【备考期末】德州市中考数学几何综合压轴题模拟专题

【备考期末】德州市中考数学几何综合压轴题模拟专题
一、中考几何压轴题
1．（阅读理解）
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线”，该四边形叫做“协和四边形”．
（深入探究）
（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，请说明：四边形ABCD 是“协和四边形”．
（尝试应用）
（2）如图2，四边形ABCD 是“协和四边形”，BD 为“协和线”，AB AD ⊥，60ADC ∠=︒，若点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，连接BE ，BF ，EF ．求：
①DEF 与BEF 的面积的比；
②EBF ∠的正弦值．
（拓展应用）
（3）如图3，在菱形ABCD 中，8AB =，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，点G 、K 分别在边AB 和CD 上，点N 为BE 与GF 的交点，点M 在EF 上，连接MN ，若四边形BGEF ，DHMK 都是“协和四边形”，“协和线”分别是GF 、HK ，求MN 的最小值．
2．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．求证：FG AE =；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，23BC AB =将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若34
BE BF =，210GF =，求CP 的长． 3．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积123,,S S S 之间的关系问题”进行了以下探究：
类比探究：
（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为直径，向外侧作半圆，则面积123,,S S S 之间的关系式为_____________；
推广验证：
（2）如图3，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作ABD △，,ACE BCF ，满足123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用：
（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105,90,3,2A E C ABC AB DE ∠=∠=∠=︒∠=︒==，点P 在AE 上，30,2ABP PE ∠=︒=ABCDE 的面积．
4．点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上的一动点，在矩形ABCD 外作Rt △ECF ，其中∠ECF ＝
90°，过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ，连接DF ，交CG 于点H ．
（1）发现：如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是 ；
（2）探究：如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC 过AD 的三等分点，AD ＝3，AB ＝4，则直接写出线段EF 的长．
5．《函数的图象与性质》拓展学习展示：
（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线1G ：232
y ax bx 与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，则a =______，b =______．
（操作）将图①中抛物线1G 沿BC 方向平移BC 长度的距离得到拋物线2G ，2G 在y 轴左侧
的部分与1G 在y 轴右侧的部分组成的新图象记为G ，如图②．请直接写出图象G 对应的函数解析式．
（探究）在图②中，过点C 作直线l 平行于x 轴，与图象G 交于D ，E 两点，如图③．求出图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．
（应用）P 是抛物线2G 对称轴上一个动点，当PDE △是直角三角形时，直接写出P 点的坐标．
6．如图：两个菱形ABCD 与菱形BEFG 的边AB BE ，在同一条直线上，边长分别为a 和b ，点C 在BG 上，点M 为CG 的中点．
（1）观察猜想：如图①，线段BM 与线段AE 的数量关系是______________．
（2）拓展探究：如图②，120ABC ∠=︒，将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM ，
①猜想线段BM 与线段AE 的数量关系，并说明理由．
②求出线段BM 与AE 所成的最小夹角．
（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且3BC EF AB BE
==，请直接写出线段BM 与线段AE 的数量关系．
7．（问题情境）（1）如图1，在矩形ABCD 中，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点E 处，设AD 与CE 相交于点F ，那么AC 与DE 的位置关系为 ．
（类比探究）（2）如图2，若四边形ABCD 为平行四边形，上述“问题情境”中的条件不变，
①猜想AC 与DE 的位置关系，并证明你的结论；
②当∠B 与∠ACB 满足什么数量关系时，△ABC ∽△FEA ？请说明理由；
（拓展应用）（3）如图3，▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝6，上述“问题情境”中的条件不变，当△AEC 是直角三角形时，请直接写出DE 的长为 ．
