沪科版数学八年级下册专题(一)一元二次方程的根与系数的关系的应用
八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)沪科版
一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0 x 2－5x ＋6＝0二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2－4ac ≥0，有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值设x 1，x 2是方程2x ＋4x －3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2.解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143. 方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体带入求解即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值． 解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－65，∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k ＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x 的一元二次方程x ＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求m 的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m2＝－1， 化简整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.当m ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．当m ＝3时，方程为x 2＋9x ＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m ＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m 的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。
2013-2014学年沪科版八年级数学下17.4一元二次方程的根与系数的关系讲解与例题
一元二次方程的根与系数的关系1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．(2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝26x；(3)32x2＋1＝22x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；(5)ax2＋c＝0(a≠0)．分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4.∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)将方程转化为一般形式为3x2－26x＋2＝0.a＝3，b＝－26，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－26)2－4×3×2＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)将方程转化为一般形式为32x2－22x＋1＝0.方程两边同乘以2，得3x2－2x＋2＝0，a＝3，b＝－2，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝2－83＜0，∴原方程没有实数根．(4)ax2＋bx＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝b2－4·a·0＝b2.又∵b取任何实数，b2均为非负数，∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．(5)ax2＋c＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac＝－4ac.当c ＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；当a 与c 异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；当a 与c 同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．2．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例2】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．分析：因为方程2x 2＋4x ＝1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．解：把方程2x 2＋4x ＝1转化成一般形式为2x 2＋4x －1＝0.(1)∵Δ＝b 2－4ac ＝42－4×2×(－1)＝24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)设该方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－b a ＝－42＝－2，x 1·x 2＝c a ＝－12＝－12. 点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a ，b ，c .3．利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．例如，已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．分析：因为方程有两个实数根，所以有隐含条件二次项系数k ≠0.又因为方程有两个相等的实数根，由此可得Δ＝0.对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须先考虑隐含条件a ≠0.【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：原方程可化为kx 2－12x ＋9＝0.因为此方程是关于x 的一元二次方程，所以k ≠0，Δ＝b 2－4ac ＝(－12)2－4k ·9＝144－36k .(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以144－36k ＞0，解得k ＜4且k ≠0.即当k ＜4且k ≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)因为方程有两个相等的实数根，所以144－36k ＝0，解得k ＝4.即当k ＝4时，方程有两个相等的实数根．(3)因为方程没有实数根，所以144－36k ＜0，解得k ＞4.即当k ＞4时，方程没有实数根．在根据一元二次方程根的情况来求字母系数的取值范围时，要注意以下几点：一是必须是一元二次方程，当二次项系数含有字母时一定要确保二次项系数不为0；二是必须符合一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；三是当方程有实数根时，Δ≥0.4．利用根与系数的关系确定一元二次方程如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.例如，已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为3和4，请你写出这个一元二次方程．由方程的两个根为3和4可知，此方程的两根之和为7，两根之积为12，故根据一元二次方程根与系数的关系可以写出这个一元二次方程．解：设此方程的两个根为x 1，x 2，则根据题意得x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12.所以所求的一元二次方程为x 2－7x ＋12＝0.已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例4】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．分析：一般求作新的一元二次方程时，设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0的简单形式，其中p ＝－(y 1＋y 2)，q ＝y 1·y 2.设法求出p 和q 的值代入y 2＋py ＋q ＝0即得所求方程，当p ，q 两数为分数时，方程最后要化为各项系数均为整数的方程．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，根据韦达定理，得x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，它的两根为y 1，y 2，则y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. p ＝－(y 1＋y 2)＝－(－1x 1－1x 2)＝1x 1＋1x 2 ＝x 1＋x 2x 1·x 2＝－25－35＝23. q ＝y 1·y 2＝(－1x 1)(－1x 2)＝1x 1·x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0， 即3y 2＋2y －5＝0.所求方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．例如：如果原方程中未知数是x ，那么所求的新方程中未知数就不要用x 了，而改用其他字母y 或z 等．5．一元二次方程根与系数的关系的应用已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例5】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2. 解：由一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－3， 所以，(1)(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2x 1－2x 2＋4＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－3－2×(－52)＋4＝6； (2)x 2x 1＋x 1x 2＝221212x x x x ＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2 ＝(－52)2－2×(－3)－3＝－4912.。
八年级数学下册_19.4《一元二次方程的根与系数的关系》教案_沪科版
一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
二、重点难点发现并掌握一元二次方程根与系数的关系三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。
2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。
引导学生发现问题，师生共同解决问题。
3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。
4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。
（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、设计理念根据教材内容和《初中数学新课程标准》，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。
五、设计意图采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，探究分两步走将探究根与系数关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非 1的一元二次方程分两次出现，这样处理基于如下的原因。
第一，使得每一个学生都能参与探究。
学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与。
事实上，研究事物往往从简单到复杂。
当a=1 时，容易发现根与系数的关系，当 a ≠1时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想。
沪科版初二下册数学 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案(教学设计)
2.从而得出一元二次方程的一般式 的解 之间的关系：x1+x2= ,x1·x2= ,得出根与系数的关系。
3.已知方程 2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。
四、巩固练习（5分钟）
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
三、合作探究： 六、布置作业：
教 学 反 思
（1）x2-3x+1=0；
（2）2x2-9x+5=0；
（3）2x2+3x=02.
