2019-2020学年衡水市名校数学高二第二学期期末考试试题含解析

2019-2020学年衡水市名校数学高二第二学期期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =- B ．ln(2)y x =-
C ．ln(1)y x =+
D ．ln(2)y x =+
【答案】B 【解析】
分析：确定函数y lnx =过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点． 故选项B 正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 2．已知复数z 满足21z i -=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）
A ．1
B ．2
C D
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出复数z ，然后根据公式z =.
【详解】
21z i -=，∴12z i =+，∴z ==故选D.
【点睛】
本题主要考查复数的模计算，较基础.
3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()2
1f x x =+ ，
则()7f = （ ） A ．2 B ．2-
C ．1
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解． 【详解】
根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()2
11112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4．若f(x)=ln(x 2-2ax+1+a)在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]
C ．[1,)+∞
D ．[2,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】
解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，
要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1
(1)1210
a g a a ⎧⎨
=-++≥⎩，即：12a ≤≤．
∴实数a 的取值范围是[]1,2．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
5．中国古典数学有完整的理论体系，其代表我作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《数书九章》等，有5位年轻人计划阅读这4本古典数学著作，要求每部古典数学著作至少有1人阅读,则不同的阅读方案的总数是( )
A ．480
B ．240
C ．180
D ．120
【答案】B 【解析】
分析：先根据条件确定有且仅有一本书是两人阅读，再根据先选后排求排列数.
详解：先从5位年轻人中选2人，再进行全排列，所以不同的阅读方案的总数是24
54240.C A =
选B.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 6．已知函数()f x 是定义在(,0)
(0,)-∞+∞上的偶函数，且(1)0f -=，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有
'()()x f x f x ⋅>成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）
A ．(1,0)(1,)
B ．(1,0)(0,1)-
C ．(,1)(0,1)-∞-
D ．(,1)
(1,)-∞-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()
()f x F x x
= ，判断函数的单调性和奇偶性，根据其性质解不等式得到答案. 【详解】
对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立 构造函数2()'()(()')
()0()x f f x F x F x F x x x f x
x =
⇒=>⇒⋅-在(0,)+∞上递增. ()f x 是偶函数()F x ⇒为奇函数，在(,0)-∞上单调递增.
(1)(1)0F F -==
当0x >时：()0()01f x F x x >⇒>⇒> 当0x <时：()0()01f x F x x >⇒<⇒->
(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞
故答案选D 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，构造函数()
()f x F x x
=
是解题的关键.
7．一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（ ） A ．
364
B ．
332
C ．
964
D ．
132
【答案】C 【解析】 【分析】
三次投掷总共有64种,只有长度为234或223的三边能构成钝角三角形,由此计算可得答案. 【详解】
解：由题可知：三次投掷互不关联，所以一共有3444464⨯⨯==种情况： 能构成链角三角形的三边长度只能是：234或者是223
所以由长度为234的三边构成钝角三角形一共有：3
36P =种： 由223三边构成钝角三角形一共有：1
33C =种：
能构成钝角三角形的概率为31
333
639
46464
P C ++==. 故选:C. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法,分类计数原理,属于基础题. 8．函数()e e ||
--=x x
f x x 的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数解析式求得()10f <,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果. 【详解】
因为函数()e e x x
f x x
--=，
所以()11e e 11f --=1
0e e
=-<，选项,,A B C 中的函数图象都不符合， 可排除选项,,A B C ，故选D. 【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
9．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】
分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M ，最后确定其元素的个数即可.
详解：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：
观察可得：{}2,3,4,6,8,9,12M =， 据此可知M 中的元素个数为7. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.
由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为
A ．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析
B ．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析
C ．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品
D ．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发 【答案】B 【解析】 【分析】
根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。

【详解】
由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为
0.750.08 1.50.25 2.50.3240.35 2.635⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）
， 数据分析岗位的平均薪资为0.750.15 1.50.36 2.50.3240.17 2.1325⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据挖掘岗位的平均薪资为0.750.09 1.50.12 2.50.2840.51 2.9875⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据产品岗位的平均薪资为0.750.07 1.50.13 2.50.4140.35 2.6725⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）。

故选：B 。

【点睛】
本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。

11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．11
【答案】B 【解析】
将圆分组：第一组：○●，有2 个圆；第二组：○○●，有3 个圆；第三组：○○○●，有4 个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为()21
234 (12)
n n S n n ++=+++++=
⨯，令55n S =，解得9.6n ≈，即包含9整组，故含有●的个数是9个, 故选B.