8．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
如图，G ，H 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG =CH ，E ，F 分别是边AB 和CD 的中点
求证：四边形EHFG 是平行四边形
证明：连接EF 交AC 于点O
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB =CD ，AB ∥CD
又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点
∴AE =CF
又∵AB ∥CD
∴∠EAO =∠FCO
又∵∠AOE =∠COF
∴△AOE ≌△COF
请补全上述问题的证明过程．
（探究）如图①，在△ABC 中，E ，O 分别是边AB 、AC 的中点，D 、F 分别是线段AO 、CO 的中点，连结DE 、EF ，将△DEF 绕点O 旋转180°得到△DGF ，若四边形DEFG 的面积为8，则△ABC 的面积为 ．
（拓展）如图②，GH 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AG ＝CH ，GH ＝AB ，E 、F 分别是AB 和CD 的中点．若正方形ABCD 的面积为16，则四边形EHFG 的面积为 ．
9．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AF EF ，求CD CG
的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，CD CG
的值是_________．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CD CG
的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，//DC AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 和BD 相交于点F ．若
AB a CD =，BC b BE
=，()0,0a b >>，则AF EF 的值是________（用含a 、b 的代数式表示）． 10．在矩形ABCD 中，
AD k AB =（k 为常数），点P 是对角线BD 上一动点（不与B ，D 重合），将射线PA 绕点P 逆时针旋转90°与射线CB 交于点E ，连接AE ．
（1）特例发现：如图1，当k =1时，将点P 移动到对角线交点处，可发现点E 与点B 重合，则PA PE
= ，∠AEP = ；当点P 移动到其它位置时，∠AEP 的大小 （填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k ≠1时，当k 的值确定时，请探究∠AEP 的大小是否会随着点P 的移动而发生变化，并说明理由；
（3）拓展应用：当k ≠1时，如图2，连接PC ，若PC ⊥BD ，//AE PC ，PC =2，求AP 的长．
11．综合与实践——探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60︒角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，且Rt ABC 的较短直角边AB 为2，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转α(090)α︒<<︒，如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，AMC 是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接AP ，CE ，那么AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．请帮他们证明；
（3）再探究：
在旋转过程中，当旋转角30α=︒时，求ABC 与AFE △重叠的面积； （4）拓展延伸：
在旋转过程中，CPN 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．
12．综合与实践
（问题背景）
如图1，矩形ABCD 中，10,8AB BC ==．点E 为边BC 上一点，沿直线DE 将矩形折叠，使点C 落在AB 边的点C '处．
（问题解决）
（1）填空：AC '的长为______．
（2）如图2，将DC E '沿线段AB 向右平移，使点C '与点B 重合，得到,D BE D E ''''与BC 交于点F ，D B '与DE 交于点G ．求EF 的长；
（拓展探究）
（3）在图2中，连接,GF EE '，则四边形GEE F '是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
13．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．
动手操作：如图①，矩形纸片ABCD 的边AB ＝3ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合，折痕为EF ，然后展开，EF 与AC 交于点H ；
如图②，将矩形ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在对角线AC 上，且点B 与点H 重合，展开图形，折痕为AG ，连接GH ；
若在图①中连接BH ，得到如图③，点M 是线段BH 上的动点，点N 是线段AH 上的动点，连接AM ，MN ，且∠AMN ＝∠ABH ；
若在图②中连接BH ，交折痕AG 于点Q ，隐去其它线段，得到如图④．
解决问题：
（1）在图②中，∠ACB ＝ ，BC ＝ ，AG GF ＝ ，与△ABG 相似的三角形有 个； （2）在图②中，AH 2＝AE ·
