北师版初中数学九年级下册精品教案 第1章 直角三角形的边角关系 3 三角函数的计算

3 三角函数的计算
教师备课素材示例
●类比导入如图，当登山缆车的吊箱经过点D到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝45°，那么缆车垂直下降的距离是2_m__，当缆车的吊箱从点B到达点A，它走了200m，∠β＝16°，你能求出缆车垂直下降的距离吗？
【教学与建议】教学：用贴近学生生活的问题情境导入课题，由特殊角45°到求sin16°的值，由此引出一般锐角的三角函数值的计算问题．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
●情景导入如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA＝OB＝2m．你能求出此时另一端A离地面的高度吗？
要求另一端A离地面的高度，实际上就是求直角三角形的直角边，所以只要求出sinB的值即可，但是15°不是特殊角要怎么办呢？
【教学与建议】教学：在直角三角形中解决问题，学生直接得到另一端A离地面高度为AB·sin15°，让学生想到需要求一般角的三角函数值．建议：直接展示图形、题目，让学生独立思考，提出解决方案．
利用三角函数值计算仰角、俯角问题时，根据仰角、俯角构造直角三角形，利用三角函数求解．
【例1】赵强同学在距某电视塔塔底水平距离600m处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__218__m．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)
【解析】画出示意图，如图．在Rt△ABC中，AB＝600m，∠BAC＝20°.
∵BC AB
＝tan20°，∴BC ＝ABtan20°≈600×0.3640≈218(m). 【例2】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上
一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得灯塔的最高点C 的仰角
为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.(结果保留整
数．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
解：在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，
∴BD ＝CD.在Rt △ADC 中，∠A ＝31°，AB ＝20，
∴tan31°＝CD AD ，即CD 30＋CD
≈0.6，∴CD ≈45m. 答：这座灯塔的高度CD 约为45m ．
当题目中没有给出一般角的三角函数值时，先构建直角三角形，再用
一般角的三角函数来表示线段长．
【例3】如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α，AC ＝2，
则树高BC 为(用含α的代数式表示)(B)
A ．2sin α
B ．2tan α
C ．2cos α
D ．2tan α
（例3题图） （例4题图）
【例4】某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶
上弦杆AB 的长为(B)
A ．95sin αm
B ．95cos αm
C ．59sin αm
D ．59cos α
m 当求一般角(如15°，22.5°，67.5°等角)的三角函数值时，可以
通过构造直角三角形，把一般角转化成特殊角，最后利用边的数量关系求出一般角的三角函数值．
【例5】小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5°
角的正切值是．
高效课堂教学设计
1．经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．
2．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．
▲重点
1．用计算器求已知锐角的三角函数值；
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
▲难点
能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
◆活动1 创设情境导入新课(课件)
提出问题，引入新课：
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)
问题：
(1)在Rt△ABC中，sinα如何表示？
(2)你知道sin16°是多少吗？
(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，怎样用科学计算器求三角函数值呢？
◆活动2 实践探究交流新知
【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值
用科学计算器求三角函数值，要用到sin cos和tan键．
例如，求sin16°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示．
按键顺序
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同．【探究2】
(1)如图，为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少？
如图，在Rt△ABC中，sinA＝
BC
AC
＝
1
4
，那么∠A是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器．请与同伴交流你是怎么做的．
(2)已知三角函数值求角度，要用到sin cos tan键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和SHIFT键．例如，已知sinA，cosB，tanC，求∠A，∠B，∠C的度数的按键顺序如下表所示．
按键顺序
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，工件上有一V 形槽，测得它的上口宽20mm ，深19.2mm ，求V 形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)
【方法指导】根据题意，可知AB ＝20mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD ＝19.2mm ，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可．
解：tan ∠ACD ＝AD CD ＝1019.2
≈0.5208， ∴∠ACD ≈27.5°，
∴∠ACB ＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.
【例2】如图，在某海岛上的观察所A 发现海上某船只B ，并测得其俯角α＝16°，已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为＋2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离．(精确到1m)
【方法指导】根据题目条件可求∠B 及AC 的长，在Rt △ABC 中，利用∠B 的正切值即可求出BC 的长．
解：在Rt △ABC 中，根据题意，得∠B＝16°，AC ＝43.74－2.63＝41.11(m).
∵tanB ＝AC BC ，∴BC ＝AC tanB ＝41.11tan16°
≈143(m). 答：观察所A 到船只B 的水平距离BC 约为143m ．
◆活动4 随堂练习
课本P 14随堂练习
◆活动5 课堂小结与作业
【作业】课本P 15习题1.4中的T 1、T 4、T 5.
本节课通过创设很多贴近学生生活实际的问题情境，提出引发学生思考的问题，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发
展了学生的应用意识及分析问题、解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维能力．。