2、书本练习
五、课堂小结（3分钟）
一元二次方程根与系数的关系:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，则x1+x2= ，x1·x2= .
六、布置作业（10分钟）
讨论补充记录
讨论补充记录
板书
二、自学提纲（10分钟）
自学课本内容，解决以下问题：
1．填表
问题：你发现这些一元二次方程的根与系数a、b、c有什么规律？
当二次项系数为1时，x2+px+q=0的两根x1, x2的关系怎样？
2．任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系是 x1+x2=；x1·x2=.
设计
一、学习目标； 四、巩固练习；
二、自学提纲；五、课堂小结；
三、合作探究； 六、布置作业
教 学 反 思
17.4一元二次方程的根与系数的关系（2）
主备人：
时间
地点
召集人
一元二次方程的根与系数的关系第1课时课件沪科版八年级数学下册
四、合作探究
探究二：根据方程根与系数的关系求未知系数的值
已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0
问题提出2：方程两根为x1,x2,且满足x1x2-3x1-3x2-2=0.求a的值 问题.探索：方程形如x2+px+q=0,则两根之和为 -p ，两根之积为 q ，
则题目中的x1+x2= 2-2a ，x1x2= a2-7a-4 .
观察x1+x2、x1x2与方程 系数有什么关系？
三、自主学习
将上述数据整理成如下表格：
一元二次方程
两根
x1
x2
x1+Βιβλιοθήκη 2x1x2x2 +3x -4 =0
-4
1
-3
-4
x2 -5x +6 =0
2
3
5
6
x2 -2x -8 =0
-2
4
2
-8
1.观察x1+x2的值与方程系数，有什么发现？ 形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p 2.观察x1x2的值与方程系数，有什么发现？ 形如方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1x2=q
问题解决：x1x2-3x1-3x2-2=0 可写成：x1x2-3(x1+x2)-2=0 即a2-7a-4-3(2-2a)-2=0
有a+3=0或a-4=0 解得a=-3或a=4 根据问题1可知：a>-1
a2-a-12=0 十字相乘法求解
∴a=4
因式分解，得(a+3)(a-4)=0
四、合作探究
练一练
2.已知关于x的方程x2+(m2-4)x-1=0的两个根互为相反数，则m=（ A ）
(沪科版)八年级数学下册名师 精品导学案：一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用．2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．【学习重点】根与系数的关系及其推导．【学习难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．归纳：一元二次方程根与系数关系揭示了两根与其系数间的奇妙关系，但它的使用必须以b 2－4ac ≥0为前提．情景导入 生成问题旧知回顾：1．一元二次方程的一般形式是什么？答：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．一元二次方程的求根公式是什么？答：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，求根公式为x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac ≥0)． 它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？自学互研 生成能力知识模块 一元二次方程根与系数的关系【自主探究】阅读教材P 37～38，完成下列问题：一元二次方程根与系数的关系是怎样的？如何推导？答：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，这个关系通常称为韦达定理．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a， 所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－b a，x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）24a 2＝4ac 4a 2＝c a. 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x 2＋px ＋q ＝0，设它两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.范例1：(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋3＝0的两个根，则x 1＋x 2和x 1·x 2的值分别是( A )A ．－10，3B ．10，3C ．－3，10D ．3，－10学习笔记：仿例1中，已知α、β为不相等的两根，要注意一元二次方程Δ＞0，即Δ＝(2m ＋3)2－4m 2＞0，12m ＋9＞0，m ＞－34. 利用根与系数关系，求得m ＝3或－1时应去掉m ＝－1的情况，即利用根与系数关系求字母系数值时，要利用根的判别式进行检验．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成． 仿例：(1)已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a＋1b 的值是－65； (2)方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)＝－2；x 21＋x 22＝6．范例2：已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b与c 的值分别为( D )A ．b ＝－1，c ＝2B ．b ＝1，c ＝－2C ．b ＝1，c ＝2D ．b ＝－1，c ＝－2仿例1：(呼和浩特中考)已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( B ) A ．3或－1 B ．3 C ．1 D ．－1或1仿例2：(玉林中考)已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m.求m ，n 的值．解：∵关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＝n ，－2＋m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，即m ，n 的值分别是1，－2. 仿例3：已知关于x 的方程x 2＋x －m ＝0的一个根为2，则有m ＝6，另一个根是－3．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 一元二次方程根与系数的关系检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________ 教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