（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论； （3）在图③中，△ABH 为 三角形，设BM 为x ，则NH ＝ （用含x 的式子表示）； 拓展延伸：
（4）在图④中，将△ABQ 绕点B 按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A ′BQ ′，连接DQ ′，则DQ ′的最小值为 ，当tan ∠CBQ ′＝ 时，△DBQ ′的面积最大值为 ． 14．如图，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，5AB =，D 为底边BC 上一动点，连接AD ，以AD 为斜边向左上方作等腰直角ADE ，连接BE ．
观察猜想：
（1）当点E 落在线段AB 上时，直接写出EB ，ED 的数量关系：EB _______ED ． 类比探究：
（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：
（3）在点D 运动过程中，当7BE =时，请直接写出线段CD 的长．
15．（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作正方形CEFG ，连接DG 、BE ，则DG 与BE 的数量关系是 ； （类比探究）
（2）如图2，四边形ABCD 是矩形，AB=2，BC=4，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作矩形CEFG ，且CG ：CE=1：2，连接DG 、BE ．判断线段DG 与BE 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（拓展提升）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG ，则2BG+BE 的最小值为 ．
16．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
（问题理解）
(1)如图1，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、CD ． 求证：四边形ABCD 是等补四边形；
（拓展探究）
(2)如图2，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，连接AC ，AC 是否平分∠BCD ？请说明理由； （升华运用）
(3)如图3，在等补四边形ABCD 中，AB ＝AD ，其外角∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ．若CD ＝6，DF ＝2，求AF 的长．
17．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中和△DCE 中，AB AC =，DC DE =，60BAC CDE ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．填空： ①AD BE
的值为 ； ②∠ABE 的度数为 ．
（2）类比探究：如图2，在△ABC 中和△DCE 中，90BAC CDE ∠=∠=︒，
30ABC DEC ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．请判断AD BE
的值及∠ABE 的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若3AB =3CD =，请直接写出BE 的长．
18．问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的动点，DE⊥BC于点E，连接AE，CD，点F，G，H分别是AE，CD，AC的中点．
（1）观察猜想：△FGH的形状是
（2）探究论证：把△BDE绕点B按逆时针方向旋转到如图所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：把△BDE 绕点B 在平面内自由旋转，若BC=6，BE=2，请直接写出△FGH 周长的取值范围．
20．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、
CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．
（观察猜想）
（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段
CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BC BN
的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考几何压轴题
1．（1）证明见解析；（2）①；②；（3）．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据“协和四边形”的定义即可得证；
（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的
解析：（1）证明见解析；（2）①3:5；②53；（3）23． 【分析】
（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得
,ABD CBD ADB CDB ∠=∠∠=∠，再根据“协和四边形”的定义即可得证； （2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的判定定理可得ABD CBD ≅，从而可得AD CD =，再根据等边三角形的判定与性质可得,1,2B E D EF F DE D OE EF F ⊥===，然后设2EF DE DF a ===，解直角三角形可得83,3BD a OD a ==，从而可得53OB a =，最后利用三角形的面积公式即可得； ②如图（见解析），设2EF DE DF a ===，先利用勾股定理可得221BF BE a ==
