补充教材：倍角公式与半角公式

倍角公式与半角公式
【1】设πθπ
＜＜2，sin 5
2＝θ，则：(1) sin2θ＝ 。

(2) cos2θ＝ 。

[解答]：(1)－5
4
(2)－53
【详解】：
因πθπ
＜＜2，sin 52＝θ5
1cos -=⇒θ
(1) sin2θ＝545
1522cos sin 2-=-⋅⋅=θθ
(2) cos2θ＝53
)5
2(21sin 2122-=⋅-=-θ
【2】设45π＜θ＜2
3π
，则θθ2sin 12sin 1
－－＋＝ (A) 2sin θ (B) 2cos θ (C) 2sin2θ (D)－2sin θ (E)－2cos θ。

[解答]：(E)
【详解】：
(1)∵ θθ2sin 12sin 1
－－＋ ＝θθθθcos sin 2cos sin 22＋＋－θθθθcos sin 2cos sin 22－＋ ＝22)cos (sin )cos (sin θθθθ－－＋
＝|sin θ＋cos θ|－|sin θ－cos θ|
(2)由y ＝sin x ，y ＝cos x 的图形，
知2
345π
θπ＜＜时，0＞cos θ＞sin θ
∴ sin θ＋cos θ＜0，sin θ－cos θ＜0
(3)∵ 原式＝－(sin θ＋cos θ)＋(sin θ－cos θ)＝－2cos θ
【3】设cos2θ＝5
3
，sin2θ＜0，则tan θ＋cot θ＝ 。

[解答]：－2
5
【详解】：
∵ cos2θ＝53且sin2θ＜0 ∴ sin2θ＝－5
4
tan θ＋cot θ＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθθθsin cos cos sin 22＋＝θ
θcos sin 1
＝θθcos sin 22＝θ2sin 2＝5
42
－＝－410＝－2
5
【4】设t ＝cos2θ，则2(sin 8θ－cos 8θ)可表成下列那一个多项式？(A)－t 3－t (B) t 3＋t
(C) t 3－t (D)－t 3＋t (E) t 3＋t 2。

[解答]：(A)
2(sin 8θ－cos 8θ)＝2(sin 4θ－cos 4θ)(sin 4θ＋cos 4θ)
＝2(sin 2θ－cos 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ)[(cos 2θ－sin 2θ)2＋2sin 2θcos 2θ]
＝2(－cos2θ)(t 2＋21sin 22θ)＝－2t [t 2＋2
1(1－t 2)]＝－2t (21
212＋t )＝－t 3－t
【5】cos 15πcos 152πcos 154πcos 158π
之值为 。

[解答]：-16
1
【详解】：令P = cos
15
πcos 152πcos 154πcos 158π
则sin 15π．P = sin 15πcos 15
πcos 152πcos 154πcos 158π=21sin 152πcos 152πcos 154πcos 158π
=41sin 154πcos 154πcos 158π=81sin 158πcos 158π=161sin 1516π= -161sin 15
π
∴ P = -16
1
【6】设πθπ＜＜2，tan θ＝－3
4，则：(1) tan2θ＝ 。

(2) tan 2θ
＝ 。

[解答]：(1)7
24
(2) 2
【详解】：
因(1) tan2θ＝724)34(1)34(2tan 1tan 2222
2
=---⋅=-θθ (2)tan 2θ
＝
25
3154
cos 1sin =-+=+θθ 【7】设tan 2
θ
= 3，则sin2θ = 。

【解答】
25
24
- 【详解】
∵ tan 2θ = 3 ∴ sin θ =
2
tan 12tan
22
θθ
+=106=53，cos θ =2tan 12tan 122
θθ
+-=54- sin2θ = 2sin θ cos θ = 2．53．(54-) =2524
-
【8】设sin α＝－53，π＜α＜23π，则sin 2
α
＝ 。

[解答]：
10
3
【详解】：
∵ sin α＝－53，π＜α＜23π ∴ cos α＝－5
4
∵ π＜α＜23π⇒2π＜2α＜43π⇒ sin 2π＞0且sin 2
α
＝
2cos 1α－ ⇒sin 2α＝
2)54(1－－＝2541＋＝109＝10
3 【9】若
2π＜θ＜π，且25sin 2θ＋sin θ＝24，则cos 2
θ
之值为 。

[解答]：5
3
【详解】：
(1) 25sin 2θ＋sin θ－24＝0⇒(25sin θ－24)(sin θ＋1)＝0
但2π＜θ＜π ∴ sin θ＝⇒25
24cos θ＝－
257 (2)∵ 2
24πθπ＜＜∴ cos 53225712cos 12＝－
＝＋＝＋θθ
【10】=+++8
7sin 85sin 83sin 8sin 2222π
πππ 。

【解答】2
【详解】
原式 =
247cos
1245cos 1243cos
124cos
1π
πππ
+++++++ = 2 +)]4
7cos 45(cos )43cos 4[(cos 21π
πππ+++ = 2
【11】cos 4
165π+ sin 416
5π之值为 。

【解答】
8
2
6- 【详解】 cos 4165π+ sin 4165π= (cos 2165π+ sin 2165π)2 - 2sin 2165πcos 216
5π
=1 -21sin 285π=41(1 - 2 sin 285π) +43=41cos 45π+43=41．(-22) +4
3=82
6-
【12】设sin θ = -53且πθπ223<<，则(A) cos θ =5
4
(B) tan2θ = -
724 (C) cos3θ = -12544 (D) sin
512
=
θ
(E) cos 5
22-=θ
【解答】(A)(B)(C)
【详解】
πθ
ππθπ<<⇒<<2
43223 (A) cos θ =54 (B) tan2θ =724)4
3(1)
43
(
2tan 1tan 222-=---=
-．θθ (C) cos3θ = 4cos 3θ - 3cos θ = 12544)54(3)54(43-
=-． (D) 10
1254
12
sin 2=-
=θ
∴ 103
2cos 1012sin -==θθ，
【13】以x －cos40。

除f (x )＝3x －4x 3之余式为 。

[解答]：2
1
【详解】：
由余式定理以x －cos40。

除f (x )＝3x －4x 3的余式为f (cos40。

) f (cos40。

)＝3cos40。

－4cos 340。

＝－(4cos 340。

－3cos40。

)
＝－cos(3×40。

)＝－cos120。

＝－(－21)＝2
1。