沪科初中数学八下《17.4一元二次方程的根与系数的关系》word教案 (4)
《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学目标：1．掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．2．经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．3．情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．教学重点：根与系数关系及运用．教学难点：定理的发现及运用．教学过程：一、创设情境，激发探究欲望我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如：抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：直角三角形的三边a，b，c满足关系：2a+2b=2c--------------------勾股定理（毕达哥拉斯）那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，感受一次当科学家的味道．设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望．二、探究规律先填空，再找规律：么规律？设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法． 三、得出定理并证明（韦达定理）若一元二次方程a 2x +bx +c =0（a ≠0）的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-b a 1x ．2x =c a特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：1x +2x =-p 1x ．2x =q证明此处略（师生合作完成）设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程． 四、运用定理解决问题例1：求下列方程的两根之和与两根之积． （1）2x -6x -15=0 （2）5x -1= 42x （3）2x =4 （4）22x =3x（5）2x -（k +1）x +2k -1=0（x 是未知数，k 是常数）设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解．例2：若一元二次方程2x -4 x +2=0的两根是1x 、2x ，求下列各式的值． （1）11x +12x （2）21x +22x 设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用．例3：若一元二次方程2x +ax +2=0的两根满足：21x +22x =12，求a 的值．设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等． 五、课堂小结：让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨．。
八年级数学下册-专题. 一元二次方程根与系数的关系【十大题型】(举一反三)(沪科版)(解析版)
专题17.4一元二次方程根与系数的关系【十大题型】【沪科版】【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (4)【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (6)【题型4由方程两根满足关系求字母的值】 (10)【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (13)【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (15)【题型7构造一元二次方程求代数式的值】 (19)【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】 (21)【题型9根与系数关系中的新定义问题】 (25)【题型10根与系数的关系和根的判别式的综合应用】......................................................错误！未定义书签。
【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−b a，x1⋅x2=c a．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·八年级统考期末）若1，2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，则12+22+12的值是（）A．−7B．−1C．1D．7【答案】D【分析】利用两根之和为1+2=−，两根之积为12=，计算即可．【详解】解：∵1、2是一元二次方程2−2−3=0的两个根，∴1+2=2，12=−3，∴12+22+12=1+22−12=4−−3=7，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程2+3−2=0的两根，则2K−r32−2的值是（）A．−3B．−2C．−13D．−12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=−3，然后将分式化简，代入+=−3即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程2+3−2=0的两根，∴+=−3，∴2r322===+=1+=−13，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·八年级假期作业）已知a，b是方程2+6+4=0的两个根，则+的值．【答案】−14【分析】由根与系数关系知+=−6，B=4，即知a＜0，b＜0，化简原式+=−B((rp2−2B B)，所以原式=−14故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程2+6+4=0的两个根，∴+=−6，B=4，∴a＜0，b＜0，∴=−B =−B(+) =−B(2+2B) =−B((rp2−2B B)∴原式=−4×(−6)2−2×44=−2×7=−14故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）已知1、2是方程2−7+8=0的两根，且1>2，则21+32的值为．【分析】由题意可得1+2=7，2=.【详解】解：∵1、2是方程2−7+8=0的两根，∴1+2=7，==∵1>，∴2=∴21+32=2===【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）设α、β是方程2++2012=0的两个实数根，则2+2+的值为（）A．－2014B．2014C．2013D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，则+22+的值为()A．32B．5C．2D．