2020届高考理数二轮复习常考题型大通关(全国卷)：第11题 考点二 椭圆

第11题 考点二 椭圆
1、椭圆 22
12516
x y += 的左、右焦点分别为 12,F F ，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长
为 π，,A B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则 21y y -∣∣ 的值是 （ ）
B.103
C. 203
D.53
2、过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ） A. 2
B. 4
C. 8
D. 223、已知椭圆22
1(0)259
x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F , P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=,
则12F PF △的面积等于（ ）
A.3
B.33
C.6
D.3
4、已知椭圆2
2142y x +=的两个焦点是12F F ，，点P 在该椭圆上，若122PF PF －＝，则
12PF F △的面积是( )
2 B.2 C.22 35、已知椭圆：22
21(02)4x y b b
+=<<左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B
两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A.1
B.2
C.3
2
36、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两顶点为()(),0,0A a B b ，，且左焦点为F ，是以角B 为
直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )
7、过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若
1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
12
D.
13
8、已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b
+=>>的右焦点为F,过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．12
B
C
D 9、直线1y kx k =-+与椭圆22
194
x y +=的位置关系为( ) A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
10、已知直线2y x m =+与椭圆2
2:15
x C y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点.当
AOB △的面积取得最大值时，AB =( )
A.
542
21
210
C.
42
7
D.
342
7
11、直线143x y +=与椭圆22
1169
x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上存在点P 使得PAB △的面
积等于4，这样的点P 共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12、斜率为1的直线l 与椭圆2
214
x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为（ ）
A.2 45 410 810
13、已知椭圆的标准方程为2
221(1)x y a a
+=>,上顶点为A ,左顶点为B ,设点P 为椭圆上一
点,PAB △21,若已知点(3,0),(3,0)M N -,点Q 为椭圆上任意一点,则
14
||||
QN QM +
的最小值( )
A.2
B.
94
C.3
D.3+14、椭圆22
1169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为( )
A.916
B.932
C.964
D.932
- 15、已知椭圆()2
222:=10y x C a b a b
+>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ，
过2F 的直线l 交C 于,A B 两点（异于,M N ），1AF B △的周长为，且直线AM 与AN 的斜率之积为2
3
-，则C 的方程为( )
A.
2
2
=1
128
y
x
+ B.
2
2
=1
124
y
x
+ C.
2
2
=1
32
y
x
+ D.
2
2=1
3
x
y
+
答案以及解析
1答案及解析： 答案：A 解析：椭圆：
，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦点()13,0F -、()23,0F ，
△2ABF 的内切圆面积为π，则内切圆的半径为12
r =
， 而△2ABF 的面积12 A F F =△的面积12BF F +△的面积
1122121212211113222y F F y F F y y F F y y =⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=-（）（A 、B 在x 轴的上下两侧） 又△2ABF 的面积()22111
2|25222
r AB BF F A a a a =⨯++=⨯+==（． 所以 2135y y -=， 215
3
y y -=．
故选A ．
2答案及解析： 答案：B
解析：根据题意画出图形（如图所示），
∵12||2AF AF +=，12||2BF BF +=， ∴1212||44AF AF BF BF a +++==. 即22|4|AF AB BF ++=. 故选B.
3答案及解析： 答案：B
解析：如图所示,椭圆22
10259
()x y a b +=>>,可得5,3,4a b c ====.
设12,||||PF m PF n ==， 则210m n a +==，
在12F PF △中,由余弦定理可得：22222(c )os60c m n mn =+-︒,可得2(34)6m n mn +-=,即210364mn -=，解得12mn =.
∴12F PF △的面积11sin 601222S mn =︒=⨯=.
故选：B.
4答案及解析： 答案：A
解析：由椭圆方程可知2,2a c ==，且1224PF PF a +==，又122PF PF -=，所以
123,1PF PF ==，又12222F F c ==22
2
1212PF PF F F =+，即12PF F △为直角三
角形，所以1212211
221222
PF F S F F PF ==⨯△ A
5答案及解析： 答案：D
解析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时，
22BF AF +有最大值.当AB 垂直于x 轴时，22
2min ||222
b b AB b a =⨯=⨯=，
所以22BF AF +的
最大值为285b -=，所以23b =，即b = D.