【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需
要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
12．已知空间不重合的三条直线l 、m 、n 及一个平面α，下列命题中的假命题．．．是（ ）． A ．若l m ，m n ，则l
n B ．若l α，n α，则l n
C ．若l m ⊥，m n ，则l n ⊥
D ．若l α⊥，n α，则l n ⊥
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定是假命题的选项. 【详解】
对于A 选项，根据平行公理可知，A 选项正确.
对于B 选项，两条直线平行与同一个平面，这两条直线可以相交、平行或异面，故B 选项是假命题. 对于C 选项，由于l m ⊥，m n ，根据空间角的定义可知，l n ⊥，C 选项正确.
对于D 选项，由于//n α，所以n 平行于平面α内一条直线a ，而l α⊥，所以l a ⊥，所以l n ⊥，即D 选项正确. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面有关命题真假性的判断，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．在极坐标系中，点2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
到圆2sin ρθ=的圆心的距离为__________．
【解析】
分析：先根据圆的极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得圆心坐标，把点2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
转化成直角坐标，最后利用两点间的距离公式求得答案. 详解：
2sin ρθ=，
22sin ρρθ∴=，
222x y y ∴+=，即()2
211x y +-=，
圆心为()0,1，点的直角坐标为
)
，
(
)
()2
2
30113d ∴=
-+-=.
故答案为：3.
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
14．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()2
2
:311C x y -+-=上，则
MA MF +的最小值________． 【答案】3 【解析】 【分析】
由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为
MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案. 【详解】
由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，
所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()2
2
:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当
、、C N M 三点共线时，()min 413MA MN CN r +=-=-=，
所以MA MF +的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.
15．将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49
【解析】
试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放
法，每个盒子中至少有1个小球的放法有122
34236C C C =种，故所求的概率P =
3681=49
. 考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.
16．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是__________． 【答案】48 【解析】
分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论. 详解：已知样本中的前两个编号分别为03，08，
∴样本数据组距为835-=，则样本容量为
50
105
=， 则对应的号码数()351x n =+-，
则当10n =时，x 取得最大值为max 35948x =+⨯=. 故答案为：48.
点睛：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)已知可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1
27b A a --⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
，求1A -的特征值. (2)变换1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ：变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求函数2y x 的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程.
【答案】（1）1=4λ24λ=（2）2
y x y -= 【解析】 【分析】
(1)根据1A A E -⋅=得出A 的逆矩阵1A -，结合特征值的性质即可求解; (2)先求出21M M M =,再求点的变换，从而利用函数2y x 求出变换作用下所得曲线的方程.
【详解】
（1）解：由1A A E -⋅=可知，
1221073701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以141ab -=，7210b -=，1431a -+= 所以5a =，3b =； 所以1
3275A --⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
，2
32()8175f λλλλλ-==-+-， 由()0f λ=
，1=4λ
24λ=（2）211110M M M -⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
.
设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则00x x M y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，
也就是000x y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y
y y x =⎧⎨=-⎩，
所以所求曲线的方程是2
y x y -=. 【点睛】
本题主要考查了逆矩阵、特征值以及矩阵变换等知识，意在考查运算求解能力，属于中档题. 18．设函数(
)()e 1e
1x
x
f x x a =+-+，a ∈R .
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .
【答案】（I ）单调增区间(1,)a -+∞，单调递减区间(,1)a -∞-（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（I ）()[(1)]x
f x x a e '
=--， 对a 分类讨论即可得出单调性．
（Ⅱ）函数()f x 在(0,)+∞有零点，可得方程f （x ）=0有解，可得方程f （x ）=0有解，可得
11
11
x x x
xe x a x e e ++==+--有解，令1()1x x g x x e +=+-，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a 的取值范围． 【详解】 （I
）
()[(1)]x f x x a e '=--,
∴ 1x a >-时， ()0f x '> ，
函数()f x 在(1,)a -+∞上单调递增，
当1x a <-时,()0f x '<，函数()f x 在(,1)a -∞-上单调递减. （Ⅱ）函数()f x 在0+∞（，）
有零点，可得方程()0f x =有解. ∴ ()
1111111
x x x x x x e x xe x a x e e e -++++===+
---,有解. 令1()1
x x g x x e +=+-，
()
()
()
2
2
21(1)()11
1
x x x x
x
x
e e x
e x e g x e
e
'----+=+
=
--
设函数()2,()10x
x
h x e x h x e '
=--=->，
所以函数()h x 在()0,+∞上单增，又2
(1)30,(2)40h e h e =-<=->，
∴ 存在0x (1,2)∈
当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '> 所以函数()g x 存在唯一最小值0x ，满足002x
e x =+，
∴ ()0
00001
11(2,3)x x g x x x e -+=+=+∈ 1
()1
x x a g x x e +==+-有解
()02a g x ∴>，
2a ∴>.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 19．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t
y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数，0a >），已知直线l 的方程为
40x y -+=.
