普通高中示范校2012届高三数学12月综合练习(一) 文

北京市东城区普通高中示范校2012届高三12月综合练习（一）（数学
文）
2011.12
学校： 班级： 姓名： 成绩：
一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1. 集合2
{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A
B 等于 （ ）
A. {|01}x x <≤
B. {|01}x x ≤<
C. {|12}x x <≤
D. {|12}x x ≤<
2．设i 是虚数单位，则
3
1i i
- 等于 （ ） A.
1122
i + B. 1122i - C. 112i + D.
112i -
3．下列命题中正确的是 （ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题 B ．“21sin =
α”是“6
π
α=”的充分不必要条件 C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
D ．命题“,20x
x R ∀∈>”的否定是“0
0,2
0x x R ∃∈≤”
4．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（ ）
A. 55
B. 60
C. 65
D.
70 5．将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动
10π
个单位长度，所得图象的函数解析式是 （ ） A. sin(2)10y x π=- B. 1sin()220y x π
=-
C. sin(2)5y x π=-
D.
1sin()210y x π
=-
6．设12
log 3a =，0.3
13b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，ln c π=，则 （ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D.
b a
c <<
7．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）
8．设函数()(,)
y f x
=-∞+∞
在内有定义，对于给定的正数K，定义函数：
()
K
f x=
(),()
,()
f x f x K
K f x K
⎧
⎨
⎩
≤
＞
取函数||
()x
f x a-
=(1).
a＞
1
K
a
=
当时，函数()
K
f x在下列区间
上单调递减的是（）
A. (,0)
-∞ B. (,)
a
-+∞ C. (,1)
-∞- D.(1,)
+∞
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上.
9. 已知α
为锐角，cos
5
α=，则tan()
4
α
π
+=．
10．若
0,2
x y
x y z x y
y a
-≤
⎧
⎪
+≥=+
⎨
⎪≤
⎩
的最大值是3，则实数a的值是．11．设a，b，c是单位向量，且a b c
=+，则向量a，b的夹角等于．12．若点(1,1)
P为圆22
(3)9
x y
-+=的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为．
13．已知偶函数()
f x在(0,)
+∞上为减函数，且(2)0
f=，则不等式
()()
f x f x
x
+-
>的解集为．
14．已知定义域为D的函数()
y f x
=，若对于任意x D
∈，存在正数K，都有|()|||
f x K x
≤成立，那么称函数()
y f x
=是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①()2
f x x
=；
②()2sin()
4
f x x
π
=+；③32
()2
f x x x x
=-+；④
2
2
()
1
x
f x
x x
=
++
，其中是“倍约束函数”的是_____________．（将你认为正确的函数序号都填上）
三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题13分）
已知向量(sin,1)
a x
=-，
1
(3cos,)
2
b x
=-，函数()()2
f x a b a
=+⋅-.
(Ⅰ)求函数()
f x的最小正周期T；
(Ⅱ)已知a，b，c分别为ABC
∆内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
a =4c =，且()1f A =，求A ，
b 和ABC ∆的面积S .
16．（本小题13分）
已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是2a ，4a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2
1log n n n
b a a =+，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求使 1
247<0n n S +-+ 成立的正整数n 的最小值.
17.（本小题13分）
一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点.
（Ⅰ）求该几何体的体积与表面积；
（Ⅱ）求证：GN⊥AC；
FG 时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明. （Ⅲ）当GD
E
18.（本小题13分）
定义在R 上的函数3
21()23
f x ax bx cx =
+++同时满足以下条件： ①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数；②'()f x 是偶函数； ③)(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直. （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）设31()()3x g x x f x e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求函数()g x 在[],1m m +上的最小值.
19.（本小题14分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的一个顶点为)1,0(M ，离心率36
=e ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 求△AOB 面积的最大值．
20．（本小题14分）
已知函数()3221x F x x -=
-，1.2x ⎛
⎫≠ ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）求122010201120112011F F F ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫++
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
；
（Ⅱ）已知数列{}n a 满足12a =，()1n n a F a +=，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）求证：123...n a a a a >
东城区普通高中示范校高三综合练习（一）
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分.
二、填空题：每小题5分，共30分.
9．﹣3 10． 1 11．o
60 12．210x y --= 13. ()()--202∞，，
14. ①④ 三、解答题：共6小题，共80分. 15．（本小题13分）
解: (Ⅰ) 2
()()22f x a b a a a b =+⋅-=+⋅-
2
1
sin 1cos 22
x x x =++
-
1cos 21222x x -=
+-1
2cos 22
x x =- sin(2)6
x π
=-
…………………………………….…………………………5分 因为2ω=，所以22
T π
π=
=……………………………….………………………7分 (Ⅱ) ()sin(2)16
f A A π
=-=.
因为5(0,),2(,
)2
6
66A A π
π
ππ
∈-
∈-
，
所以26
2
A π
π
-
=
，3
A π
=
. ……………………………….…………………9分
由2
2
2
2cos a b c bc A =+-，得2
11216242
b b =+-⨯⨯
，即2
440b b -+=. 解得2b = . ……………………………….…………………………………………11分
故11
sin 24sin 602322
S bc A =
=⨯⨯⨯=……………………….……………13分
16．（本小题13分） 解:（Ⅰ）设等比数列
{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)
2(.42)()1(,3)2(2
131121q a q q a q a q a
由 )1(得 0232
=+-q q ，解得1=q 或2=q
.