6答案及解析： 答案：B
解析：由题意得，有()2
222b a a c a ++=+，化简得210e e +-=，解得e =故本题正确答案为B.
7答案及解析： 答案：B
解析：由题意得,知2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭
,又1260F PF ∠=︒,有232b a a =,从而可得c e a ==
,故选B.
8答案及解析： 答案：D 解析：如图，
2b c =，则222b c =， 即2222(a c c -)=,则2223a c =，
∴2223c a =，即e 6c a ==． 故选：D ．
9答案及解析： 答案：B
解析：直线1y kx k =-+可变形为1(1)y k x -=-，故直线恒过定点(1,1)，而该店在椭圆
22194x y +=的内部，所以直线1y kx k =-+与椭圆22
194
x y +=相交，故选B
10答案及解析： 答案：A
解析：由22
215y x m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得222120550x mx m ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122055
,2121
m m x x x x -+=-=
，
AB ===
. 又O 到直线AB
的距离d =
则AOB △的面积22
222155(21)1522212
m m m m S d AB +--=⋅=≤=
， 当且仅当2221m m =-，即2
212m =时，AOB △的面积取得最大值.
此时，2102142
21
m AB -==
. 故选A
11答案及解析： 答案：B
解析：如图，5AB =，
142AB h ⋅=，85
h =
.
设点P 的坐标为()4cos 3sin ϕϕ，，2π[0)ϕ∈，，代入34120x y +-=中，12(sin cos )12
85
5
ϕϕ+-=
π2143ϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
π2143ϕ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭
时，
πsin 146ϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭
π2143ϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭
时，πsin 46ϕ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，此时有
两解.∴符合条件的点P 共有2个.
12答案及解析：
答案：C
解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244x y y x t ⎧+=⎨
=+⎩
消去y ，得22
584(0)1x tx t +-+=.则1285x x t +=-，2124(1)5t x x -=.
∴
12AB x -=
=
故当0t =
时，max AB =.
13答案及解析： 答案：B
解析：易得直线AB 的斜率1AB k a =
,直线AB 的方程为1
1y x a
=+,当PAB △的面积最大时,过点P 的直线与椭圆相切且与AB 平行,设该直线的方程为1y x m a =+,联立2
22
11x y a y x m
a ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩,得
2222220x amx a m a ++-=.由0∆=,得2222248()0a m a m a --=,解得22m =,分析知当
PAB △的面积最大时,2m =-此时切线方程为1
2y x a
=
则点P 到直线AB 的距离22
2(21
1
1d a a =
=
++又2||1AB a =+所以PAB △的面积1
||212
S AB d =
⋅,所以2a =,所以(3,0),(3,0)M N -分别为椭圆的左、右焦点,所以||||24QM QN a +==,则1414
11||||9
(||||)1||||||||444||||4
QM QN QM QN QN QM QN QM
QN QM ⎛⎫+=+
⋅+=++
+≥ ⎪⎝⎭,当且仅当||2||QM QN =时取等号.故选B.
14答案及解析： 答案：D
解析：设弦的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ， 代入椭圆得2
2
112
222
116
9116
9
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()
0169
x x x x y y y y +-+-+=，
即
12121212()()()()
169x x x x y y y y +-+-=
， 即121
2
1212
9()16()x x y y y y x x +--=+-， 即12
12
92164y y x x -⨯-=
⨯-， 即
12129
32
y y x x -=--， ∴弦所在的直线的斜率为9
32
-. 故选D.
15答案及解析： 答案：C
解析：由1AF B △的周长为31212|||||4|4||3AF AF BF BF a +++==. 解得3a ())
3,0,3,0M N
-.
设点()00,A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为23
-002333y y x x =-+-.即()22
00233
y x =-
-.① 又2200213x y b +=，所以222
0013x y b ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，② 由①②解得：22b =.
所以椭圆C 的方程为2
2132
y x +=.故选C.。