宁夏银川一中2018-2019学年高三(上)第四次月考数学模拟试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学模拟试卷（文
科）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B=（）
A．{x|x＜﹣1或x≥1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|x＞﹣1}
2．设z=﹣+i，则z2+z=（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）
A．=1B．=1
C．D．=1
4．已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行，则它们之间的距离是（）
A．2B．8C．D．
5．已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．B．C．D．
6．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（）
A．B．
C．D．
7．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8．在等差数列{a n}中，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，则使S n＞0成立的
正整数n的最大值是（）
A．15B．16C．17D．14
9．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕
圆心O旋转时，•的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．[﹣1，﹣1+]
C．[﹣，]D．[﹣， +]
10．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F恰好与抛物线y2=8x的焦点F重合，
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1B．﹣=1
C．﹣y2=1D．x2﹣=1
11．已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，
准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（）
A．1B．C．2D．3
12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）
A．[﹣24，0）B．（﹣∞，﹣24）∪[0，2）
C．（﹣24，3）D．（﹣∞，﹣24]∪[0，2]
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
=2S n+3，则S4=．
13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n
+1
14．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．
15．已知椭圆的左焦点是F，A、B分别是椭圆上顶点和右顶点，△FAB为直角三角形，则椭圆的离心率e为．
16．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=3，S3=39．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．
18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ccosA、bcosB、acosC 成等差数列．
（1）求B角的大小；
（2）若a+c=5，，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AB的中点．
（1）证明：BC1∥平面MCA1；
（2）若AB=A1M=2MC=2，，求点C1到平面MCA1的距离．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，
椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上
是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．
21．（12分）设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m ＜n，a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；
（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．
四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为
参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．
五．解答题（共1小题）
23．求函数y=（﹣6≤x＜5）的最大值和最小值．
2018-2019学年宁夏银川一中高三（上）第四次月考数学模拟
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B=（）
A．{x|x＜﹣1或x≥1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|x＞﹣1}
【分析】解不等式得出集合B，根据并集的定义写出A∪B．
【解答】解：A={x|x＞1}，
B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
则A∪B={x|x＞﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2．设z=﹣+i，则z2+z=（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】直接把z代入z2+z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z=﹣+i，
得z2+z==．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（）
A．=1B．=1
C．D．=1
【分析】根据抛物线方程，算出其焦点为F（0，5）．由此设双曲线的方程为﹣=1，
根据基本量的平方关系与渐近线方程的公式，建立关于a、b的方程组解出a、b的值，即可得到该双曲线的标准方程．
【解答】解：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，
∴抛物线的焦点为F（0，5），
设双曲线的方程为﹣=1，
∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即y=x，
∴，
解得a=3，b=4（舍负），
可得该双曲线的标准方程为：=1．．
故选：B．
【点评】本题给出双曲线与已知抛物线有一个焦点重合，在已知渐近线的情况下求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
4．已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行，则它们之间的距离是（）
A．2B．8C．D．
【分析】直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行，可得≠，解得m．利用两点之间的距离公式即可得出．
【解答】解：直线3x+4y+3=0与直线6x+my﹣14=0平行，
∴≠，
解得m=8．
直线6x+my﹣14=0，即直线6x+8y﹣14=0，化为3x+4y﹣7=0，
∴它们之间的距离==2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）
A．B．C．D．
【分析】求出双曲线的实轴长，得到m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可．
【解答】解：双曲线的实轴长为8，
可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2（舍去）．
所以，双曲线的渐近线方程为：．
则该双曲线的渐近线的斜率：．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断．
【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x），
所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，
当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2，
所以f′（x）=﹣2x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，
故排除C，
方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于中档题．
7．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，
三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，
