重庆市江津区八级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．在下列四个标志中，是轴对称图形的是( )
A．B． C．D．
2．下列计算正确的是( )
A．（2a2）4=8a6B．a3+a=a4C．a2÷a=a D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．下列命题中，正确的是( )
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
4．化简的结果是( )
A．B．C．D．
5．代数式﹣，，，，，中是分式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．已知：如图，AB=CD，∠ABD=∠CDB，则图中全等三角形共有( )
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．下列各式中，能用平方差公式计算的有( )
①（a﹣2b）（﹣a+2b）；
②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；
③（a﹣2b）（a+2b）；
④（a﹣2b）（2a+b）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )
A．75°B．90°C．105°D．120°
9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为( )
A．50°B．40°C．35°D．30°
10．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为( )
A．6 B．12 C．±6 D．±12
11．三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为( )
A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．4：7：9
12．若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为( )
A．1 B．2 C．D．
二、填空题：（每小题4分，共24分）
13．可以把代数式2ax2﹣12ax+18a分解因式为：__________．
14．若三角形的两边长是7和4，且周长是偶数，则第三边长可能是__________．
15．如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=__________cm．
16．用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为7cm，则该等腰三角形的腰长为__________．
17．若分式方程：3无解，则k=__________．
18．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE=__________．
三、解下列各题：
19．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣3﹣2+（）2；
（2）（4a4b7﹣a6b7）（ab2）3．
20．先化简，再求值：（x+3﹣），其中x=﹣．
21．解分式方程：
（1）﹣2；
（2）．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1坐标：A1（__________，__________）、B1（__________，__________）、C1（__________，__________）；直接写出点A1、B1关于y=﹣1对称的点A2、B2坐标：A2（__________，__________）、B2（__________，__________）．（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
23．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：AB∥CD．
24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G．
求证：AE=CG．
25．华联”超市准备从上海购进甲、乙两种商品进行销售，若每件甲的商品进价比每件乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同．（1）求每件甲种商品、每件乙种商品的进价分别为多少元？
（2）若该“华联”超市本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的3倍还少5个，购进两种商品的总数量不超过95个，该超市每件甲商品销售价格为12元，每件乙种商品的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种全部售出后，可使销售两种商品的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出“华联”超市本次从上海购进甲、乙两种商品有几种方案？请你设计出来．
26．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．求证：EF⊥CD；
（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由．
2015-2016学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．在下列四个标志中，是轴对称图形的是( )
A．B． C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分析各图形的特征求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列计算正确的是( )
A．（2a2）4=8a6B．a3+a=a4C．a2÷a=a D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、（2a2）4=16a8，故A选项错误；
B、a3+a，不是同类项不能计算，故B选项错误；
C、a2÷a=a，故C选项正确；
D、（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方的知识，解题的关键是熟记法则及公式．
3．下列命题中，正确的是( )
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
【考点】命题与定理．
【分析】根据三角形外角性质对A进行判断；
根据三角形中线性质和三角形面积公式对B进行判断；
根据三角形全等的判定对C进行判断；
根据三角形高线定义对D进行判断．
【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以A选项错误；
B、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，所以B选项正确；
C、两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，所以C选项错误；
D、钝角三角形的高有两条在三角形外部，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
4．化简的结果是( )
A．B．C．D．
【考点】分式的加减法．
【分析】先通分，化为同分母的分式，再进行加减即可．
【解答】解：原式=﹣
=
=．
故选A．
【点评】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
5．代数式﹣，，，，，中是分式的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
【解答】解：在代数式﹣，，，，，中是分式的有，，，
共3个．
故选B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
6．已知：如图，AB=CD，∠ABD=∠CDB，则图中全等三角形共有( )
A．2对B．3对C．4对D．5对
【考点】全等三角形的判定．
【专题】应用题．
【分析】根据已知，利用全等三角形的判定方法来求得全等三角形，共有3对，可以通过证明得到．做题时，要从已知条件开始思考，结合全等的判定方法逐个验证，注意要由易到难，不重不漏．
【解答】解：①△ABD≌△CDB，
证明：∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=BD，
∴△ABD≌△CDB；
②△BOA≌△DOC，
∴∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠DCB
∵AB=CD，∠BOA=∠DOC
∴△BOA≌△DOC；
③△BAC≌△DCA，