（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（1
）2. （2
）(0，. 【解析】
试题分析：（1）求出直线的普通方程，设22P cost sint （，）
，则点P 到直线l 的距离的距离222cos 4d t π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭，即可求点
P 到直线l 的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方则t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，即
()2
4cos 4a t ϕ++>- 2tan a 其中ϕ⎛
⎫
=
⎪⎝⎭
恒成立，恒成立，即可求a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）依题意，设()2cos 2sin P t t ，
，则点P 到直线l 的距离 22cos 4
2cos 2sin 44222cos 422t t t d t ππ⎛⎫
++ ⎪-+⎛⎫⎝⎭===++ ⎪
⎝⎭
， 当24
t k π
ππ+
=+，即324
t k π
π=+
，k Z ∈时，min 222d =-， 故点P 到直线l 的距离的最小值为222-. （Ⅱ）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， 所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立， 即()24cos 4a t ϕ++>- 2tan a 其中ϕ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
恒成立， 所以244a +<，
又0a >，所以023a <<.
故a 的取值范围为()
023，
. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
20．党的十九大报告提出，转变政府职能，深化简政放权，创新监管方式，增强政府公信力和执行力，建设人民满意的服务型政府，某市为提高政府部门的服务水平，调查群众对两个部门服务的满意程度.现从群众对两个部门的评价（单位：分）中各随机抽取20个样本，根据评价分作出如下茎叶图：
从低到高设置“不满意”，“满意”和“很满意”三个等级，在[)0,80内为“不满意”，在[)80,90为“满意”，在[]90,100内为“很满意”.
（1）根据茎叶图判断哪个部门的服务更令群众满意？并说明理由；
（2）从对A 部门评价为“很满意”或“满意”的样本中随机抽取3个样本，记这3个样本中评价为“很满意”的样本数量为X ，求X 的分布列和期望.
（3）以上述样本数据估计总体数据，现在随机邀请5名群众对两个部门的服务水平打分，则至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率是多少？（计算结果精确到0.01） 【答案】（1）A 部门，理由见解析； （2）X 的分布列见解析；期望为1； （3）0.528. . 【解析】 【分析】
（1）通过茎叶图中两部门“叶”的分布即可看出；（2）随机抽取3人，0,1,2,3X =，分别求出相应的概率，即可求出X 的分布列和期望；（3）求出评价一次两个部门的评价等级不同和相同的概率，随机邀请5名群众，是独立重复实验满足二项分布35,10X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
根据计算公式即可求出. 【详解】
解：（1）通过茎叶图可以看出：A 部门的“叶”分布在“茎”的8上， B 部门的“叶”分布在“茎”的7上. 所以A 部门的服务更令群众满意.
（2）由茎叶图可知：A 部门评价为“很满意”或“满意”的样本数量有15个, “很满意”的样本数量有5个， 则从中随机抽取3人，0,1,2,3X =，
()3
1031512024
045591C P X C ====
()2110531522545
145591C C P X C ====
()121053
1510020
245591C C P X C ==== ()35315102
345591
C P X C ====
所以X 的分布列为：
()0123191919191
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. （3）根据题意可得：A 部门“不满意”，“满意”和“很满意”的概率分别为：14，12，1
4
， B 部门“不满意”，“满意”和“很满意”的概率分别为：34，15，120
. 若评价一次两个部门的评价等级不同的概率为：
11111311131174542024220444510
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则评价一次两个部门的评价等级相同的概率为3
10
.