，再利用三角形的面积公式可得57EH a =，然后根据正弦三角函数的定义即可得； （3）如图（见解析），先解直角三角形可得43BP =，再根据菱形的性质、平行线的性质可得EBF BEP ∠=∠，从而可得NEM BEP ∠=∠，然后根据垂线段最短可得当MN EF ⊥时，MN 取得最小值，最后根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
证明：（1）如图，连接BD ，
在ABD △和CBD 中，AB BC AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ()ABD CBD SSS ∴≅，
,ABD CBD ADB CDB ∴∠=∠∠=∠，
BD ∴平分ABC ∠和ADC ∠，
∴四边形ABCD 是“协和四边形”；
（2）①如图，设BD 与EF 相交于点O ，
BD 为“协和线”，
BD ∴平分ABC ∠和ADC ∠，
,ABD CBD ADB CDB ∴∠=∠∠=∠，
在ABD △和CBD 中，ABD CBD BD BD ADB CDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABD CBD ASA ∴≅，
AD CD ∴=，
∵点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，
1122
DE AD DC DF ∴===， 60ADC ∠=︒，
DEF ∴是等边三角形，EF DE DF ==，
1,2
BD EF OE EF ∴⊥=（等腰三角形的三线合一）， 设2EF DE DF a ===，则4,AD a OE a ==， ∵在Rt ABD △中，1
302ADB ADC ∠=∠=︒，
83cos AD BD ADB ∴==∠， 在Rt DOE 中，223OD DE OE a -，
53OB BD OD ∴=-=，
1
3
2
15
2
DEF
BEF
EF OD
S OD
S OB
EF OB
⋅
∴===
⋅
，
即DEF与BEF的面积的比为3:5；
②如图，过点E作EH BF
⊥于点H，
由（2）①知，BD垂直平分EF，
BE BF
∴=，
设2
EF DE DF a
===，则4,
AD a OE a
==，
同（2）①可得：
53
OB a
=，
22
221
BF BE OE OB a
∴==+=，
11
22
BEF
S EF OB BF EH
=⋅=⋅，
1531221
2
22
a a aEH
∴⨯⋅=⨯，
解得
57
EH a
=，
则在Rt BEH中，
57
53
7
sin
221
EH
EBF
BE
a
a
∠===；（3）如图，过点B作BP AD
⊥，交DA延长线于点P，
120BAD ∠=︒，
18060BAP BAD ∴∠=︒-∠=︒，
在Rt ABP 中，sin 8BP AB BAP =⋅∠== 四边形ABCD 是菱形， //DP BC ∴，
EBF BEP ∴∠=∠，
同（2）①可证：GF 垂直平分BE ，
1,2
BF EF BN EN BE ∴===， EBF NEM ∴∠=∠，
NEM BEP ∴∠=∠，
由垂线段最短可知，当MN EF ⊥时，MN 取得最小值， 在NEM 和BEP △中，90NEM BEP NME P ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩
， NEM BEP ∴~，
1
2MN EN BP BE ∴==12
=， 解得
MN =
即MN 的最小值为
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用垂线段最短得出当MN EF ⊥时，MN 取得最小值是解题关键．
2．（1）见解析；（2）；见解析；（3）
【分析】
（1）先△ABE ≌△DAQ ，可得AE ＝DQ;再证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作GM ⊥AB 于M ．然后证明△ABE ∽△GM
解析：（1）见解析；（2）
23GF AE =；见解析；（3【分析】
（1）先△ABE ≌△DAQ ，可得AE ＝DQ ;再证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题； （2）如图2中，作GM ⊥AB 于M ．然后证明△ABE ∽△GMF 即可解决问题；
（3）如图3中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即可解决问题．
【详解】
（1）如图（1），∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴DQ=GF，
∴FG=AE；
（2）
2
3 GF
AE
．
理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠BAE +∠AFO ＝90°，∠AFO +∠FGM ＝90°，
∴∠BAE ＝∠FGM ，
∴△ABE ∽△GMF ，
∴GF ：AE ＝GM ：AB ，
∵∠AMG ＝∠D ＝∠DAM ＝90°，
∴四边形AMGD 是矩形，
∴GM ＝AD ，
∴GF ：AE ＝AD ：AB ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC ＝AD ，
∴GF ：AE ＝BC ：AB ， ∵23BC AB =， ∴23
GF AE =． （3）解：如图（3）中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．
由BE ：BF ＝3：4 ，设BE ＝3k ，BF ＝4k ，则EF ＝AF ＝5k ，
∵23
GF AE =，210GF = ∴AE ＝310
在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得222BE AB AE +=，
∴222(3k)(9k)(310)+=
∴k ＝1或﹣1（舍去），
∴BE ＝3，AB ＝9，
∵BC ：AB ＝2：3，
∴BC ＝6，
∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，
∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，
∴∠FEB +∠PEM ＝90°，∠PEM +∠EPM ＝90°，
∴∠FEB ＝∠EPM ，
∴△FBE ∽△EMP ， ∴
FB FE BE EM EP PM ==， ∴4536EM PM
==， ∴EM ＝245 ，PM ＝185
， ∴CM ＝EM ﹣EC ＝
245﹣3＝95，
∴PC
= 【点睛】
本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键．
3．（1）S1+S2=S3，(2)成立，证明见解析，（3）
【分析】
（1）分别写出三个半圆的面积，再利用勾股定理转化即可．
（2）先证明三个三角形相似，再计算出三个三角形的面积，即可得出结论． （3）
解析：（1）S 1+S 2=S 3，(2)成立，证明见解析，（3）7+
【分析】
（1）分别写出三个半圆的面积，再利用勾股定理转化即可．
（2）先证明三个三角形相似，再计算出三个三角形的面积，即可得出结论．
（3）先添加辅助线，在第二问的思路下，先证明三个三角形相似，得出三个三角形的面积关系，再利用30°、45°的直角三角形计算出相应的边，计算出五边形的面积即可．
【详解】
解：（1）设AB =b,AC =a,BC =c .则有：222
123,,222b a c S S S πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以()222212224b a S +S +a b πππ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在Rt △ABC 中，有a 2+b 2=c 2，且2
2324c S =c ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()222221232244b a S +S +a b =c S ππππ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：S 1+S 2=S 3
（2）∵123,∠=∠=∠∠=∠=∠D E F
∴ABD CAE BCF △△△
设AB 、AC 、BC 边上的高分别为h 1，h 2，h 3 ∴312h h h AB AC BC
==，设AB =b,AC =a,BC =c 则1123,ah ch h h b b =
= ∴2211111123111,,22222ah a h ch c h S bh S a S c b b b b
===== ()22222111112112222h a b a h b h a h S +S bh +=b b b
++== 又在Rt △ABC 中，有a 2+b 2=c 2
∴()2221112322h a b h c S +S =S b b
+== 故依然成立
（3）连接PD 、BD ，作AF ⊥BP ，EM ⊥PD
∵∠ABP =30°，∠BAP =105°
∴∠APB =45°
在Rt △ABF 中，AF =12 AB 3BF =3,在Rt △AFP 中,AF =PF 3则AP 6 ， ∵∠A =∠E ,232,26
AB DE AP PE == ∴△ABP ∽△EDP
∴∠EPD =45°∠EDP=30°
∴∠BPD =90° 又PE 2
∴PM =EM =1,MD 3
则PD 3∴ABP PED BCD S S S +=△△△
(11
322ABP S AF BP =
=⨯=△
(11
1122S PD EM ==⨯⨯=△PDE
ABP PED BCD S S S +=△△△
((11
3122S PD BP ==⨯⨯=△PBD 所以五边形的面积为：
247ABP PDE BCD BPD BCD BPD S S S S S S +++=+=+=+△△△△△△【点睛】
本题考查勾股定理、与勾股定理有关的图形问题、相似三角形．是中考的常考知识． 4．(1)DH=HF ；(2)DH=HF 仍然成立，理由见解析；(3)或 ．
【分析】
(1)证明，得，则，则证，得出即可；
(2)证，则，由矩形的性质得出，证，即可得出；
(3)根据矩形的性质和已知得，则
解析：(1)DH =HF ；(2)DH =HF 仍然成立，理由见解析；． 【分析】
(1)证明()GCF BEC AAS ∆∆≌，得BC GF =，则CD GF =，则证()HCD HGF ASA ∆∆≌，得出DH HF =即可；
(2)证FCG CEB ∆∆∽，则GF FC n BC CE ==，由矩形的性质得出CD n BC
=，证()HCD HGF ASA ∆∆≌，即可得出DH HF =； (3)根据矩形的性质和已知得43AB n AD =
=，则43CE CF =，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．
【详解】
解：(1)DH HF =，理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，AB AD =，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴BC CD =，90ABC EBC BCD ∠=∠=∠=︒，
∵FG BC ⊥，90ECF ∠=︒，
∴//CD GF ，90CGF ECF EBC ∠=∠=∠=︒，
∴+90GCF BCE ∠∠=︒，
∵+90BCE BEC ∠∠=︒，
∴=GCF BEC ∠∠，
在GCF ∆和BEC ∆中，
==GCF BEC CGF EBC CF CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴()GCF BEC AAS ∆∆≌，
∴BC GF =，
∴CD GF =，
//CD GF
∴=HDC HFG ∠∠，
=HCD HGF ∠∠，
在HCD ∆和HGF ∆中，
==HDC HFG CD GF