−2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得2+3=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得B=−1，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程2+3−1=0的两个实数根，∴2+3=1，+=−3∴+22+=2+4+4+=2+3+++4=1−3+4=2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出2+3=1，+=−3是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程2−3−9=0的两个根，则2−4−的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得+=3，由根的定义可得2−3=9，代入即可得答案．【详解】∵2−3=9，+=3，∴2−4−=2−3−−=2−3−+=6．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知和是方程2+2023+1=0的两个根，则2+2024+22+2024+2的值为（）A．−2021B．2021C．−2023D．2023【答案】A【分析】由和是方程2+2023+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，⋅=1，+=−2023，由一元二次方程根的定义可得2+2023+1=0，2+2023+1=0，即可求解；【详解】∵和是方程2+2023+1=0的两个根，∴2+2023+1=0，2+2023+1=0，⋅=1，+=−2023，∴2+2024+22+2024+2=2+2023+1++12+2023+1++1=+1+1=⋅+++1=1−2023+1=−2021故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·八年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，则代数式3−42−2+5的值为．【答案】−2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2−3−1=0，再根据根与系数的关系得到+=3，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程2−3−1=0的两个不相等的实数根，∴2−3−1=0，+=3，∴2=3+1，∴3−42−2+5=2−3−1−2+−2+5=−2+−2+5=−3−1+−2+5=−2−2+4=−2++4=−2×3+4=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·八年级统考期末）已知，是方程2−−3=0的两个根，则代数2+22+ +B的值为．【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得+=1，B=−3，2−−3=0，2−−3=0，2=+3，2=+3，原式=+3+2+6+−3，=2(+p+6，=2×1+6，=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知、是方程2+−1=0的两根，则4−3+5【变式3-2】的值是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程2+−1=0的两根，∴+=−1，B=−1，2=1−，2=1−，∴4−3+5=3×−1−3+5=−1−−1−+5=−+2−+2+5=−+1−−+1−+5=−2++7=−2×−1+7=9，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程B2+B+=0（a、b、c 为常数，≠0）的两根为1，2，则1+2=−，1⋅2=．【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）已知，是方程2−−1=0的两根，则代数式23+5+33+ 3+1的值是（）A．19B．20C．14D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程2−−1=0的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵3=2·=(+1)=2+=+1+=2+1，同理：3=2+1∴23+5+33+3+1=2(2+1)+5+3(2+1)+3+1=9+9+6=9(+p+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4由方程两根满足关系求字母的值】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，且1=32，【例4】则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出1+2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2−8+=0两根为1、2，∴1+2=8，∵1=32，∴2=2,1=6，∴=12=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·八年级校考期中）已知关于x的方程2+(2−1)+2−1=0的两根为1,2满足：12+22=16+12，求实数k的值【答案】=−2【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出1+2=1−2，12=2−1，代入12+22=16+12，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程2+2−1+2−1=0的两根为1,2∴=2−4B=(2−1)2−4×1×(2−1)≥0解得：≤541+2=1−2，12=2−1∵12+22=16+12∴12+22−12=16(1+2)2−312=16代入1+2=1−2，12=2−1得：(1−2p2−3(2−1)=16解得：1=6,2=−2∵≤54∴=−2【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】−2【分析】设方程的两根分别为1，2，根据根与系数的关系得到1+2=2−4=0，解得=±2，然后分别计算Δ，最后确定=−2．【详解】解：设方程的两根分别为1，2，∵方程2−2−4++1=0的两个实数根互为相反数，，∴1+2=2−4=0，解得=±2，当=2，方程变为：2+3=0，Δ=−12＜0，方程没有实数根，所以=2舍去；当=−2，方程变为：2−1=0，Δ=4＞0，方程有两个不相等的实数根；∴=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程B2+B+=0（≠0，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为1，2，则1+2=−；1⋅2=．