半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，
故组合体的体积V=+π，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度不大，属于基础题．
8．在等差数列{a n}中，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，则使S n＞0成立的正整数n的最大值是（）
A．15B．16C．17D．14
【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，且a9+a10＜0，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和有最大值，
∴等差数列{a n}为递减数列，
又＜﹣1，
∴a9＞0，a10＜0，
∴a9+a10＜0，
又S18=＜0，S17==17a9＞0，
∴S n＞0成立的正整数n的最大值是17，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．
9．半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕
圆心O旋转时，•的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．[﹣1，﹣1+]
C．[﹣，]D．[﹣， +]
【分析】法一、以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设
OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣
sin（θ+）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．
法二、运用向量的加法和数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解法一：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A （﹣1，﹣1），
设OE 与Ox 的反向延长线成θ角，
即有E （﹣cosθ，﹣sinθ），F （﹣cos （θ+），﹣sin （θ+
）），
0≤θ＜2π，
则
•
=（1﹣cosθ，1﹣sinθ）•（﹣cos （θ+
），﹣sin （θ+））
=cosθcos （θ+）+sinθsin （θ+
）﹣（cos （θ+）+sin （θ+
））
=cos
﹣
sin （θ+
）=﹣
sin （θ+
），
当sin （θ+）=1，即θ=时，取得最小值﹣；
当sin （θ+）=﹣1，即θ=时，取得最大值+．
即有•的取值范围是[﹣， +
]．
法二、=
+，
•=（+
）•=•
+
•，
而•=， •
=|
|•||cosθ=cosθ，
则
•的取值范围是[﹣
， +
]．
故选：C ．
【点评】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．
10．双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 恰好与抛物线y 2=8x 的焦点F 重合，
且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1B．﹣=1
C．﹣y2=1D．x2﹣=1
【分析】求出抛物线的焦点坐标，顶点双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）焦距，得
到ab关系，求出P的坐标，把P点代入双曲线方程求出双曲线的标准方程．
【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
∴由题意知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），
∴a2+b2=4，
∵P是抛物线与双曲线的一个交点，|PF|=5，
∴p点横坐标x P=3，代入抛物线y2=8x得P（3，±2），
把P（3，±2）代入双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）得，整理，得a4﹣
37a2+36=0，
解得a2=1，或a2=36（舍）
则b2=3，
所求双曲线方程为：x2﹣=1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线、双曲线的简单性质．
11．已知点P在以原点为顶点、以坐标轴为对称轴的抛物线C上，抛物线C的焦点为F，
准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，若∠PFQ=，△PFQ的面积为，则焦点F到准线l的距离为（）
A．1B．C．2D．3
【分析】由题意作出图形，设边长PQ=PF=a，由三角形面积列式求出a，则焦点F到准
线l的距离可求．
【解答】解：不妨以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例，如图，
由题意，△PFQ是等腰三角形，设PQ=PF=a，
则，解得：a=2，
∴QF=，
∴焦点F到准线l的距离为2•cos=3，
故选：D．
【点评】题考查了抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题．
12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）
A．[﹣24，0）B．（﹣∞，﹣24）∪[0，2）
C．（﹣24，3）D．（﹣∞，﹣24]∪[0，2]
【分析】画出函数f（x）=的图象，数形结合分类讨论，可得不同情况下方程f（f（x））=a根的个数，综合可得答案．
【解答】解：f（x）=的图象如下图所示：
令t=f（x），则t∈（﹣∞，3]，
当a＞3时，方程f（f（x））=f（t）=a无实根，方程f（f（x））=a存在0个实数根，当2≤a≤3时，f（t）=a有1实根，t∈[0，1]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在1个实数根，
当0≤a＜2时，f（t）=a有1实根，t∈[﹣2，0），f（x）=t此时有2实根，故方程f （f（x））=a存在2个实数根，
当﹣24≤a＜0时，f（t）=a有2实根，t1∈[﹣26，﹣2），f（x）=t此时有2实根，t2∈（1，3]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在3个实数根，
当a＜﹣24时，f（t）=a有2实根，t1∈（﹣∞，﹣26），f（x）=t此时有2实根，t2∈（3，+∞），f（x）=t此时无实根，故方程f（f（x））=a存在2个实数根，
综上所述：a∈（﹣∞，﹣24）∪[0，2），
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n
=2S n+3，则S4=66．
+1
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
=2S n+3，
【解答】解：∵a n
+1
∴a n=2S n﹣1+3（n≥2），
﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，
可得a n
+1
∴数列{a n}从第二项起是公比为3的等比数列，a2=5，
∴=66．
故答案为：66．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．已知椭圆的左焦点是F，A、B分别是椭圆上顶点和右顶点，△
FAB为直角三角形，则椭圆的离心率e为．
【分析】利用题意的性质以及三角形是直角三角形求解即可．
【解答】解：椭圆的左焦点是F，A、B分别是椭圆上顶点和右顶点，
△FAB为直角三角形，
可得：a2+a2+b2=（a+c）2，
c2+ac﹣a2=0．
即e2+e﹣1=0，e∈（0，1）．
解得e=．
故答案为：．
【点评】本题考查题意的简单性质的应用，考查计算能力．
16．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方
程，求得y1，y2，有x22=m﹣（）2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（0，1），=2，
可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），
即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，
又x12+4y12=4m，
即为x22+y12=m，①
x22+4y22=4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，
可得y1﹣2y2=﹣m，
解得y1=，y2=，
则m=x22+（）2，
即有x22=m﹣（）2==，
即有m=5时，x22有最大值4，
即点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=3，S3=39．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．
【分析】（Ⅰ）由a1=3，S3=39，知q2+q﹣12=0．故q=3，或q=﹣4，由此能求出，（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由a1=3，S3=39得，
