高中数学概率部分(一)带答案

第一部分：基本知识点和典型例题
一、随机事件的概率
1、必然事件、不可能事件和随机事件
2、频率与概率
（1）．概率：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
（2）．概率与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).
例1、指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)某体操运动员将在运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边所对的角小，小边所对的角大；
(3)如果a>b，那么b<a；
(4)某人购买福利彩票中奖；
(5)某人的手机一天接到20个电话．
【解】(1)(4)(5)是随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件.
例2、下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果，n为抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考察它的概率.
【自主解答】由f n(A)＝n
A
n
，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一
事件出现的频率依次为0.502，0.498，0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524，0.494.这些数在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
二、概率的意义与应用
1、对概率的正确理解
2、游戏的公平性
3、天气预报的概率解释
4、决策中的概率思想
例3、某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
例4、为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
三、概率的基本性质
1．一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)．
表示法：B⊇A(或A⊆B)．
2．如果事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与B 的并事件(或和事件)，记为A∪B(或A＋B)．
3．如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B(或AB)．
4．如果A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
5．如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.
6、概率的性质
（1）.概率的取值范围为[0,1]．
（2）．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
（3）．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，
例5、从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10)中任取一张．判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
例6、掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记H是事件H的对立事件，求D，A C，B∪C，D＋E.
【解】(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
A C＝BC＝{出现2点}，
B∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}，
D＋E＝{出现1,2,4或5点}.
例7、某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
【自主解答】(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)
设“不够7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，
∴P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率是0.03.
课后作业
一、选择题
1．A、B为对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)等于( )
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.6
2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是( ) A．A与C互斥B．任何两个均互斥C．B与C互斥D．任何两个均不互斥
3．(2013·枣庄高一检测)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30% C．10%
D．50% 4．下列说法中正确的是( )
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，但对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件
5．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是
2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为( )
A．A∩B B．A∩B∩C
C．A∩B∩C D．A∩B∪C
二、填空题
6．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为4
9
，则5点或6
点至少出现一个的概率是________．
8．(2013·沈阳高一检测)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为
0.62，摸出红球的概率为________．
三、解答题
9．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
(1)
(2)至少有2人排队的概率是多少？
10．在20 000张福利彩票中，设有特等奖1名，一等奖3名，二等奖5名，三等奖10名，从中买1张彩票．
(1)求获得二等奖或三等奖的概率；
(2)求不中奖的概率．
11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，
取到红球的概率是1
3
，取到黑球或黄球的概率是
5
12
，取到黄球或绿球的概率是
5
12
.
试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
1【解析】由对立事件的概率公式得P(B)＝1－P(A)＝0.8.
【答案】 C
2【解析】 ∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．
D 1＝{没有次品}，D 2＝{1件次品}，D 3＝{2件次品}，D 4＝{3件次品}， ∴A ＝D 1，B ＝D 4，C ＝D 2∪D 3∪D 4，故A 与C 互斥，A 与B 互斥，B 与C 不互斥． 【答案】 A
3【解析】 设A ＝{甲获胜}，B ＝{甲不输}，C ＝{甲、乙和棋}，则A 、C 互斥，且B ＝A ∪C ，故P (B )＝P (A ∪C )＝P (A )＋P (C )，即P (C )＝P (B )－P (A )＝50%.
【答案】 D
4【解析】 当事件A 、B 都为必然事件或都为不可能事件时，事件A 、B 至少有一个发生的概率等于事件A 、B 恰有一个发生的概率，事件A 、B 同时发生的概率也等于事件A 、B 恰有一个发生的概率，故选项A 、B 都是错误的；互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，这一点由互斥事件与对立事件的概念可知．
【答案】 D
5【解析】 ∵事件A ＝{2,4,7,12}， 事件B ＝{2,4,6,8,10,12}， ∴A ∩B ＝{2,4,12}，
又C ＝{9,10,11,12}，∴A ∩B ∩C ＝{2,4}． 【答案】 C
6【解析】 连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中．故“至少一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”．
【答案】 “两次都不中靶”
7【解析】 记既没有5点也没有6点的事件为A ，则P (A )＝4
9，5点或6点
至少有一个的事件为B .
因A ∩B ＝∅，A ∪B 为必然事件，故A 与B 为对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59
.
【答案】
59
8【解析】 由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A )＝0.58，∴P (B )＝1－P (A )＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”为对立事件，P (C )＝0.62，∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”，则P (E )＝1－P (B ∪D )
＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2. 【答案】 0.2
9【解】 设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的事件依次为A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5且彼此互斥．
(1)P (至多有2人排队)＝P (A 0∪A 1∪A 2)＝P (A 0)＋P (A 1)＋P (A 2)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)P (至少有2人排队)＝P (A 2∪A 3∪A 4∪A 5)＝P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
10【解】 设P (A )、P (B )、P (C )、P (D )分别表示获得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的概率，
由题意知P (A )＝120 000，P (B )＝320 000，P (C )＝520 000＝1
4 000
，P (D )＝
1020 000＝12 000
. (1)P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝3
4 000
.
(2)P (不中奖)＝1－[P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )]＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
20 000＋320 000＋14 000＋12 000＝1－1920 000＝19 98120 000.
11【解】 从袋中任取1球，记事件A ＝{取到红球}，事件B ＝{取到黑球}，事件C ＝{取到黄球}，事件D ＝{取到绿球}，则有
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
P A ＝13
，
P B ∪C ＝P B ＋P C ＝5
12，P C ∪D ＝P C ＋P D ＝512
，P B ∪C ∪D ＝P B ＋P C ＋P D ＝1－P A ＝23
，
解得P (B )＝1
4，
P (C )＝1
6，
P (D )＝1
4
，。