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=2−4B：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程2+ 2+3+2=0的两个不相等的实数根，且1+1=−1，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到+=−2−3，B=2，再根据1+1=−1得到2−2−3=0，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程2+2+3+2=0的两个不相等的实数根，∴+=−2−3，B=2，∵1+1=−1，∴r B=−1，即+=−B，∴−−2−3=2，∴2−2−3=0，解得=3或=−1，又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=2+32−42>0，∴>−34，∴=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·八年级专题练习）关于的方程−2+1=2（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为2−−2−2=0，∴Δ=−12−4−2−2=1+8+42=42+9>0，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为1,2，则根据根与系数的关系可知：1⋅2=−2−2<0，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）方程22−3+1=0根的符号是（）A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：22−3+1=0的两根分别为1，2，则1+2=32>0，1⋅2=12>0，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程B2+B+=0≠0的两根1，2满足1+2=−，1⋅2=是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△A的三条边的长，那么方程B2+++4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式Δ=2−4B，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程B2+++4=0中，可得：Δ=+2−4⋅4=+2−2，∵a、b、c是△A的三条边的长，∴>0，>0，>0．+>，即+2>2，∴+2−2>0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是−r<0，两根的积是4=14>0，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·八年级统考课时练习）已知<0，>0，<0，则方程B2−B−=0的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由12=−<0得到方程有异号两实数根，再由1+2=<0得到负根的绝对值大．【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵12=−<0，∴方程有异号两实数根．∵1+2=<0，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣−＞0，整理得：2−4+3>0，即(−3)(−1)>0，根据乘法法则得：−3>0−1>0或−3<0−1<0，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝−＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝=134−<214，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程2−4+−1=0的实数根1,2，满足312−1−2>5，则m的取值范围是．【答案】4<≤5【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：1+2=4,12=−1，所以312−1−2=3×(−1)−4，依题意得：(−4)2−4(−1)≥03×(−1)−4>5，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程42−+5−−【变式6-2】9=0有两个不相等的实数根1，2，且1=−1，0<2<1，则k的取值范围是（）A．−18<<−10B．0<<8C．−9<<−5D．−18<<−10且≠−13【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据12=−K94，1=−1，可得2=r94，结合0<2<1，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程42−+5−−9=0有两个不相等的实数根，∴Δ=−+52−4×4×−−9=+132>0，解得：≠−13，∵12=−K94，1=−1，∴2=r94又∵0<2<1，∴0<r94<1，解得：−9<<−5，综上，的取值范围为：−9<<−5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到2=r94．【变式6-3】（2023春·八年级单元测试）设关于的方程B2+(+2)+9=0有两个不相等的实数根1，2，且1<−1<2，那么实数的取值范围是．【答案】0<<29【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出1+2=−r2，12=9，由1<−1<2可得出(1+1)(2+1)<0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(+2)2−4×9=−352+4+4>0，解得：−27<<25，∵1+2=−r2，12=9，1<−1<2，∴1+1<0，2+1>0，∴(1+1)(2+1)<0，∴12+(1+2)+1<0，即9−r2+1<0，当I0时，解得>29（舍去）；当>0时，解得0<<29，又∵−27<<25，∴的取值范围为0<<29．故答案为：0<<29．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(1+1)(2+1)<0，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402B．59C．95D．6703【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（1）2+2010×1+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与1为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1==95．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知≥2,2−2B+2=0,2−2B+2=0，则(−1)2+(−1)2的最小值是（）．A．6B．3C．-3D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足=−−3，=−−3，求2+2−9的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴2+2﹣9=2+2−9=(rp2−2B−9=9−2K9=−2=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，则22−22的值为（）A．-1B．1C．0D．