于是q2+q﹣12=0，解得q=3（q=﹣4不符合题意，舍去）
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则，
则…=．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查等比数列的求和公式，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若ccosA、bcosB、acosC 成等差数列．
（1）求B角的大小；
（2）若a+c=5，，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知利用等差数列的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式得
sinB=2sinBcosB，结合sinB≠0，可求cosB=，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）由已知及余弦定理可求ac的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）因为acosA、bcosB、acosC成等差数列，
所以ccosA+acosC=2bcosB，
由正弦定理得：sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosB，即sinB=2sinBcosB，
因为sinB≠0，
所以cosB=，
又B∈（0，π），
所以B=．
（2）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，得7=a2+c2﹣2ac×，即（a+c）2﹣3ac=7．
因为a+c=5，
所以ac=6．
=acsinB==．
所以S
△ABC
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AB的中点．
（1）证明：BC1∥平面MCA1；
（2）若AB=A1M=2MC=2，，求点C1到平面MCA1的距离．
【分析】（1）连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，又M是AB的中点，说明MN∥BC1．然后证明BC1∥平面MCA1．
（2）设点C1到平面MCA1的距离为h，因为AC1的中点N在平面MCA1上，A到平面
MCA1的距离也为h，利用三棱锥A1﹣AMC的体积，转化求解点C1到平面MCA1的距离．
【解答】（1）证明：连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，
连接MN，又M是AB的中点，所以MN∥BC1．
又MN⊂平面MCA1，BC1⊄平面MCA1，
所以BC1∥平面MCA1．
（2）解：由AB=2MC=2，M是AB的中点，所以∠ACB=90°，
在直三棱柱中，A1M=2，AM=1，所以，
又，所以，，所以∠A1MC=90°．
设点C1到平面MCA1的距离为h，因为AC1的中点N在平面MCA1上，
故A到平面MCA1的距离也为h，三棱锥A1﹣AMC的体积，△MCA1
的面积，则，得，
故点C1到平面MCA1的距离为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，
椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上
是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达
定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定
点为（，0）．
【解答】解：（1）由离心率为，得=，
即c=
a ，①
又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，
且与直线相切，
所以
，代入①得c=2，
所以b 2=a 2﹣c 2=2．
所以椭圆C 的标准方程为
+
=1．
（2）由
，可得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0，
△=144k 4﹣4（1+3k 2）（12k 2﹣6）＞0，即为6+6k 2＞0恒成立． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
所以x 1+x 2=
，x 1x 2=
，
根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），
使得为定值，
则有
=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）•（x 2﹣m ）+y 1y 2
=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+k 2（x 1﹣2）（x 2﹣2） =（k 2+1）x 1x 2﹣（2k 2+m ）（x 1+x 2）+（4k 2+m 2）
=（k 2+1）•
﹣（2k 2+m ）•
+（4k 2+m 2）
=，
要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2﹣12m +10=3（m 2﹣6），
即
，此时
=
为定值，定点E 为
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．
21．（12分）设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2﹣（a+1）x的两个极值点，其中m ＜n，a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求m，n的值；
（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求导f′（x），得到方程x2﹣3x+2=0，从而可得m，n是方程x2﹣3x+2=0的两个根，从而求解．
（Ⅱ）由已知有m，n是方程x2﹣（a+1）x+2=0的两个根，可得△=（a+1）2﹣8＞0，
m+n=a+1＞0，mn=2＞0，化简f（m）+f（n）=2lnm+m2﹣（a+1）m+2lnn+n2﹣（a+1）
n=﹣（a+1）2﹣2+2ln2．从而求得．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=+x﹣（a+1）=，
∴当a=2时，f′（x）=0可化为x2﹣3x+2=0，
故m，n是方程x2﹣3x+2=0的两个根，
∴m=1，n=2．
（Ⅱ）由已知有m，n是方程x2﹣（a+1）x+2=0的两个根，
∴△=（a+1）2﹣8＞0，m+n=a+1＞0，mn=2＞0．
∴f（m）+f（n）=2lnm+m2﹣（a+1）m+2lnn+n2﹣（a+1）n
=2ln（mn）+（m2+n2）﹣（a+1）（m+n）
=2ln2+ [（m+n）2﹣2nm]﹣（a+1）（m+n）
=2ln2+ [（a+1）2﹣4]﹣（a+1）2
=﹣（a+1）2﹣2+2ln2．
∵（a+1）2＞8，
∴f（m）+f（n）＜2ln2﹣6，
即f（m）+f（n）的取值范围为（﹣∞，2ln2﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，导数的综合应用及函数恒成立问题，是一道中档题．
四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为
参数），曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．
【分析】（Ⅰ）由sin2α+cos2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C2的极坐标方程．
（Ⅱ）依题意设A（），B（），将（ρ＞0）代入曲线C1的极
坐标方程，求出ρ1=3，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．
∵曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，
化简，得ρ=2cosθ．
（Ⅱ）依题意设A（），B（），
∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，
将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，
解得ρ1=3，
同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查考生运算求解能力、考查化归与转化思想、考查分析问题、解决问题能力．
五．解答题（共1小题）
23．求函数y=（﹣6≤x＜5）的最大值和最小值．
【分析】讨论x=0，﹣6≤x＜0，0＜x＜5时，分别运用基本不等式，注意一正二定三等的条件，即可得到所求最值．
【解答】解：当x=0时，y=0；
当﹣6≤x＜0时，y=，
由x+=﹣[（﹣x）+]≤﹣2=﹣8，
可得﹣≤y＜0，
当0＜x＜5时，x+≥2=8，
可得0＜y≤．
即有x=4时，y取得最大值；
x=﹣4时，y取得最小值﹣．
【点评】本题考查函数的最值的求法，运用分类讨论思想方法和基本不等式，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．。