =，每
一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,
,1023)i m i =.则1023
1i i m ==∑（C ）
． （A ）0 （B ）1 (C) -1 (D)以上都不对
数集M ＝{s|s ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈R}与N ＝{t|t ＝y 2－by ＋c ，y ∈R}的关系为 A.M ∩N B.M ＝N C.M ∪N D.不能确定
集合S={1,2,…,18}的五元子集S 1 ={a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5}中任何两元素之差不为1,这样子集S 1的个数为( ).
A. 417C
B. 415C
C. 513C
D. 5
14C
二．填空题
已知集合N ＝{x|a ＋1≤x ＜2a －1}是集合N ＝{x|－2≤x≤5}的子集，则a 的值域为________
对于S n ＝{1，2，3，…，n}的每一个非空子集A ，我们将A 中的每一个元素k(1≤k≤n)都乘以(－1)k ，然后求和，则所有这些和的总和为__________
集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．7n ．
已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．5，8；
三．解答题
1.我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果
（1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．
求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b 满足b ＜a ≤
8
9
b ．(m =117)．
2.设S n ＝{1，2，……，n}(n≥5)，取X ⊆S n ，Y ⊆S n (X ，Y 无顺序)，若X ⊆Y 或Y ⊆X ，则称X ，Y 为一对“包含子
集对”，否则称为“非包含子集对”，问S n 中是“包含子集对”多还是“非包含子集对”多？证明你的结论。

3.设集合{}Z
x x x M ∈≤≤=,91，{}M d c b a d c b a F ∈=,,,),,,(.定义F 到Z 的映射f ：
cd ab d c b a f -−→−),,,(.若y x v u ,,,都是M 中的元素，且满足39),,,(−→−f y x v u ，66),,,(−→−f
v x y u ，
求y x v u +++的值.
4.（1986年北京市高中数学竞赛题）
设集合A={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5},B={a 12,a 22,a 32,a 42,a 52},其中a i 均为正整数，且a 1<a 2<a 3<a 4<a 5,已知A B={a 1,a 4},a 1+a 4=10,而B A ⋃中元素的和为224， 求（1）a 1,a 4的值，（2） a 2+a 3+a 5+a 22+a 32+a 52的值，（3）a 5 的值（4）集合A
思考1: 设A ＝{a |a ＝22
x y -,,x y Z ∈}， 求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)；
⑵42 ()k A k Z -∉∈.
解：⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,
∴21k -∈A ；
⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y - 即()()2(21)x y x y k -+=- (*)
由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.
思考2.(教程166P )设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.
解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k +2能被57整除，
则可设7k +2=57n . 即5725622
7778n n n n k n -+--===+. 即n -2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70
2x mx +集合B ={(x,y )10x y -+=
,且2x 0≤≤}， 又A B φ≠，求实数m 的取值范围.
答案：M 小于等于-1 {(,),}
I x y x y R =
∈3
{(,)1}
2
y M x y x -==-M
C N
P 2{4
30,}A x x x x R =-+<∈12{20,2(7)50,}
x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤若A B ⊆,则实数a 的取值范围是
.
3.( 教程9P )已知集合M={(,)x y y =,
N={}(,)(1)x y y k x =+,当M
N =∅时,k 的取值范围是_____.
0,⎡
⎢⎣
⎦
1.已知集合A={
}
2
430,
,11x x x x x B x x x ⎧⎫-+≤==⎨⎬--⎩⎭
{}
2
0C x ax x b =-+>， 且(),()A B C A B C R =∅=，求, a b 的值。