∴OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵∠BAO=∠DCO
∴∠BAC=∠DCA
∵AB=CD，AC=AC
∴△BAC≌△DCA．
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．下列各式中，能用平方差公式计算的有( )
①（a﹣2b）（﹣a+2b）；
②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；
③（a﹣2b）（a+2b）；
④（a﹣2b）（2a+b）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】平方差公式．
【专题】计算题．
【分析】利用平方差公式的结构特殊判断即可得到结果．
【解答】解：①（a﹣2b）（﹣a+2b）不能用平方差公式化简；
②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）能用平方差公式化简；
③（a﹣2b）（a+2b）能用平方差公式化简；
④（a﹣2b）（2a+b）不能用平方差公式化简，
则能用平方差公式计算的有2个．
故选B．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )
A．75°B．90°C．105°D．120°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠BAE=45°，∠E=30°，
∴∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°，
∴∠α=105°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为( )
A．50°B．40°C．35°D．30°
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据旋转的性质得AC=AE，∠BAD=∠CAE，再利用等腰三角形的性质得
∠ACE=∠AEC，接着根据平行线的性质由EC∥AB得到∠ACE=∠CAB=65°，则可根据三角形内角和定理计算出∠CAE=50°，从而得到∠BAD=50°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，
∴AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵EC∥AB，
∴∠ACE=∠CAB=65°，
∴∠CAE=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴∠BAD=50°．
故选A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是判断△PCE为等腰三角形．
10．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为( )
A．6 B．12 C．±6 D．±12
【考点】完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：∵4a2﹣kab+9b2是完全平方式，
∴k=±12．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征．
11．三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为( )
A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．4：7：9
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】由三角形中，三个内角的比为1：3：6，根据三角形的外角的性质，即可求得它的三个外角的比．
【解答】解：∵三角形中，三个内角的比为1：3：6，
∴它的三个外角的比为：（3+6）：（1+6）：（1+3）=9：7：4．
故选C．
【点评】此题考查了三角形的外角的性质．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为( )
A．1 B．2 C．D．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题．
【分析】首先将xy=x y变形，得y=x y﹣1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y
的值，则可得x的值，代入x+y求得答案．
【解答】解：由题设可知y=x y﹣1，
∴x=yx3y=x4y﹣1，
∴4y﹣1=1．
故，
从而x=4．
于是．
故选C．
【点评】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同．
二、填空题：（每小题4分，共24分）
13．可以把代数式2ax2﹣12ax+18a分解因式为：2a（x﹣3）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
【解答】解：2ax2﹣12ax+18a
=2a（x2﹣6x+9）
=2a（x﹣3）2．
故答案为2a（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．若三角形的两边长是7和4，且周长是偶数，则第三边长可能是5或7或9．
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得7﹣4＜x＜7+4，再根据周长为偶数，确定x的值．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
7﹣4＜x＜7+4，
3＜x＜11，
∵周长是偶数，
∴x=5，7，9，
故答案为：5或7或9．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
15．如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么B1C1=3.75cm．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm，
∴BC=AB=5cm，
∵CB1⊥AB，
∴∠B+∠BCB1=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCB1=∠A=30°，
在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm，
∴AB1=AB﹣BB1=10﹣2.5=7.5cm，
∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°，
∴B1C1=AB1=×7.5=3.75cm．
故答案为：3.75．
【点评】本题考查三角形的性质和直角三角形的性质，本题是一道综合性较强的题目，需要同学们用30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
16．用一条长为25cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为7cm，则该等腰三角形的腰长为7cm或9cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分已知边7cm是腰长或底边两种情况讨论求解．
【解答】解：7cm是腰长时，底边为25﹣7×2=11，
∵7+7＞11，
∴7cm、7cm、11cm能组成三角形；
7cm是底边时，腰长为（25﹣7）=9cm，
7cm、9cm、9cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为7cm或9cm．
故答案为：7cm或9cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
17．若分式方程：3无解，则k=3或1．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：3（x﹣3）+2﹣kx=﹣1，
整理得（3﹣k）x=6，
当整式方程无解时，3﹣k=0即k=3，
当分式方程无解时，x=3，此时3﹣k=2，k=1，
所以k=3或1时，原方程无解．
故答案为：3或1．
【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
18．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=11，AC=5，则BE=3．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11，AC=5，
∴BE=（11﹣5）=3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解下列各题：