0.5【答案】A【分析】把2,2看作以上方程的两个不同的根，可得4−2+22−22−1=0，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：∵(2−2)(2−2)=1，(2−2)(2−2)=1，∴2,2看作以上方程的两个不同的根，即2,2是方程4−2+22−22−1=0的两根，故22=−22−1，即22−22=−1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·八年级期中）若关于x的一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，则方程（−1）2+2（−1）+=0的两根分别是（）．A．+1，−−1B．+1，−+1C．+1，+2D．−1，−+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程B2+2B+=0的另一个根，设−1=，根据方程B2+2B+=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，∴+=−2=−2，解得：=−2−，设−1=，方程（−1）2+2（−1）+=0变形为B2+2B+=0，由一元二次方程B2+2B+=0(≠0)的根可得，1=，2=−2−，∴−1=−2−，−1=，∴1=−−1，2=1+，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）有两个一元二次方程：：B2+B+=0；：B2+B+ =0，其中−≠0，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是=1【答案】D【分析】求出方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，方程：B2+B+=0的判别式△=2−4B，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根，∴△>0即2−4B>0，∴此时N的判别式△=2−4B>0，∴N也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；B、∵M的两根符号相同：即1⋅2=>0，∴N的两根之积也大于0，∴N的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；C、如果5是M的一个根，则：25+5+=0①，我们只需要考虑将15代入N方程看是否成立，代入得：125+15+=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意；D、比较方程M与N可得：B2+B+−B2−B−=0，∴−2=−，∵−≠0，∴2=1，∴=±1，∴它们如果有根相同的根可能是1或−1，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=2−4B，根与系数的关系1+2=−，1⋅2=．【变式8-2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）关于x的一元二次方程2+B+=0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程2+B+=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(−2)2+(−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(−2)2+(−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B 与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）一元二次方程G B2+B+=0；G B2+B+=0，其中B≠0，≠，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是=1，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．【详解】∵G B2+B+=0有两个不相等的实数根，∴Δ=2−4B＞0，∵G B2+B+=0的判别式为Δ=2−4B=2−4B＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故①正确；∵G B2+B+=0两根符号相同，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴Δ=2−4B≥0,＞0，∴方程N的两根符号也相同，故②正确；∵m是方程G B2+B+=0的一个根，∴B2+B+=0，∵2+×1+=rB+B22=0∴1是方程N的一个根；故③正确；设方程M和方程N相同的根为0，根据题意，得B02+B0+=0,B02+B0+=0，∴−02=−，∵B≠0，≠，∴02=1，解得0=±1，故这个根是=±1，故④错误；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【题型9根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·八年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②2-r2=0；③132+14r15=0；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【答案】(1)①②④；(2)22-(rp2=1；【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；（2）利用根与系数关系可得：m+n=-，mn=，再结合2+2=2，即可得出答案；另解：根据题意可得：B2+B+J0①，B2+B+J0②，再结合2+2=2，即可得出答案；【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程2-1=0中，J1，J0，J-1，∵2+2=1，2=1，∴2+2=2，∴一元二次方程2-1=0为“勾股”方程；在方程2-r2=0中，J1，J-1，J2，∵2+2=12+(-1)2=2，2=(2)2=2，∴2+2=2，∴一元二次方程2-r2=0为“勾股”方程；在方程132+14r15=0中，J13，J14，J15，∵2+2=(13)2+(14)2=25144，2=(15)2=125，∴2+2≠2，∴一元二次方程132+14r15=0不是“勾股”方程；在方程42+3J5中，J4，J3，J-5，∵2+2=42+32=25，2=(-5)2=25，∴2+2=2，∴一元二次方程42+3J5为“勾股”方程；故答案为：①②④；（2）22-(rp2=1；理由如下：∵、是“勾股”方程B2+B+J0的两个实数根，。
八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 新版沪科版
八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.4节主要介绍一元二次方程的根与系数的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式，并能运用这些知识解决实际问题。
教材内容安排合理，逻辑清晰，通过例题和练习题的引导，使学生能够逐步掌握一元二次方程的根与系数的关系。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法、判别式的概念以及一些基本的代数运算。
但部分学生对于抽象的数学概念和公式理解不够深入，对于将理论知识应用于实际问题还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，掌握根的判别式和根与系数的关系公式。
