七年级数学上册第3章一次方程与方程组3.5三元一次方程组及其解法

(3
)
y 3z 2,
x y z 5 1 .
解： （
1）
x y
2 3
, ,
z 1 .
2x 3y z 6,
(
4)
x
y
2
z
1,
x 2 y z 5.
x 9,
（
2
）
y
1,
z 6 .
x 33,
（
3
）
y
1
4
,
z 4 .
x 2,
（
4
）
y 1,
z 1 .
0
. 3 x 2 y z 3
x y 10
C
x
z
2. y Biblioteka 1 5x yz1D
x
3
y
4
z
7
. x y z 1 2
( D)
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不 一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
二 三元一次方程组的解法
温故知新
（1）回顾解二元一次方程组的思路。 二元一次方程组 消元 一元一次方程
食物
铁
A
5
B
5
C
10
钙
维生素
20
5
10
15
10
5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各位x、y、z份， 请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚 好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C 的份数.
解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x,y,z份，由该食 谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素， 得方程组
-，得 y6z 8. ⑤
x y 2z 3,
y 5z 3,
④
y 6 z 8 .
⑤
通过消元，将三元一次方程组的问题转化为二元 一次方程组的问题
④-⑤，得 11z 11. ⑥ z 1. ⑦
回 代 ⑦代入④中，得 y 2.
将y、z的值代入中，得x=3.
x y 2z 3,
y 5z 3,
⑤
x 2 y 3 z 2 6 .
通过回代，解得：
x
37 4
,
y
17 4
,
z
11 4
.
三 三元一次方程组的应用
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量 中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现 有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐， 其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食 物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
第3章 一次方程与方程组
3.5 三元一次方程组及其解法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解三元一次方程（组）解的概念； 2.能解简单的三元一次方程组.（重点、难点）
导入新课
问题引入
三个小动物年龄之和为26岁
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠 的年龄之和比加菲猫大18岁
求 三 个 小 动
（2）流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
x-1=y.
（3）2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
2x+z=y+18.
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x+y+z=26. 2x+z=y+18.
x-1=y.
含三个未知数 未知数的次数都是1
三元一次方程
含两个未知数 未知数的次数都是1 二元一次方程
⑥
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
当堂练习
1.解方程组
3x y z 4,
(1)
x y z 6,
2 x 3 y z 12.
2 x y 3z 1,
(2)
2x 2z 6,
4 x 2 y 5z 4.
x 2 y 5,
物 的 年 龄
讲授新课
一 三元一次方程（组）的概念
互动探究
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？ 未知量： 每一个未知量都用一个字母表示
流氓兔的年龄
x岁
加菲猫的年龄
y岁
三个未知数（元）
米老鼠的年龄
z岁
等量关系： 用方程表示等量关系.
（1）流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26 x+y+z=26.
5x 5y 10z 35, 20x 10 y 10z 70, 5x 15y 5z 35.
(2)-×4,-,得
5x 5 y 10z 35,
10
y
30z
70,
④
10 y 5 z 0.
⑤
⑤+④,得
5x 5 y 10z 35,
10
y
30
z
70,
④
35 z 70.
概念
由三个一次方程组成的含三个 未知数的方程组，叫做三元一 次方程组.
步骤
通过代入或是加减进行消元， 将三元转化为二元，使得三元 一次方程组转化为解二元一次 方程组，进而转化为解一元一 次方程.
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程， 故将三个方程联立在一起.
x+y+z=26.
x-1=y.
2x+z=y+18.
由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组， 叫做三元一次方程组.
下列方程组不是三元一次方程组的是
x1
A
x
y
2
. x z 1 0
x3y 2z 1
B
2
x
y
4
z
④
1 1 z 1 1 . ⑥
阶梯型方程组
所以
x 3,
y
2,
z 1 .
通过消元，将二元一次方程组的问 题转化为一元一次方程组的问题
归纳：通过消元，将一个较复杂的三元一次方程组化为 简单易解的阶梯型方程组，从而通过回代得出其解，整 个求解过程就称为用消元法解三元一次方程组.
例2 解《九章算术》第八章第一题的方程组
2．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1， 甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
解：设甲为x，乙为y，丙为z，根据题意，
组成以下方程组：
x y z 26
x
y
1
2 x 3 z y 1 8
解这个方程组，得
x 10
y
9
z 7
答：甲为10，乙为9，丙为7.
课堂小结
三 元 一 次 方 程 组 及 其 解 法
3x 2 y z 39,
2
x
3
y
z
34,
x 2 y 3 z 2 6 .
解： 先用加减法消去z： -,×3-,得
x y 5,
④
5x 7 y 76,
⑤
x 2 y 3 z 2 6 .
④×7+⑤,得
若是先消去y,该如何 做呢？
12 x 111,
⑥
x y 5,
（2）如何解三元一次方程组？
三元一次方程组
消 元
二元一次方程组
消 元
一元一次方程
（3）消元方法：
① 代入法（代入消元法） ② 加减法（加减消元法）
典例精析
x y 2z 3,
例1
解方程组
2
x
y
z
3,
x 2 y 4 z 5 .
解：先用加减消元法消去x +×2,得 y5z 3. ④