2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷(小中组a卷)

2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷（小中
组A卷）
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=．
2．（3分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于度．
3．（3分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了元．
4．（3分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为．
5．（3分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是元．
6．（3分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶千米．
7．（3分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．
8．（3分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于．
二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）
11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？
12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试卷
（小中组A卷）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共80分）
1．（3分）计算：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=61．
【解答】解：3752÷（39×2）+5030÷（39×10）
=3752÷2÷39+5030÷10÷39
=1876÷39+503÷39
=（1876+503）÷39
=2379÷39
=61；
故答案为：61．
2．（3分）如图中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G 等于360度．
【解答】解：连接CD，
则∠G+∠F+∠FEG=∠EDC+∠ECD+∠FEG=∠=180°，
因为∠FEG=∠FEG
所以∠G+∠F=∠EDC+∠ECD，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G=∠A+∠B+∠BCE+∠EDC+∠ECD+∠ADE=（4﹣2）×180°=360°．
故∠A+∠B+∠C+∠D+∠F+∠G的度数是360°．
故答案为：360．
3．（3分）商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡，共卖14.57元．若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 4.7元．
【解答】解：14.57元=1457分，
1457=31×47；
因为每张的售价不超过买入价格的2倍，所以47是张数，31分是售价，
商店赚了：（31﹣21）×47
=10×47
=470（分）
=4.7（元）
答：商店赚了4.7元．
故答案为：4.7．
4．（3分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115棵．两班人数之和最多为37．
【解答】解：设一班有a人，二班有b人，则：
3a+5b=115
3a+3b+2b=115
3（a+b）+2b=115，
要使两班人数之和最多，则：
a+b最大，b尽可能的小，
当b=1时，
3（a+1）+2×1=115
3（a+1）=115﹣2
3（a+1）=113
a+1=113÷3
113不是3的倍数，所以a+1不是整数，不符合题意；
当b=2时，
3（a+2）+2×2=115
3（a+2）=115﹣4
3（a+2）=111
a+2=37
即：a+b=37．
答：两班人数之和最多的是37人．
故答案为：37．
5．（3分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支．如果这三天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是4元．
【解答】解：设第一天每支笔售价x元，卖出n支，有
化简可以得到，
解得
答：第一天每支笔售价是4元；
故答案为：4．
6．（3分）一条河上有A，B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A，B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶10千米．
【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，
（x+6）×4=（x﹣6）×16
4x+24=16x﹣96
12x=120
x=10
答：乙在静水中划船每小时行驶10千米．
故答案为：10．
7．（3分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是62．
【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2×3×2×5=60，
已知这个两位数是偶数，在60～70之间5的倍数是65，又知这个两位数加上3是5的倍数，所以这个两位数是65﹣3=62，
答：这个两位数是62．
故答案为：62．
8．（3分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”，则“水”最大等于7．
【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，
可得方程：
（1）+（2）+（3）可得：
3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水=19×3=57
而1～8的和是36，
则有2尽+1力+1山=57﹣36=21，与（1）比较得山﹣心=2．
“尽”＞“山”＞“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，
假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2（力+2）+力+1+力=21
“力”为4，此时山=5，心=3，尽=6；
（1）式满足：6+3+6+4=19；
（3）式：5+穷+水+6=19穷水，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式：
（2）式：4+可+拔+5=19可拔，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7
若水最大取8时，有
但此时6（尽）、4（山）、5（力），不满足“尽”＞“山”＞“力”，所以不符合要求．故水最大为7．
故答案为：7．
二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）
9．（15分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了2小时后，他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？
【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：
6×2+8（x﹣3﹣2）=6x
12+8x﹣40=6x
8x﹣6x=28
2x=28
x=14．
6×14=84（本）；
答：这批作业有84本．
10．（15分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）
【解答】解：（1）5种颜色取3种颜色，正方体的六个面两两对应，任意3种颜色都是一种染法．有=10种；
（2）5种颜色取4种颜色，每4种颜色，先确定两种颜色染两组对面，剩下的
两种颜色染一组对面，有=30种；
（3）5种颜色取5种颜色，先确定1种颜色染一组对面，剩下的4种颜色（用a、b、c、d表示）有abcd、abcd、abdc，3种染色方法，有•3=15种；
所以，共有10+30+15=55种染法．
答：共有55种不同的涂色方法．
11．（15分）如图所示，有一个圆圈填了数字1．请在空白圆圈内填上2，3，4，5，6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2．问共有几种不同的填法？
【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2，所以2只能填在d和e．（1）d处填2，2的周围不能有3．所以3只能填在a处.3的周围不能填4，4只能填在c和e，5、6不能在一起，所以5填在b.6和4可以在c和e交换，此时2种填法；（见中图）
（2）e处填2，3填a或者b处．
3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；
3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处．
1种填法；（见右图）
故共2+1=3（种）填法．
答：共有3种不同的填法．
12．（15分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起．连接DE交BG于P，则图中阴影部分APEG的面积是多少？
【解答】解：如图，连结DG
三角形DGC的面积：
8×（8﹣6）÷2
=8×2÷2
=8（cm2）
四边形ABGD的面积：
8×8﹣8
=64﹣8
=56（cm2）
三角形AED的面积：
（8+6）×8÷2
=14×8÷2
=56（cm2）
所以三角形DPG的面积等于三角形BEP的面积
所以阴影部分面积：
6×6÷2
=36÷2
=18（cm2）
答：阴影部分面积是18cm2．。