2.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系公式。
2.教学难点：理解和运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。
3.小组讨论法：分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。
2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固学生对知识的理解和运用。
3.教学视频：准备一些教学视频，帮助学生更好地理解一元二次方程的根与系数的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频或图片引入一元二次方程的根与系数的关系，激发学生的学习兴趣，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种联系。
(沪科版)18.4一元二次方程根与系数关系(1)
一元二次方程根与系数的关系(也叫韦达定理)若 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则：
x1+x2= -
注意： 关于x的方程:x2+px+q=0两根为 1)一元二次 方程不是一 x1,x2(p,q为常数).则： 般式要化为 q -p x1+x2=___、x1•x2=__ 一般式； 2）不要漏 1) x12+x22=(x1+x2)2 - 2x1x2 掉b/a前面 2)x12+x22=(x1-x2)2+2x1x2 的"–"负号； 2) 2 3）a、b、c 3)lx1-x2l= 1 2 1 包括它前面 "–"负号。
4、已知，关于x的方程x2–(m–1）x+m–2=0 4 (1)若两根的和为3，则m=____； 1 (2)若两根互为相反数，则m=____； 3 (3)若两根互为倒数，则m=____； 2 (4)若两根的积为0，则m=____； 温馨提示： x1+x2=m–1, x1x2=m–2
例1.已知方程x -(k+1)x+3k=0的一个根是 2,求另一根及k的值. 解：(方法一) 设另一根为x1 将x=2代入方程， 4-2(k+1)+3k=0 解得 k=2 , 由根与系数关系得，2x1=3k 解得：x1=-3 解：（方法二）设另一根为x1 由根与系数关系,得 x1+2=k+1 x1=-3 2x1=3k 解得 k=-2
2 2
程
x1 0 2 1 -4
x2 2 0 -3 -4
x1+x2
x 1x 2
Байду номын сангаас
x -2x=0 x +3x-4=0 2 x -5x+6=0 2 x +2x-48=0 x +5x-24=0
沪科版八年级数学下册《【教学设计】 一元二次方程的根与系数的关系》
通过学生亲 自解题的感
感 系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利 学生尝试归纳， 受与经验， 受数学的严 用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. 师生总结 4 两个根均为负数的一元二次方程是( ○ A.4x2+21x+5=0 D.2x2+15x-8=0 5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ○ A.4x -3=0
时方 时 进一步加强
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，
6 中还需考虑 m 的值还得受 学生独立完成， 对所学知识 确定方程各项系数的符号，○ 教师巡回检查， 的理解和掌 根的判别式的限制. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习： x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根， 利用根与系数的关系 1 1 1 ； ○ 2 x2 x12 x1 x2 2 ○ 3 x12 x2 2 ； 求下列各式的值：○
沪科版八年级数学下册教学设计
一元二次方程的根与系数的关系
教学媒体 教 学 过程 目 标 方法 情感 态度 知识 技能 多媒体 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 学生经历探索， 尝试发现韦达定理， 感受不完全归纳验证以及演绎证明. 培养学生观察， 分析和综合， 判断的能力， 激发学生发现规律的积极性， 激励学生勇于探索的精神. 一元二次方程的根与系数关系 对根与系数关系的理解和推导
2 2 2 2
公式进行探究、 结论
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根 交流，尝试发现
学生独立解决， 加深对韦达 并交流 定理的理解， 培养学生的 应用意识和 能力 . 先观察，尝试选 3x -7x+2=0；3x -7x-2=0；
1一元二次方程的根与系数的关系PPT课件(沪科版)
二次方程是( A )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
6．(3 分)(2015·怀化)设 x1，x2 是方程 x2＋5x－3＝0 的两个根，则 x1（x1x＋1＋x2x）2）＋－1 2x1x2＝（47）2＋－7434－＋274×＋（1 －34）＝13021
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18．(10 分)关于 x 的一元二次方程 x2＋3x＋m－1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2. (1)求 m 的取值范围； (2)若 2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求 m 的值．
16．(2015·荆门)方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0 的两个实数根为 x1，x2.若 x12＋x22＝4，则
m 的值为_－__1_或__－__．3
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三、解答题(共 44 分)
17．(12 分)设方程 4x2－7x－3＝0 的两根为 x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
(1)(x1－3)(x2－3)；
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A．19 B．25 C．31 D．30
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7．(2 分)(2015·南京)已知方程 x2＋mx＋3＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是____3____， m 的值是___－__4___．
8．(2 分)方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝__－__2____. 9．(2 分)若 x1，x2 是方程 x2＋x－1＝0 的两个根，则 x12＋x22＝____3____.