HCD HGF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
， ∴()HCD HGF ASA ∆∆≌，
∴DH HF =，
故答案为DH HF =，
(2) DH HF =仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，FG BC ⊥，90ECF ∠=︒，
∴90CGF ECF EBC ∠=∠=∠=︒
∴+90FCG BCE ∠∠=︒，
∵+90BCE CEB ∠∠=︒，
∴=FCG CEB ∠∠，
∴FCG CEB ∆∆， ∴GF FC n BC CE
==， ∴四边形ABCD 是矩形，AB nAD =， ∴CD n BC
=， ∴
GF CD BC BC =， ∴GF CD =，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴CD BC ⊥，
∵FG BC ⊥，
∴//CD FG ，
∴HDC HFG ∠=∠，HCD HGF ∠=∠，
在HCD ∆和HGF ∆中，
==HDC HFG CD GF
HCD HGF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
， ∴()HCD HGF ASA ∆∆≌，
∴DH HF =，
(3)如图所示，延长FC 交AD 于R ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴4AB CD ==，3AD BC ==，90RDC ∠=︒，//RD CH ，
∵AB nAD =，CF nCE =， ∴43
AB n AD ==， ∴43
CF CE =， 分两种情况：
①当13
AR AD =时， ∵3AD =，
∴1AR =，2DR =，
在Rt CDR ∆中，由勾股定理得：
22222425CR DR CD ++=
∵//RD CH ，DH HF =， ∴25RC CF == ∴3325542
CE =⨯ 由勾股定理得：EF ()222235255522CF CE ⎛⎫+=
+ ⎪⎝⎭ ②当13
DR AD =时，同理可得：1DR =， 4DC =，17CF RC ==
∴ 317CE = 由勾股定理得：
∴ EF == 综上所说，若射线FC 过AD 的三等分点，3AD =，4AB =，
则线段EF ． 【点睛】
本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．【问题】，1；【操作】当时，，当时，；【探究】或；【应用】点的坐标为：或
【分析】
问题:即可求解；
操作：抛物线G1沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平
解析：【问题】12-，1；【操作】当0x <时，213222
y x x =--+，当0x ≥时，21322
y x x =--+；【探究】42x -<<-或01x <<；【应用】点P 的坐标为：3
2,2⎛-+ ⎝或32,2⎛-- ⎝ 【分析】
问题:23(1)(3)2
y ax bx a x x =++=+-即可求解； 操作：抛物线G 1沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线G 2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移32
个单位，即可求解； 探究：将点C 的坐标代入两个函数表达式，求出G 1、G 2的顶点坐标，即可求解； 应用：证明∠EPN =∠MDP ，利用tan ∠EPN =tan ∠MDP ，即可求解．
【详解】 解：问题：()()23132y ax bx a x x =++=+-，解得：12
a =-，1
b =， 故答案为：12
-，1； 操作：抛物线1G 沿BC 方向平移BC 长度的距离得到抛物线2G ，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移32
个单位， 1G ：()2223131122222
y ax bx x x x =++=-++=--+，
2G ：()22131313222222y x x x =--+
++=--+， 当0x <时，213222
y x x =--+， 当0x ≥时，21322
y x x =--+； 探究：C 点的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 当32y =时，2133222
x x -++=， 解得：10x =，2
2x =，
∴32,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当32y =时，21332222
x x --+=， 解得：10x =，24x =-，
∴34,2D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∵()2213112222y x x x =-++=--+，()221317222222
y x x x =--+=-++， ∴抛物线1G 的顶点为()1,2，抛物线2G 的顶点为72,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∴42x -<<-或01x <<时，函数y 随x 的增大而增大；
应用：如图，过点P 作x 轴的平行线交过点D 与x 轴的垂线于点M ，交过E 点与x 轴的垂直的直线于点N ，
设点()2,P m -，则32EN m =-，4PN =，32
DM m =-，2PM =， ∵90EPN MPD ∠+∠=︒，90MDP DPM ∠+∠=︒，
∴EPN MDP ∠=∠，
∴tan tan EPN MDP ∠=∠，即EN MP PN DM =，即322342
m m -=-，解得：3222m =± 故点P 的坐标为：32,222⎛-+ ⎝或32,222⎛-- ⎝．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、图形的平移等，具有一定的综合性，关键在于根据题意作出图形进行解答．