19．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣3﹣2+（）2；
（2）（4a4b7﹣a6b7）（ab2）3．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂以及乘方进行计算即可；
（2）先算乘方，再用多项式除以单项式的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=1﹣+
=1；
（2）原式=（4a4b7﹣a6b7）a3b6
=4a4b7×﹣a6b7×
=12ab﹣3a3b．
【点评】本题考查了整式的混合运算以及零指数幂的运算、负整数指数幂运算，掌握它们的运算法则是解题的关键．
20．先化简，再求值：（x+3﹣），其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法计算即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式=÷
=÷
=•
=，
当x=﹣时，原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．21．解分式方程：
（1）﹣2；
（2）．
【考点】解分式方程．
【分析】（1）观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）观察可得最简公分母是x（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：（1）﹣2，
方程的两边同乘（x﹣3），得
2﹣x=﹣1﹣2（x﹣3），
解得x=3．
检验：把x=3代入x﹣3=0．
故原方程无解．
（2），
方程的两边同乘x（x+1）（x﹣1），得
7（x﹣1）+5（x+1）=6x，
解得x=．
检验：把x=代入x（x+1）（x﹣1）≠0．
故原方程的解为x=．
【点评】考查了解分式方程，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2）．（1）直接写出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1坐标：A1（2，3）、B1（3，1）、C1（﹣1，﹣2）；直接写出点A1、B1关于y=﹣1对称的点A2、B2坐标：A2（2，﹣5）、B2（3，﹣3）．
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标变化特点可得A1、B1、C1的坐标，然后根据关于y=﹣1对称的点的特征即可得到A2、B2坐标．
（2）根据关于y轴对称的点的坐标变化特点可得A1、B1、C1的坐标，再连接即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（1，﹣2），
∴关于y轴对称的点A1、B1、C1坐标：A1（2，3 ）、B1（3，1 ）、C1（﹣1，﹣2 ）；∴关于y=﹣1对称的点A2、B2坐标：A2（2，﹣5 ）、B2（3，﹣3 ）；
故答案为：2，3，3，1，﹣1，﹣2，2，﹣5，3，﹣3；
（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，关键是找出对称点的坐标，掌握关于y轴对称的点的坐标变化特点：纵坐标不变，横坐标变相反数．
23．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：AB∥CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据条件证明△AOB≌△COD就可以得出∠A=∠C就可以得出结论．
【解答】证明：在△AOB和△COD中
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴∠A=∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定及性质的运用，内错角相等两直线平行的判定方法的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G．
求证：AE=CG．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．华联”超市准备从上海购进甲、乙两种商品进行销售，若每件甲的商品进价比每件乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同．（1）求每件甲种商品、每件乙种商品的进价分别为多少元？
（2）若该“华联”超市本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的3倍还少5个，购进两种商品的总数量不超过95个，该超市每件甲商品销售价格为12元，每件乙种商品的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种全部售出后，可使销售两种商品的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出“华联”超市本次从上海购进甲、乙两种商品有几种方案？请你设计出来．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式，根据“使销售两种商品的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得
，
解得：x=10，经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2=8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：
解得：23＜y≤25
∵y为整数∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
26．在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AF⊥BE交BC于点F，连结EF、CD交于点H．求证：EF⊥CD；
（2）如图2，AD=AE，AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FP⊥CD交BE的延长线于点P，试探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）据△ABE和△CAM全等求得AE=CM，∠5=∠M，由于AE=EC得出EC=CM，从而求得△EFC≌△MCF，进一步求得AD=AE，∠6=∠M，所以∠6=∠5；由△ABE≌△ACD 得出∠1=∠3，由已知可得∠1+∠5=90°，所以∠3+∠6=90°即可求得．
（2）据△QCF≌△MCF求得FQ=FM，从而求得BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM）
+PQ=AF+FM+PQ=AF+FP，即BP=AF+FP．
【解答】（1）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，
∵∠BAC=90°，AF⊥BE于G，
∴∠1+∠5=∠2+∠5=90°，
∴∠1=∠2
又∵∠BAC=∠ACM=90°，AB=AC
在△ABE和△CAM中，
，
∴△ABE≌△CAM（ASA），
∴AE=CM，∠5=∠M
∵AE=EC
∴EC=CM
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°
∴∠4=90﹣45°=45°=∠ACF
在△EFC和△MFC中，
，
∴△EFC≌△MCF（SAS），
∴∠6=∠M
∴∠6=∠5
∵AB=AC，点D、E分别是AB、AC边的中点
∴AD=AE
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠3
∴∠3+∠6=90°
∴∠EHC=90°
∴EF⊥CD．
（2）证明：如图，过点C作CM⊥AC交AF延长线于点M，由（1）得△ABE≌△CAM
AE=CM，∠5=∠M，BE=AM
由（1）得△ABE≌△ACD
∴∠1=∠3
∵FP⊥CD于H，∠BAC=90°
∴∠3+∠6=∠1+∠5
∴∠6=∠5
∴∠6=∠8，∠7=∠5
∴∠7=∠8
∴EP=QP
∵∠6=∠5，∠5=∠M
∴∠6=∠M
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠ACM=90°
∴∠4=90﹣45°=45°=∠ACF
在△QCF和△MCF中，
△QCF≌△MCF（ASA）
∴FQ=FM
∴BP=BE+PE
=AM+PQ
=（AF+FM）+PQ
=AF+FM+PQ
=AF+FP
∴BP=AF+FP．
【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，难度不大，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键．。