【答案】b=09a-3=0⎧⎨
⎩
2.（本小题满分13分）若集合
具有以下性质：①0,1;A A ∈∈②若,x y A ∈，则x
y A -∈，且
时，1
A x
∈.
则称集合是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合
是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若,x y A ∈，则必有x y A ∙∈；
命题q ：若,x y A ∈，且，则必有
y
A x
∈； 【答案】（Ⅰ）有理数集是“好集”. （Ⅱ）
.
（Ⅲ）命题
均为真命题..
3.已知集合(){}
M=ln 2x y x x R =-∈，{}
N=14,x x x a x R ---<∈ 若M
N φ≠,则实的数a 取值范围是____________ ．
4．已知集合A={1，2}，B={x|x 2-2ax+b=0}，若B≠∅，且A ∪B=A ，求ab=___ 【答案】3
5．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 【答案】6
6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 【答案】12 7．定义集合M 、N 的新运算如下：Mx N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但x ∉M ∩N }，若集合M ＝{0,2,4,6,8,10}，N ＝{0,3,6,9,12,15}，则(Mx N )xM 等于________． 【答案】N
8．已知有限集},,,,{321n a a a a A =)2(≥n ．如果A 中元素),3,2,1(n i a i =满足n n a a a a a a ++=2121，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合}2
5
1,251{
+---是“复活集”； ②若R a a ∈21,，且},{21a a 是“复活集”，则421>a a ； ③若+∈N a a 21,，则},{21a a 不可能是“复活集”； ④若+∈N a i ，则“复合集”A 有且只有一个，且3=n ．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）．
【答案】①③④ 9.若x ∈A ，则
1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝11,0,,2,32⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
【答案】3
10．现有含三个元素的集合，既可以表示为,,1a a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________． 【答案】－1
11．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足
1
1
2
a b c
+=，则称a 、 b 、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、
b 、
c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合
{}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则
（1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 12．如果关于x 的不等式
34
x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是 ．
13．若任意,x A ∈则
1,A x ∈就称A 是“和谐”集合.则在集合11
{1,0,,,1,2,3,4}32
M =- 的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是 ． 【答案】
1
17
14．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中
12{,,
,}n A a a a =，12{,,
,}n B b b b =，12{,,
,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<
<，
k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.
（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）
（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .
【答案】（1）7、9、11中任一个；（2）{6,10,11,12}.
15．已知⊆A {}4,3,2,1，且A 中至少有一个偶数，则这样的A 有 个． 【答案】12 16．已知集合A={x,x
y
,1},B={x 2,x+y,0},若A=B,则x 2009+y 2100=______, 【答案】-1
17．已知集合{}
1,2,43,12322
≥+=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-
==m x x B x x x y y A 若B A ⊆，
则实数m 的取值范围是 . 【答案】34
m ≥
或3
4m ≤-
19．规定记号“*”表示一种运算，即a*b=b a b a ab ,,++是正实数，若1*k=3,则正实数k 的值为 . 【答案】1
20．1已知函数))((b x a x f y ≤≤=，则集合
}2|),{(}),(|),{(=⋂≤≤=x y x b x a x f y y x 的子集有 个。

【答案】1或2
21.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则
11a
A a
+∈-。

（1）若2a =，求出A 中其它所有元素；
（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？ （3）根据（1）（2），你能得出什么结论。

【答案】（1）A 中元素为112,3,,23--
（2）113,2,,32A ⎧
⎫=--⎨⎬⎩
⎭（3）A 中的元素为4的倍数 22.设集合S n ={1，2，3，，n ），若X 是S n 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0），
若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集．
（I）写出S4的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：S n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．【答案】
集合练习题一
1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为 （ ）
A ．1
B ．—1
C ．1或—1
D ．1或—1或0
2．设集合{}21<≤-=x x M ，{}
0≤-=k x x N ，若M
N M =，则k 的取值范围（ ）
（A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[-
3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）
A 、 ()M P S
B 、 ()M P S
C 、 ()u M P C S
D 、 ()u M
P C S
4．设{}022=+-=q px x x A ，{}
05)2(62
=++++=q x p x x B ，若⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=21B A ，则=B A （ ）
（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,31,21 （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-4,21 （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,21 (D)⎭
⎬⎫⎩⎨⎧21
5．函数y =
的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛
⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
6. 设{}
{}
I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。

7．已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ⊆｝，则集合B= . 8．已知集合{}
{}
A x y y x
B x y y x ==-==()|()|，，，322那么集合A
B =
9．50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人.
10．已知集合{}
{}
A a a d a d
B a aq aq =++=，，，，，22，其中a ，d ，q R ∈，若A=B ，求q 的值。

11．已知全集U={
}
2
2,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ,b 值
12．若集合S={}
2
3,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S∩T={}1，P=S ∪T,求集合P 的所有子集
13．已知集合A={
}
37x x ≤≤，B={x|2<x<10}，C={x | x<a }，全集为实数集R.
(1) 求A ∪B ，(C R A)∩B ；(2) 如果A∩C≠φ，求a 的取值范围。

