数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷(Word版 含解析)

数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线1
22
y x =
+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．
2．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
3．在ABC 中，AB AC =，D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE .
（1）如图，当 D 在线段BC 上时，求证：BD CE =.
（2）如图，若点D 在线段CB 的延长线上，BCE α∠=，BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点D 在线段BC 上，90BAC ∠=︒，4BC =，求DCE
S
最大值.
4．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．
5．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合；
③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和
ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
7．阅读下列材料，并按要求解答．
（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）
应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．
应用2：如图 ③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ 为等腰直角三角形，QO ＝QP ，P （4，m ），点Q 始终在直线OP 的上方．
（1）折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ，当m ＝2时，求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标；
（2
）若无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析式 ．
8．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ． （材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；
（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求
ABF ACF
S S
的值．
10．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．
（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点
E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；
（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接
BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于点D ，NE ⊥直线l 于点E ，点M 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿A C →路径运动，终点为C ，点N 从点F 出发，以每秒3cm 的速度沿F C B C F →→→→路径运动，终点为F ，点,M N 同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t 秒，
当CMN △为等腰直角三角形时，求t 的值．
11．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；
（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．
12．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝
5
3
x 相交于点B ，与x 轴相
交于点C ，其中点B 的横坐标为3．
（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；
（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于27
2
？请求出点Q 的坐标；
（3）在y 轴上是否存在点P 使△PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）先求出直线1
22
y x =
+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标． 【详解】
解：（1）令0x =，则1
0222
y =⨯+=， ∴()0,2C ， 令0y =，则
1
202
x +=，解得4x =-，
∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =， ∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =， ∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴1
52
ABC S AB OC =
⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形； （3）∵CD 平分ACB ∠， ∴
1
2
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB =
=， ∴2
3
OD AD OA =-=， ∴2,03D ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒， ∵CD 平分ACB ∠， ∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形， ∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒， ∴MEC NDE ∠=∠， 在DNE △和EMC △中，
NDE MEC
DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()DNE EMC AAS ≅， 设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：
DO DN CM
EN EM CO
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，即
2
3
2
x y
x y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
，解得
2
3
4
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴
4
3
EN CM
==，
∴
44
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；
②如图，CDE
∠是直角，过点E作EG x
⊥轴于点G，
同理CDE
△是等腰直角三角形，
且可以证得()
CDO DEG AAS
≅，
∴2
DG CO
==，
2
3
EG DO
==，
∴
28
2
33
GO GD DO
=+=+=，
∴
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
综上：
44
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几
何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
2．（1）5y x =+；（2
）3）PB 的长为定值52
【解析】 【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证
BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+． 当0y =时，5x =-． 当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=． 解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =
，AM =
∴由勾股定理，
OM ==．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒． 90AOM OAM ∠+∠=︒． BON OAM ∴∠=∠． 在AMO ∆与OBN ∆中， 90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩
． ()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒． EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒． ABO GEB ∴∠=∠． AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG =
OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
15
22
BP GP BG ∴===．
【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证
BFP GEP ∆≅∆．
3．（1）见解析；（2）αβ=，理由见解析；（3）2 【解析】 【分析】
（1）证明()ABD ACE SAS ≅△△，根据全等三角形的性质得到BD CE =； （2）同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到∠ACE=∠ABD ，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE ，得到α和β关系式；
（3） 同（1）先证明()ABD ACE SAS ≅△△，得到ABC ADCE S S ∆=四边形，那么
DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，当AD BC ⊥时，ADE S ∆最小，即DCE S ∆最大．
【详解】
解：（1）∵BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， ∴BAD CAE ∠=∠，
在ABD △和ACE △中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABD ACE SAS ≅△△，
∴BD CE =；
（2）同（1）的方法得()ABD ACE SAS ≅△△，
∴∠ACE=∠ABD ，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在ABC 中，
∵AB= AC ，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC =12(180°-β)= 90°-12
β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+
12β， ∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-
12β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+
12β， ∴90°-12β+α= 90°+12
β， ∴α = β；
（3）如图，过A 做AH BC ⊥于点H ，
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴45ABC ∠=︒，122
BH AH BC ===， 同（1）的方法得，()ABD ACE SAS ≅△△，
AEC ABD S S ∆∆∴=,AEC ADC ABD ADC S S S S ∆∆∆∆+=+， 即142
ABC ADCE S S BC AH ∆==⋅=四边形， ∴DCE ADE ADCE S S S ∆∆=-四边形，
当ADE S ∆最小时，DCE S ∆最大，
∴当AD BC ⊥2AD =，时最小，2122
ADE S AD ∆==， 422DCE S ∆∴=-=最大．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的．
4．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°
∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE
BDA AEC
AB CA
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）解：如图，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B的坐标为B（1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=
10
,2
11
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；
（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB
AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：
CN＝CN−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t＝2，
∴当t为2秒时，点M与点N重合；
③分两种情况：
当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，
∴CM＝CN，
∴3t＝10−8t，
解得：t＝
10
11
；
当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，
则3t＝8t−10，
解得：t＝2；
综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于
10
11
s或2s，
故答案为：
10
11
s或2s．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（1）证明见解析；(2,3)
D；（2）存在，(0,0)
P，(2,3)
Q或(0,0)
P，(2,3)
Q-或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ =
223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)
Q -或1(,0)2P -
，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】
考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
7．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(5
2
，0)；
（2）y＝﹣x+4
【解析】
【分析】
根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；
应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；
应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出
Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．
【详解】
如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，
∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝10，
∵BC＝10，AB2＝200，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBH，
∵AC＝BC＝10，
∴△ADC≌△CHB（AAS），
∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，
∴DH=6+8=14，
∵BH⊥DC，
∴BD＝
应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP相交于点H，
由题意易：△OKQ≌△QHP（AAS），
设H(4，y)，那么KQ＝PH＝y﹣m＝y﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，
又∵OK＝y，
∴6﹣y＝y，y＝3，
∴Q(1，3)，
∵折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，∴点M是OP的中点，
∵P(4，2)，
∴M(2，1)，
设直线Q M的函数表达式为：y＝kx+b，
把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：
21
3
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
2
5
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴直线l的函数表达式为：y＝﹣2x+5，
∴该直线l与x轴的交点坐标为(5
2
，0)；
（2）∵△OKQ≌△QHP，
∴QK＝PH，OK＝HQ，
设Q(x，y)，
∴KQ＝x，OK＝HQ＝y，
∴x+y＝KQ+HQ＝4，
∴y＝﹣x+4，
∴无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y＝﹣x+4，
故答案为：y＝﹣x+4．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．
8．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．
【解析】
【分析】
（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=1
2 CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=1
2 BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．
9．（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．
∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，
∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴ABF
AFC
S
2
S
∆
∆
=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
10．（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；
【详解】
解：（1）△ACD与△CBE全等．
理由如下：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ，
点N 在BC 上时，△CMN 为等腰直角三角形，
当点N 沿C→B 路径运动时，由题意得，8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN 为等腰直角三角形；
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）
92；（4）（6，3）． 【解析】
【分析】
（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；
（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；
（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D （1，0）；
（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32
-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332
k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，
∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，
∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.
12．（1）点B （3，5），k ＝﹣43
，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478） 【解析】
【分析】
（1）53
y x =
相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）53
y x =相交于点B ，则点(3,5)B ，
将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43
k =-
，9b =； （2）设点4(,9)3Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，
故点Q （0，9）或（6，1）；
（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，
则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，
当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m
或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =
； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478
）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。