线段、面积问题存在性问题探究

类型一 、线段数量关系的探究问题
方法指导：设点坐标：若所求点在x 轴上可设（x ,0），在y 轴上可设（0，y ）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x ，ax 2
+bx+c )；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-b/2a ，y )；若所求的点在已知直线y=kx+b 上时，该点的坐标可以设为（x ，kx+b )，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.
概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。

横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。

不规则：两点间距离公式 根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值 类型一 线段、周长最值问题
1. (贵阳)如图1，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .
(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M (4，m )是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．
图1图2
2. 如图2所示，在平面直角坐标系中，BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A (－1，0)，B (－1，
2)，D (3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON .若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点D 、M 、N .(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P ，使得P A ＝PC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE －QC |最大？并求出最大值．
3. 如图3，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与点A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
类型二 图形面积数量关系及最值的探究问题
方法指导1.三角形面积最值.分规则与不规则。

有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。

没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。

2.四边形面积最值。

常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形.
例1：（贵港）如图1，抛物线y =ax 2
+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴I 为x =﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴I 上．①当PA ⊥NA ，且PA =NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标． 图1图2
1. (绥化)如图2，抛物线y ＝ax 2＋bx －53经过点A (1，0)和点B (5，0)，与y 轴交于
点C .(1)求此抛物线的解析式；(2)以点A 为圆心，作与直线BC 相切的⊙A ，请判断⊙A 与y 轴有怎样的位置关系，并说明理由；(3)在直线BC 上方的抛物线上任取一点P ，连接PB ，PC ，请问：△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. (郴州)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (2，0)、C (0，2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，点P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标；(3)如图②，设线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，M 为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．。