陵水黎族自治县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

陵水黎族自治县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4
C.-2
D ．3
2． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（
）
A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
3． 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（
）
A ．15
B ．21
C ．24
D ．35
4． 设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
{}n a A ．1 B ．2
C ．4
D ．6
5． 在区间上恒正，则的取值范围为（
）
()()2
2f x a
x a =-+[]0,1A ． B ． C ． D ．以上都不对0a
>0a <<
02a <<6． 已知集合，，若，则（
）},052|{2
Z x x x x M ∈<+=},0{a N =∅≠N M =a A ． B ．
C ．或
D ．或1-1-1-2
-7． 已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（
）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）=，则的值为（）
A．B．C．﹣2D．3
9．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（）
A．B．C．D．π
10．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23
11．曲线y=x 3﹣3x 2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）
A ．y=3x ﹣4
B ．y=﹣3x+2
C ．y=﹣4x+3
D ．y=4x ﹣5
12．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（
）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
二、填空题
13．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．
14．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．
15．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等ABC ∆sin :sin :sin 3:5:7A B C =于__________.
16．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．
17．定义为与中值的较小者，则函数的取值范围是 )}(),(min{x g x f )(x f )(x g },2min{)(2
x x x f -=18．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
三、解答题
19．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时
车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x •v （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．　
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐x l 标方程为，曲线的极坐标方程为．
cos sin 2ρθρθ-=C 2
sin 2cos (0)p p ρθθ=>
（1）设为参数，若，求直线的参数方程；t 2x =-+
l （2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．
l C ,P Q (2,4)M --2
||||||PQ MP MQ =⋅p 21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x （转/秒）16
14128每小时生产有缺陷的零件数y （件）11
9
8
5
（1）画出散点图； （2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围
内？
参考公式：线性回归方程系数公式开始=，=﹣x．
22．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．
阿啊阿
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.
()()f x x a a R =-∈（1）当时，解不等式；
1a =()211f x x <--（2）当时，，求的取值范围.
(2,1)x ∈-121()x x a f x ->---24．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为
极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为ρ=4sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．　
陵水黎族自治县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.2． 【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f （x ）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f （x ）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．　
3． 【答案】C
【解析】【知识点】算法和程序框图【试题解析】否，
否，
否，
是，
则输出S=24．故答案为：C 4． 【答案】B 【解析】
试题分析：设的前三项为，则由等差数列的性质，可得，所以，{}n a 123,,a a a 1322a a a +=12323a a a a ++=解得，由题意得，解得或，因为是递增的等差数列，所以
24a =1313812
a a a a +=⎧⎨
=⎩1326a a =⎧⎨=⎩136
2a a =⎧⎨=⎩{}n a ，故选B ．
132,6a a ==考点：等差数列的性质．5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数在区间上恒正，则
()(
)2
2f x a
x a =-+[]0,1，即，解得，故选C.(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩2
020a a a >⎧⎨-+>⎩
02a <<考点：函数的单调性的应用.6． 【答案】D 【解析】
试题分析：由，集合，{
}
{}1,2,025
,0522
--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M {}a N ,0=又，或，故选D ．φ≠N M 1-=∴a 2-=a 考点：交集及其运算．7． 【答案】B
【解析】解：∵y=f （|x|）是偶函数，
∴y=f （|x|）的图象是由y=f （x ）把x ＞0的图象保留，x ＜0部分的图象关于y 轴对称而得到的．故选B ．
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f （x ）的图象和函数f （|x|）的图象之间的关系，函数y=f （x ）的图象和函数|f （x ）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．　
8． 【答案】A
【解析】解：∵函数f （x ）=，
∴f （）=
=﹣2，=f （﹣2）=3﹣2
=．
故选：A．
9．【答案】A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），
设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，
则由余弦定理可得，cosθ=
=﹣cosαcosβ
=﹣cosαcosβ
=sinαsinβ﹣cosαcosβ
=﹣cos（α+β），
∵α，β∈（0，）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ==sin（α+β）
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，
∴R=，
∴外接圆的面积S=πR2=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
11．【答案】B
【解析】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，
∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．
∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．
故选B．
【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．
12．【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，
其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π．
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离为d=
，
∵mn ﹣m ﹣n=3，
∴（m ﹣1）（n ﹣1）=4，（m ﹣1＞0，n ﹣1＞0），
∴（m ﹣1）+（n ﹣1）≥2
，∴m+n ≥6，
则d=
≥3．故答案为：．【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
14．【答案】=1【解析】解：由题意得，圆心C （1，0），半径等于4，连接MA ，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M 的轨迹是：以A 、C 为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=，
∴椭圆的方程为=1．故答案为：
=1．【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
15．【答案】120
【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据，根据正弦定理，可设，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，sin :sin :sin 3:5:7A B C =3,5,7a b ===熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
16．【答案】　1　．
【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1，
f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1．
故答案为：1．
17．【答案】(]
,1-∞【解析】
试题分析：函数的图象如下图：(){}
2min 2,f x x x =-观察上图可知：的取值范围是。

()f x (],1-∞考点：函数图象的应用。

18．【答案】　0　
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin +sin +…+sin 的值，
由于sin
周期为8，
所以S=sin +sin +…+sin =0．故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
21．【答案】
【解析】
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：
（2）=12.5，=8.25，∴b=≈0.7286，
a=﹣0.8575
∴回归直线方程为：y=0.7286x﹣0.8575；
（3）要使y≤10，则0.728 6x﹣0.8575≤10，x≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．
【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．
22．【答案】
【解析】满分（13分）．
解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，
∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）
∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）
∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．
由y=，得．
∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）
又PC过点C，y C=，
∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，
∴y C+1=，即．…（6分）
同理，
∴直线CD的方程为，…（7分）
∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，
得x1=1，直线CD的方程为．
设l：y+1=k（x﹣1），
与方程联立，求得x Q =．…（9分）
设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）．
联立y+1=k （x ﹣1）与x 2=4y ，得
x 2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得
x A +x B =4k ．x A x B =4k+4…（10分）
∵x Q ﹣1，x A ﹣1，x B ﹣1同号，
∴+=|PQ|
==
…（11分）
==
，∴+为定值，定值为2．…（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．
23．【答案】（1）；（2）.{}
11x x x ><-或(,2]-∞-【解析】
试
题解析：（1）因为，所以，
()211f x x <--1211x x -<--即，
1211x x ---<-当时，，∴，∴，从而；
1x >1211x x --+<-1x -<-1x >1x >当
时，，∴，∴，从而不等式无解；112
x ≤≤1211x x --+<-33x -<-1x >当时，，∴，从而；12x <1211x x -+-<-1x <-1x <-
综上，不等式的解集为.
{}
11x x x ><-或（2）由，得，
121()x x a f x ->---121x x a x a -+->--因为，
1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--所以当时，；
(1)()0x x a --≥121x x a x a -+-=--当时，(1)()0x x a --<121
x x a x a -+->--记不等式的解集为，则，故，
(1)()0x x a --<A (2,1)A -⊆2a ≤-所以的取值范围是.
(,2]-∞-考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.
24．【答案】
【解析】解：（1）方程ρ=4sin θ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsin θ，
将极坐标与直角坐标互化公式
代入上式，整理得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4y=0．
（2）由消去t ，得直线l 的普通方程为y=x+3，因为点M （﹣2，1）在直线l 上，可设l 的标准参数方程为
，代入圆C 的方程中，得
．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理，得＞0，t 1t 2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t 1|+|t 2|=
，即|MA|+|MB|=．【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcos θ，ρsin θ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，（x ≠0）等．2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当
沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．。