14．已知方程02=++q px x 的两个不相等实根为βα,。

集合},{βα=A ，
=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A∩C ＝A ，A∩B ＝φ，求q p ,的值？
集合练习二
1．下列集合的表示法正确的是（ ） A ．实数集可表示为R ；
B ．第二、四象限内的点集可表示为{}
(,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈； C ．集合{}1,2,2,5,7； D ．不等式14x -<的解集为{}5x <
2．对于{,(3)0,(4)0,x x Q N ≤∈∉∅其中正确的个数是（ ） A ． 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.集合{},,a b c 的子集共有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 Ｄ．8个 4．设集合{}{}1,2,3,4,|2P Q x x ==≤，则P
Q =（ ）
A ．{}1,2
B ．{}3,4
C ．{}1
D ．{}2,1,0,1,2--
5．下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;∅⊆③{}{}0,1,21,2,0;⊆④0;∈∅⑤0⋂∅.=∅其中错误．．
写法的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<，若非空集合A U ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．{}|9a a <
B ．{}|9a a ≤
C ．{}|19a a <<
D ．{}|19a a <≤
7．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5U A ==，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8C =是（ ）
A ．A
B B ．A B
C ．()()U U C A C B
D ．()()U U C A C B
8．设集合(]{}2,,|1,M m P y y x x R =-∞==-∈，若M P =∅，则实数m 的取值范围是( )
A ．1m ≥-
B ．1m >-
C ．1m ≤-
D ．1m <-
9．定义Ａ－Ｂ＝{},,x x A x B ∈∉且若Ａ＝{}1,2,4,6,8,10,Ｂ＝{}1,4,8，则Ａ－Ｂ＝ （ ）
Ａ．{}4,8 Ｂ．{}1,2,6,10 Ｃ．{}1 Ｄ．{}2,6,10
10．集合{}{}
22,1,1,21,2,34,A a a B a a a =+-=--+{}1,A B ⋂=-则a 的值是（ ） A ．1- B ．0或1 C ．0 D ． 2
11．满足{}{}1,21,2,3B =的所有集合B 的集合为 。

12．已知集合A =｛2,3,4-｝，B =｛2,x x t t A =∈｝，用列举法表示集合B=
13．５０名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有４０人，智能优秀的有３１人，两项都不优秀的有４人，问这种测验都优秀的有 人。

14．设集合,A B 满足：{}{}1,2,3,4,5A B ==， {}|M x x A =⊆， {}|N x x B =⊆，则M N = 。

16（15分）．已知集合22{|320},{|20}A x x x B x x x m =-+==-+=且=B A ,A 求m 的取值范围。

17（15分）．已知I =｛不超过5的正整数｝，集合{}2|50A x x x q =-+=，{}2|120B x x px =++=，且{}()1,3,4,5.I C A B =求
,p q 的值，并求()()I I C A C B ． 18（18分）．已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，
（1）若}2{=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围；
集合练习三
1、如果集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于（ ）
(A){}5 (B) {}8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1
2、如果U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为 （ ）
（A ）（M∩P ）∩S ；
（B ）（M∩P ）∪S ；
（C ）（M∩P ）∩（C U S ）
（D ）（M∩P ）∪（C U S ）
3、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ）
A 、3,1x y ==-
B 、(3,1)-
C 、{3,1}-
D 、{(3,1)}-
4. 2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B ⋂=,则a 的值是 ( )
A. 3a =
B. 3a =-
C. 3a =±
D. 53a a ==±或
5.若集合2{440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为 ( )
A.0
B. 1
C. 0或1
D. 1k <
6. 集合2{4,,}A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为 ( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
7. 符号{}a ⊂≠
{,,}P a b c ⊆的集合P 的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( )
A. M=P
B. P R ∈ C . M ⊂≠
P D. M ⊃≠P 9. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，
则P+Q 中元素的个数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
10. 设全集{(,),},I x y x y R =∈集合3{(,)
1},{(,)1}2
y M x y N x y y x x -===≠+-,那么()()I I C M C N ⋂等于 ( ) A. ∅ B.{(2,3)} C. (2,3) D. {(,)1}x y y x ≠+
11. 设U 为全集,集合A 、B 、C 满足条件A B A C ⋃=⋃，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A.A B A C ⋂=⋂
B.B C =
C. ()()U U A C B A C C ⋂=⋂
D. ()()U U C A B C A C ⋂=⋂ 12. 2{60},{10}A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是( )
A.11{,}32-
B. 11{0,,}32--
C. 11{0,,}32-
D. 11
{,}32
13. 设集合{=M 小于5的质数}，则M 的真子集的个数为 . 14. 设{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,{3,4,5},{4,7,8}.A B ==则:()()U U C A C B ⋂= ,
()()U U C A C B ⋃= .
15. 已知{15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或,若A ⊃≠B,则实数a 的取值范围是 .
16. 已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a
=+求20082007b a +的值. 集合练习四
1．已知集合{}{}22(,)0,(,)0M x y x y N x y x y =+==+=，则有（ ）
A M ∪N=M
B M ∪N=N
C M∩N=M
D M∩N ∅=
2．四个条件：b ＞0＞a ；0＞a ＞b ；a ＞0＞b ；a ＞b ＞0中，能使b
a 11<成立的充分条件的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
3．如果p 是q 的充分条件，s 是q 的必要条件，那么（ ）
A p 是s 的必要条件
B q 是p 的充分条件
C s 是p 的充分条件
D p 是s 的充分条件
4．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的（ ）
A 逆命题
B 否命题
C 逆否命题
D 以上判断都不对
5．设a 、b 是两个实数，给出下列条件：（1）a +b >1；（2）a +b =2；（3）a +b >2；（4）222>+b a ；（5）ab >1。