6．（1）；（2）①，理由见解析；②线段与所成的最小夹角为60；（3）．
【分析】
（1）根据已知求得AE =a+b ，CG =b-a ，根据线段中点的定义求得CM =，通过计算即可求解；
（2）①延长BM
解析：（1）12BM AE =；（2）①12
BM AE =，理由见解析；②线段BM 与AE 所成的最
小夹角为60︒；（3）BM AE =
． 【分析】 （1）根据已知求得AE =a +b ，CG =b -a ，根据线段中点的定义求得CM =1122
b a -，通过计算即可求解；
（2）①延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，利用SAS 证明△CMB ≅△GMH 和△ABE ≅△HGB ，即可得到结论；
②延长MB 交AE 于N ，证明∠GBE =∠BNE =60︒，即可求解；
（3）延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，同理证明△CMB ≅△GMH ，再证明
△ABE ~△HGB ，即可求解．
【详解】
（1）12
BM AE =，理由如下： ∵菱形ABCD 与菱形 BEFG 的边长分别为a 和b ，
∴AE =AB +BE =a +b ，CG =BG -BC =b -a ，
∵点M 为CG 的中点，
∴CM =12CG =1122
b a -， ∴()1111122222
BM BC CM a b a a b a b =+=+-=+=+， ∴12
BM AE =； （2）①12BM AE =
，理由如下： 延长BM 到H ，使MH =BM ，连接GH ，如图：
∵点M为CG的中点，
∴CM=MG，
∵∠CMB=∠GMH，
∴△CMB≅△GMH (SAS)，
∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，
∴BC∥GH，
∴∠BGH+∠CBG=180︒，
∵菱形ABCD与菱形BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=60°，∴∠ABE+∠CBG=180︒，
∴∠ABE=∠BGH，
∵AB=BC=HG，BE=BG，
∴△ABE≅△HGB (SAS)，
∴AE= HB1
2AE
=；
②线段BM与AE所成的最小夹角为60︒，理由如下：
∵△ABE≅△HGB，
∴∠AEB=∠BHG，
延长MB交AE于N，
则∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB，∴∠GBE=∠BNE=60︒，
∴线段BM与AE所成的最小夹角为60︒；
（3）
3
BM AE，理由如下：
延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图：
同理可得：△CMB ≅△GMH (SAS )，
∴∠BCM =∠HGM ，BC =HG ，
∴BC ∥GH ，
∴∠BGH +∠CBG =180︒，
∵矩形ABCD 与矩形 BEFG 中，∠ABC =∠GBE =90°，
∴∠ABE +∠CBG =180︒，
∴∠ABE =∠BGH ， ∵
3BC EF AB BE == ∴3HG B AB G BE
== ∴△ABE ~△HGB ， ∴3BH BG AE BE
== ∵12BM BH =
， ∴3BM AE =． 【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（1）AC//DE ；（2）①AC//DE ；②∠B+3∠ACB ＝180°，理由见解析；（3）或．
【分析】
【问题情境】AC//DE ，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠EDA ＝∠3即可；
【类比探究】①
解析：（1）AC //DE ；（2）①AC //DE ；②∠B +3∠ACB ＝180°，理由见解析；（3）63
33．
【分析】
【问题情境】AC//DE，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠EDA＝∠3即可；
【类比探究】①AC//DE，根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠EDA＝∠3即可；②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，根据三角形外角的性质可得∠AFE＝2∠ACB，若
△ABC∽△FEA，根据相似三角形的性质可得∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，根据平行线的性质可得∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，可得出∠B+3∠ACB＝180°；
【拓展应用】分两种情形：①∠EAC＝90°时，如图3﹣1．②如图2，当∠ACE＝90°时，分别求解即可．
【详解】
【问题情境】如图①中，
∵矩形ABCD沿AC折叠，
∴∠1＝∠2，
∵AD//BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝CF，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣AF＝CE﹣CF，
即EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠3＝∠ADE，
∴AC//DE．
故答案为：AC//DE；
【类比探究】①如图②中，
∵沿AC折叠，
∴∠ACB＝∠ACE，BC＝CE，
∵AD//BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACE，
∴FA＝FC，
∵AD＝BC，BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴AD﹣FA＝CE﹣FC，