因为随机邀请5名群众，是独立重复实验，满足二项分布35,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率为：
()()()54
15
57371010.528101010P X P X P X C C ⎛⎫⎛⎫≤==+==+≈ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
所以至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率是0.528. 【点睛】
本题考查主要考查茎叶图的集中程度、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法、二项分布的求法，属于难题.
21．设函数()1,x f x ae x a R =--∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：当(0,)x ∈+∞时，1ln 2
x e x
x ->.
【答案】（1）()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；()f x 的单调递增区间为[0,)+∞；（2）[1,)+∞；（3）见解析． 【解析】
【试题分析】（1）直接对函数()1x
f x e x =--求导得()'1x
f x e =-，借助导函数值的符号与函数单调
性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式()0f x >中参数分离分离出来可得：1
x x a e
+>，再构造函数()1x x g x e +=
，()0,x ∈+∞，求导得()'x x g x e =-，借助0x >，推得()'0x
x
g x e =-<，从而()g x
在()0,+∞上单调递减，()()01g x g <=，进而求得1a ≥；（3）先将不等式1ln 2
x e x
x ->等价转化为
2
10x
x e xe -->，再构造函数()()2
1,0,x x
h x e xe x =--∈+∞，求导可得()2
2'12x x x h x e e ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，由（2）
知()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立，所以2
102x
x
e -->，即()22'102x x x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝
⎭恒成立，故
()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2
x e x
x ->：
解：（1））当1a =时，则()1x
f x e =-，令()'0f x =得0x =，所以有
即1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0-∞；()f x 的单调递增区间为[
)0,+∞. （2）由()0f x >，分离参数可得：1
x
x a e +>， 设()1
x x g x e +=
，()0,x ∈+∞， ∴()'x x
g x e =-，又∵0x >，
∴()'0x x
g x e
=-<，则()g x 在()0,+∞上单调递减，
∴()()01g x g <=，∴1a ≥ 即a 的取值范围为[
)1,+∞.
（3）证明：1ln 2
x e x
x ->等价于210x x e xe -->
设()()2
1,0,x x
h x e xe x =--∈+∞，
∴()2
2'12x x x h x e e ⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立， 所以2
102
x
x
e -
->， ∴()2
2'102x x x h x e e ⎛⎫
=-->
⎪⎝
⎭恒成立 ∴()h x 在()0,+∞上单调递增，
∴()()00h x h >=，因此()0,x ∈+∞时，有1ln 2
x e x
x ->.
点睛：解答本题的第一问时，先对函数()1x
f x e x =--求导得()'1x
f x e =-，借助导函数值的符号与
函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式()0f x >中参数分离出来可得
1x x a e +>
，再构造函数()1x x g x e +=，()0,x ∈+∞，求导得()'x
x
g x e
=-，借助0x >，推得()'0x x
g x e
=-<，从而()g x 在()0,+∞上单调递减，()()01g x g <=，进而求得1a ≥；第三问的证明
过程中，先将不等式1ln 2
x e x
x ->等价转化为210x x e xe -->，再构造函数
()()2
1,0,x
x h x e xe x =--∈+∞，求导可得()2
2'12x x
x h x e e ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭，由（2）知()0,x ∈+∞时，10x
e x -->恒成立，所以2
102x
x e -->，即()22'102x x x h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝
⎭恒成立，故()h x 在()0,+∞上
单调递增，所以()()00h x h >=，因此证得当()0,x ∈+∞时，不等式1ln 2
x e x
x ->成立。

22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin 213°+cos 217°-sin13°cos17° （2）sin 215°+cos 215°-sin15°cos15° （3）sin 218°+cos 212°-sin18°cos12°
（4）sin 2（-18°）+cos 248°- sin 2（-18°）cos 248° （5）sin 2（-25°）+cos 255°- sin 2（-25°）cos 255° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 【答案】见解析
【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想 【解析】
试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得
223
sin cos (30)sin cos(30)4
αααα+---=
，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明． 试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin 215°+cos 215°-sin15°cos15°=1-
1
2sin30°=34
， 故这个常数为
3
4
．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°-α）-sinαcos （30°-α）=
34
证明：sin 2α+cos 2（30°-α）-sinαcos （30°-α）=sin 2α+
21
sin )2
αα+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin 2α+
34cos 2α+14sin 2-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34
考点：三角恒等变换；归纳推理．。