其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件共有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
6．当10≤≤x 时，函数1-+=a ax y 的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ） A 21<a B 1>a C 21<a 或1>a D 12
1<<a 7．已知命题：“若0,0≥≥y x ，则0≥xy ”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，正确的个数是（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
8．方程0122=++x ax 至少有一个负实数根的充要条件是（ ）
A 10≤<a
B 1<a
C 1≤a
D 100≤<<a a 或
9．已知集合M={}2,0,a a ，N={}2,1，M∩N={1}，则满足条件 M∩N A ⊆N M 的集合A 的个数是（ ）
A 5
B 6
C 7
D 8
10．已知集合{}{}26160,|()(2)0,M x x x N x x k x k =+->=---≤ 若M N =∅，则实数k 的取值范围是（ ）
A 08>-<k k 或
B 08≥-≤k k 或
C 28>-<k k 或
D 08≤≤-k
11．关于x 的不等式b ax ≥+1，其解集是{}
51≥-≤x x x 或，则a= ，b= 。

12．已知A={}{}
12,122+==-+-=x y y B x x y y ，则A∩B= 13、,)8()(2ab a x b ax x f ---+=已知函数当23<<-x 时，其值为正，而当23>-<x x 或时，其值为负，则=a ，=b
14．某班有学生55人，其中体育爱好者43 人，音乐爱好者34 人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。

15．不等式0)3)(4(>-+x x x 的解集是 。

16．有下列四个命题：
①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若m ≤1，则022
=+-m x x 有实根”的逆否命题；
④、命题“若A ∩B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

答 案
练习一
(1)---(5) DBCDA (6) 2 (7){}{}{}{}112∅，，2，， (8)()(){}
1124，，， (9)25 （10） 12q =- （11）{423a b =-=或 （12）{}{}{}{}{}{}{}013010313013∅，，，，，，，，，，，，
（13解：(1)∵A={}73<≤x x ，B={x|2<x<10},∴A ∪B={x|2<x<10}；
(2) ∵A={}73<≤x x ，∴C R A={x| x<3或x≥7}
∴(C R
或7≤x<10}
(3)如图，
∴当a>3时，A∩C≠φ (14)． 3,4=-=q p .
练习二
1A 2.B 3.D 4.Ａ 5.Ｃ 6.D 7.D 8.D 9.D 10.C
11.
{}{}{}{}{}3,1,3,2,3,1,2,3 12.{}4,9,16 13．２５ 14. {}∅
练习三
1、D
2、C
3、D 4. B 5.C 6. C 7. B 8. A 9. B 10. B 11. D 12.C
13. 3 14. {1,2,6},{1,2,3,5,6,7,8} 15. (,5](5,)-∞-⋃+∞ 16. ①②④
练习四 1、A 2、C 3、D 4、C 5、A 6、D 7、B 8、C 9、C 10、D 11、21-
32
12、A 13、a=-3；b=5 14、26 15、 {x|x<-4或0<x<3} 16、1、2、3
设数集M =｛x | m ≤x ≤m +43｝， N =｛x |n －3
1≤x ≤n ｝， 且M 、N 都是集合｛x |0≤x ≤1｝的子集， 如果把b －a 叫作集合｛x | a ≤x ≤b ｝的“长度”， 那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是
（ ）C A ．
31 B ．32 C ．121 D ．12
5。