2019_2020学年高中数学第二章单元质量测评(含解析)新人教B版必修2

第二章 单元质量测评
对应学生用书P81 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．A ，B 为数轴上两点，A 点的坐标为－1，A ，B 两点间的距离为6，那么B 点的坐标为( ) A ．5 B ．－7
C ．5或－7
D ．－5或7 答案 C
解析 设B 点的坐标为x ，则x －(－1)＝6或(－1)－x ＝6，x ＝5或x ＝－7． 2．直线y ＝k(x ＋1)(k>0)的图象可能是( )
答案 B
解析 由直线方程知，直线过点(－1，0)，且斜率k>0，观察可知B 项正确． 3．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b ＋c 的值为( )
A ．－4
B ．20
C ．0
D ．24 答案 A
解析 由直线互相垂直可得－a 4·2
5＝－1，∴a＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，又
垂足(1，c)在直线上，所以代入得c ＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4．故选A ．
4．若直线ax ＋by ＝1与单位圆x 2＋y 2
＝1无公共点，则点P(a ，b)与圆的位置关系是( ) A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．以上皆有可能 答案 C 解析 由题意得
1a 2
＋b
2
>1，即a 2＋b 2
<1，所以点P 在圆内．故选C ．
5．已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2
＋y 2
＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－12
B ．1
C ．2
D ．12
答案 C
解析 易知点P(2，2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1，0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－0
2－1
＝a ，解得a ＝2．
6．平行四边形ABCD 的三个顶点依次是A(3，－2)，B(5，2)，C(－1，4)，则D 点坐标为( )
A ．(1，1)
B ．(3，0)
C ．(－3，0)
D ．(－1，－1) 答案 C
解析
如图所示，设D(x ，y)， ∵k BC ＝k AD ，k CD ＝k AB ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－2－1－5＝y ＋2x －3，y －4x ＋1＝2＋25－3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，y ＝0.
7．方程x 4
－y 4
－4x 2
＋4y 2
＝0所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两条平行直线 C ．两条平行直线和一个圆 D ．两条相交直线和一个圆 答案 D
解析 ∵x 4
－y 4
－4x 2
＋4y 2
＝0，∴(x 2
－y 2
)(x 2
＋y 2
－4)＝0，∴(x－y)(x ＋y)(x 2
＋y 2
－4)＝0．
∴该方程表示两条相交直线x －y ＝0，x ＋y ＝0和一个圆x 2
＋y 2
－4＝0． 8．从点P(x ，3)向圆(x ＋2)2
＋(y ＋2)2
＝1引切线，切线长的最小值为( ) A ．4 B ．2 6 C ．5 D ．5．5 答案 B
解析 当P(x ，3)到圆心C(－2，－2)距离最小时，过P 点向圆所作切线的切线长最小． |PC|＝
x ＋2
2
＋3＋2
2
＝x ＋2
2
＋25
∴|PC|min ＝5．
∴切线长的最小值为52
－1＝26．故选B ．
9．已知点A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(2，0，1)，则下列说法正确的是( ) A ．△ABC 是等腰三角形 B ．△ABC 是直角三角形
C ．A ，B ，C 三点不能作为同一个三角形的顶点
D ．A ，B ，C 三点在同一条直线上 答案 B
解析 根据距离公式计算得|AB|＝2，|BC|＝3，|AC|＝1，则|AB|2
＋|AC|2
＝|BC|2
．故选B ．
10．过点B(1，－1)的圆x 2
＋y 2
＋4x ＋10y ＋4＝0的切线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋1＝0 B ．3x －4y ＋1＝0 C ．4x ＋3y ＋1＝0 D ．4x －3y ＋1＝0 答案 A
解析 圆心M(－2，－5)，半径r ＝5．因为12＋(－1)2
＋4×1＋10×(－1)＋4＝0，所以点B(1，－1)在圆上．又k BM ＝－1－－51－－2＝4
3，于是过点B(1，－1)的圆的切线方程为y ＋1
＝－3
4
(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0．
11．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2
有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1，1＋22] D ．[1－22，3] 答案 D
解析 在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－4x －x 2
(注：该曲线是以点C(2，3)为圆心，2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x ，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0，3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2
都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2
都有公共点．注意到与y ＝x 平行且过点(0，3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b|2＝2，b ＝1±22．结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]，
选D ．
12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点P(2，0)与点Q(－2，4)重合，若点(5，8)与点(m ，n)重合，则m ＋n 的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．13
D ．－13 答案 C
解析 由于折叠一次后点P(2，0)与点Q(－2，4)重合，所以其折叠线为线段PQ 的对称轴(即线段PQ 的垂直平分线)：
y －2＝－－2－24－0
(x －0)，即y ＝x ＋2．
又点(5，8)与点(m ，n)重合，即点(m ，n)是点(5，8)关于直线y ＝x ＋2的对称点，故
8－n
5－m ＝－1∴8－n ＝m －5，∴m＋n ＝8＋5＝13．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知A(4，－7，1)，B(6，2，z)，若|AB|＝10，则z ＝________． 答案 1±15 解析 由|AB|＝
4－6
2
＋－7－2
2
＋1－z
2
＝10，解得z ＝1±15．
14．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的
斜率为________．
答案 1或17
7
解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k(x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心为(1，1)，半径为1，
∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|
1＋k
2
＝1－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