即EF＝DF，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠AFC＝∠EFD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴AC//DE，
②由①得∠DAC＝∠ACB＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠DAC+∠ACE＝2∠ACB，
若△ABC∽△FEA，
则∠BAC＝∠EFA＝2∠ACB，∠B＝∠AEC，
∵AD//BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，即∠B+∠BAC+∠DAC＝180°，
∵∠BAC＝2∠ACB，∠DAC＝∠ACB，
∴∠B+3∠ACB＝180°，
∴当∠B+3∠ACB＝180°时，
△ABC∽△FEA；
【拓展应用】①∠EAC＝90°时，如图，
∵沿AC折叠，
∴AE＝AB＝6，∠AEC＝∠ABC＝60°，∠BAC＝∠EAC＝90°，∴B、A、E三点共线，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，即AE//CD，AB＝CD，
∴AE//CD，AE＝CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴DE＝AC，
在Rt △BAC 中，AC ＝AB •tan ∠B ＝6363⨯=，
②如图，当∠ACE ＝90°时，
∵沿AC 折叠，
∴AE ＝AB ＝6，∠ACE ＝∠ABC ＝60°，∠BCA ＝∠ECA ＝90°，
∴B 、C 、E 三点共线，
∵BC ＝CE ＝AD ，
∵AD //BE ，∠ECA ＝90°，
∴四边形ACED 为矩形，
∴DE ＝AC ，
在Rt △ABC 中，AC ＝AB •sin ∠B ＝3633= 综上可知，当△AEC 是直角三角形时，DE 的长为6333
故答案为：6333
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 8．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4 【分析】
教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可
解析：教材呈现：见解析；探究：16；拓展：2
【分析】
教材呈现：先根据三角形全等的性质可得,OE OF OA OC ==，再根据线段的和差可得OG OH =，然后根据平行四边形的判定即可得证；
探究：先由旋转的性质可得4DGF S
=，再根据等底同高可得2ADE DOE EOF S S S ===，从而可得4AOE S =，然后根据三角形中位线定理即可得； 拓展：先根据正方形的性质和面积可得4,90AB BC B ==∠=︒，从而可得
2,4,2AC GH AE ===，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得2OE =角形的面积公式可得22EGH S
= 【详解】
解：教材呈现：补充完整证明过程如下：
∴OE ＝OF ，OA ＝OC ，
又∵AG ＝CH ，
∴OA －AG ＝OC －CH ，即OG ＝OH ，
∴四边形EHFG 是平行四边形；
探究：如图，连接OE ，BO ， 由旋转的性质得：118422
DGF DEF DEFG S S S ===⨯=四边形， 点O 是AC 的中点，点D 是AO 的中点，点F 是CO 的中点，
AD OD OF CF ∴===，
由等底同高得：114222ADE DOE EOF DEF S
S S S ====⨯=， 224AOE ADE DOE S S S ∴=+=+=， 又点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，
∴S △BEO =S △AEO =4，
∴S △ABO = S △BEO +S △AEO =8，
22816ABC AOB S S ∴==⨯=，
故答案为：16；
拓展：如图，过点E 作EO GH ⊥于点O ，
四边形ABCD 是面积为16的正方形，
4,90AB BC B ∴==∠=︒，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得22224424A C B B A C ++=
∵AC 为正方形的对角线，
∴∠EAO =45°，
点E 是AB 的中点，
122
AE AB ∴==， ∵EO GH ⊥，
∴45AEO EAO ∠=∠=︒，
∴AO =EO ，
在Rt △AEO 中由勾股定理的AO 2+EO 2=AE 2，即2OE 2=4
解得2OE =
GH AB =，
4GH ∴=，
11422222
EGH S GH OE ∴=⋅=⨯⨯=， 由教材呈现可知，四边形EHFG 是平行四边形，
则四边形EHFG 的面积为222242EGH S
=⨯=， 故答案为：42．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．
9．（1）；；；（2）；（3）．
【分析】
（1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最
解析：（1）3AB EH =；2CG EH =；
32
；（2）2m ；（3）ab ． 【分析】
（1）本问体现“特殊”的情形，3AF EF =是一个确定的数值．如答图1，过E 点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH 来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，
AF m EF =不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．
【详解】
解：（1）依题意，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，如图1所示．
则有ABF
EHF ， ∴3AB AF EH EF
==， ∴3AB EH =．。