八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案2 (新版)沪科版
教
学
过
程
教
学
过
程
一、学习目标（2分钟）
理解掌握一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），并能够运用它解决一些简单的问题。
二、自学提纲：（10分钟）
1、回忆一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的解。
2、回忆一元二次方程的根与系数的关系并能会证明。
3、不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。
选做题：P36习题18.4第4题
课外作业：
1、课本P36习题18.4第1、2、5题
2、基训同步。
讨论补充记录
讨论补充记录
板书
设计
一、学习目标：四、巩固练习：
二、自学提纲：五、课堂小结：
三、合作探究：六、布置作业：
教学反思变式练习：Fra bibliotek上条件都不变，求
（1）（2）（3）
设计说明：本例对大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数关系应该掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法。对于这些等式变形，要让学生真正明白这样变形的依据是什么，找好知识的生长点。
四、巩固新知，当堂训练（7分钟）
方程的两根互为倒数，求k的值。
4、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1、x2，不解方程，求x1-x2的值。
三、合作探究：（15分钟）
1.韦达定理：
如果一元二次方程 的解 满足：
口答：不解方程，求出下列方程两根之和、两根之积。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2、不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。
3、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1、x2，不解方程，求x1-x2的值。
沪科版八年级数学下册学案设计一元二次方程的根与系数的关系
17.4 一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1.了解一元二次方程根与系数的关系
2.经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力. 重点难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用．
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导.
【预习导学】
【探究展示】
归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于，两根的积等
于，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的.
（二）展示提升
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根X1、X2的和与积：
（1）2X2-3X+1=0；（2）X2-3X+2=10；
（3）7X2-5=X+8；
2.已知关于X的方程X2+3X+q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。
【知识梳理】
以“本节课我们学到了什么？”发启学生谈谈本节课的收获.
【当堂检测】
1.（1）设方程X2-4X-1=0的两个根为X1与 X2，则X1. X2= ；
（2）设方程X2+5X+6=0的两个根为X1与 X2，则X1+ X2= ；
2. 设X1. X2是方程3X2+2X-3=0的两个根，求下列各式的值：
（1）X1+ X2；（2）X1. X2.
3.已知关于X的一元二次方程X2+mX+3=0的一个根为-1，它的另一个根及m的值.
【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
沪科版八年级数学下册教案设计一元二次方程的根与系数的关系
*17.4一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x2－2x＝0；(2)x2＋3x－4＝0；(3)x2－5x＋6＝0.二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－13.方法总结：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b2－4ac≥0，有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x2x1＋x1x2.解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－32.(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x2x1＋x1x2＝x22＋x21x1x2＝（x1＋x2）2－2x1x2x1x2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143.方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体带入求解即可．【类型二】已知方程一根，利用根与方程x1x2x1＋x2x1·x2 x2－2x＝0x2＋3x－4＝0x2－5x＋6＝0系数的关系求方程的另一根已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35.又∵x1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求m的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m＋3）m2＝－1，化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解，∴m＝－1应舍去．当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．综上所述，m＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.。
沪教版八年级数学下册教学设计 一元二次方程的根与系数的关系
《一元二次方程的根与系数的关系》本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，上两节已揭示了方程的根是由方程的系数决定的；本节进一步探究方程两根之和及两根之积与方程系数的关系，它集中反映了一元二次方程两根的基本对称式与系数之间的关系。
它是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
【知识与能力目标】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题。
【过程与方法目标】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用。
【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系。
多媒体。
一、情境导入，初步认识问题 请完成下面的表格观察表格中的结果，你有什么发现？ 二、思考探究，获取新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空：(1)已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ， x 1·x 2= ； (2)已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ， x 1·x 2= . 答案：（1）4，-7；（2）-3，-5。
思考1（1）如果方程x 2+mx+n=0的两根为x 1，x 2，你能说说x 1+x 2和x 1·x 2的值吗？（2）如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由。