当1=q 时，不合题意舍； 当2=q
时，代入(2)得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=- . ……………….……6分
（Ⅱ） 2
211
log 2log 22
n n n n n n b a n a =+=+=－. ……………….…………7分 所以23
2122232n n S n =-+-+-+
+-
23
(2222)(123)n n =+++
+-+++
+
212
1
21222)1(21)21(2n n n n n n ---=+---=
+ ……………….………10分
因为04721<+-+n n S ，所以04722
1
2122121
<+---
-++n n n n ， 即2
900n
n +->，解得9n >或10n <-. ……………….…………………………12分
因为*∈N n ，故使1
247<0n n S +-+成立的正整数n 的最小值为10 . …………….13分
17.（本小题13分）
（Ⅰ）由三视图可知直观图为直三棱柱，
底面ADF 中AD ⊥DF ，a DC AD DF ===，
该几何体的体积为312a
，表面积为(22222132
a a a a ⨯++=. …4分 （Ⅱ）证明：连接DB ，可知B ，N ，D 共线，且AC ⊥DN .
又FD ⊥AD FD ⊥CD ， D CD AD = ， ∴FD ⊥面ABCD . 又AC ⊂面ABCD ∴FD ⊥AC .
又 D FD DN = ，
∴AC ⊥面FDN 又FDN GN 面⊂，
∴GN ⊥AC . . ………………………. . …………….8分 （Ⅲ）点P 与点A 重合时，GP ∥面FMC . . …………………….…………….10分
证明：取FC 中点H ，连接MH GA GH ,, .
G 是DF 的中点 ∴GH //
12CD . M 是AB 的中点 ∴AM //1
2
CD . ∴ GH //AM 且 GH =AM ∴四边形GHMA 是平行四边形.
∴GA // MH . 又
⊂MH 面FMC ， GA ⊄面FMC ，
∴GA //面FMC 即GP//面FMC . . …………….…….…………….……….13分
18.（本小题13分）
解：（Ⅰ）2
'()2f x ax bx c =++. . …………….…….…………. . …………….…1分
由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-='=='.1)0(,02,0)1(f b f 即⎪⎩⎪⎨⎧-===++.1,0,02c b c b a 解得⎪⎩
⎪
⎨⎧-===.1,0,
1c b a . …………………4分
所以函数)(x f y =的解析式为3
1()23
f x x x =-+. . …………….…….……5分 （Ⅱ）()31()()23x x
g x x f x e x e ⎛⎫
=-=-
⎪⎝⎭
， ()()'()+21x x x g x e x e x e =-=-. 令0)(='x g 得1x =，所以函数)(x g 在(),1-∞递减，在()1+∞递增. . ……7分 当1m ≥时，)(x g 在[],1m m +单调递增，)(min m g y =m
e m )2(-=. . ………9分
当11m m <<+时，即01m <<时，
)(x g 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，e g y -==)1(min . . ……………10分
当+11m ≤时，即0m ≤时，
)(x g 在[],1m m +单调递减，.)1()1(1min +-=+=m e m m g y . …………….…….12分
综上，()g x 在[],1m m +上的最小值⎪⎩
⎪⎨⎧≤-<<-≥-=+.0,)1(,10,,1,)2(1min
m e m m e m e m y m m . ………13分 19.（本小题14分）
解：（Ⅰ）设2
2
b a
c -=，依题意得1b =
c
e a
==
=，
解得a b ==1.
所以椭圆的方程为.x y +=2
213
. …………….…….…………….……. …….6分 （Ⅱ）①当AB .3||,=
⊥AB x 轴时 . …………….…….…………….…………….7分
②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，
由已知
,2
31||2
=
+k m 得),1(43
22+=k m …….…………….…………….… 8分
m kx y +=把代入椭圆方程，整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k
于是.1
3)
1(3,1362221221+-=+-=
+k m x x k km x x …….…………….…………….…9分 故2
122
2
))(1(||x x k AB -+=
]1
3)1(12)13(36)[1(2
222222
+--++=k m k m k k 2222212(1)(31)(31)k k m k ++-=+22223(1)(91)
(31)k k k ++=+ )0(6
1912
31691232
2
2
22≠++
+=+++=k k
k k k k .4632123=+⨯+≤ 当且仅当33
,192
2
±==
k k k 即时等号成立，此时.2||=AB …….………12分
③当.3||,0=
=AB k 时 …….…………….…………….………13分
综上：2||max =AB ，
AOB ∆面积取最大值.2
323||21max =⨯=
AB S …….…………….………14分 20．（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为()()()()312321321211
x x F x F x x x ---+-=+=---. …….…………….…2分 设122010=201120112011S F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
① 201020091=201120112011S F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
② ①+②得：
1201022009201012...201120112011201120112011S F F F F F F ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭ 320106030=⨯=， 所以S =3015．…….…………….…………….…………….4分
（Ⅱ）由()1n n a F a +=两边同减去1，得1321112121n n n n n a a a a a +---=
-=--， 所以()1211211
121111
n n n n n n a a a a a a +-+-===+----，所以111211n n a a +-=--. 11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
是以2为公差以1为首项的等差数列 . …….…………….…………….…6分 所以()1112211n n n a =+-⨯=--1212121
n n a n n ⇒=+=--．…….…………….8分 （Ⅲ） ∵()()()()222212121n n n n >-=-+，∴221212n n n n
+>-，∴222122121221
21n n n n n n n n ++⎛⎫>⋅= ⎪---⎝⎭
，则221n n a n =>-.………12分 所以12335721213521n n a a a a n n +>⋅⋅⋅⋅=-…….…………….…………14分。