，解得k ＝1或177． 15．点M 在圆心为C 1的圆C 1：x 2
＋y 2
＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心为C 2的圆C 2：x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＋1＝0上，则|MN|的最大值等于________．
答案 5＋13
解析 把圆的方程都化成标准形式，
得(x ＋3)2
＋(y －1)2
＝9，(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝4． 圆心C 1的坐标是(－3，1)，半径长是3； 圆心C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2． 所以|C 1C 2|＝
－3＋1
2
＋1＋2
2
＝13，
因此，|MN|的最大值是5＋13．
16．直线l 与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0，1)，则直线l 的方程为________．
答案 x －y ＋1＝0
解析 圆的方程可化为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5－a ， ∴圆心为(－1，2)，
由(－1，2)与(0，1)连线斜率为k ＝2－1
－1－0＝－1，
∴所求直线斜率为1，故方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为7
3的
直线l 的方程．
解 设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m≠1)． 令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距b ＝－m
4，
令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距a ＝－m
3，
∴－m 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3＝7
3
，解得m ＝－4，
∴所求直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0．
18．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．
解 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．依题意，得B(1，0，0)，E ⎝
⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1(0，0，1)， 所以|BE|＝ 1－02
＋0－1
2
＋0－122＝3
2
，
|A 1E|＝
0－0
2
＋0－1
2
＋1－122＝52
．
19．(本小题满分12分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0，其对角线的交点是D(3，3)，求另两边所在直线的方程．
解 由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＋1＝0，
3x －y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－5
4，y ＝1
4，
即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－54，14． 又对角线交点为D(3，3)， 则此对角线上另一顶点为⎝
⎛⎭
⎪⎫294，234．
∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行， ∴它们的斜率分别为－1及3， 即它们的方程为y －234＝－⎝
⎛⎭⎪⎫x －294
及y －234＝3⎝
⎛⎭⎪⎫x －294，
∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点(0，1)，(3＋22，0)，(3－22，0)都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．
解 (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32
＋(t －1)2
＝(22)2
＋t 2
，解得t ＝1． 则圆C 的圆心为(3，1)，半径为
3－0
2
＋1－1
2
＝3．
所以圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋a ＝0
x －32
＋y －1
2
＝9
消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2
－2a ＋1＝0，Δ＝56－
16a －4a 2
．
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－a ， x 1x 2＝a 2
－2a ＋12
①．
因为OA⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2
＝0②．
由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1．
21．(本小题满分12分)已知点A(a ，0)，B(0，b)(其中a>4，b>4)，直线AB 与圆C ：x 2＋y 2
－4x －4y ＋4＝0相切．
(1)求证：(a －4)(b －4)＝8； (2)求线段AB 中点M 的轨迹方程．
解 (1)证明：由已知得AB 所在的直线方程为x a ＋y
b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB
与圆C ：(x －2)2＋(y －2)2
＝4相切，所以|2b ＋2a －ab|a 2＋b 2
＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －12ab 2＝a 2＋b 2，展开整理得ab －4a －4b ＋8＝0，即(a －4)(b －4)＝8．
(2)设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝a 2
，y ＝b 2
(x>2，y>2)，即⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2x ，
b ＝2y
(x>2，y>2)，代入(1)中的结果有(2x －4)(2y
－4)＝8，
即(x －2)(y －2)＝2(x>2，y>2)为所求点M 的轨迹方程．
22．(本小题满分12分)矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．
(1)求矩形外接圆的方程；
(2)若斜率为3
4的直线l 被矩形的外接圆所截得的弦长为4，求直线l 的方程．
解 (1)AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD⊥AB，故k AD ＝－3，又点T(－1，1)
在直线AD 上，所以直线AD 的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3y －6＝0，
3x ＋y ＋2＝0，
解得点A 的坐标为(0，－2)．
又∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M(2，0)，故矩形外接圆的圆心为M ， 又|AM|＝
2－0
2
＋2＋0
2
＝22，
所以矩形外接圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8． (2)设直线l 的方程为y ＝3
4x ＋b ，
即3x －4y ＋4b ＝0，
则圆心M(2，0)到直线l 的距离为 d ＝|2×3－0×4＋4b|32＋－4
2
＝|6＋4b|5． 圆的半径r ＝22，直线l 被矩形的外接圆所截得的弦长为4，则22
＋d 2
＝r 2
， 即4＋
6＋4b
2
25
＝8，∴b 2
＋3b －4＝0，
解得b ＝1或b ＝－4．
直线l 的方程为y ＝34x ＋1或y ＝3
4x －4，
即3x －4y ＋4＝0或3x －4y －16＝0．。